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高中数学精品同步习题15.1曲边梯形的面积15.2汽车行驶的路程明目标、知重点1了解“以直代曲”、“以不变代变”的思想方法 2会求曲边梯形的面积和汽车行驶的路程1曲边梯形的面积(1)曲边梯形:由直线xa,xb(ab),y0和曲线yf(x)所围成的图形称为曲边梯形(如图所示)(2)求曲边梯形面积的方法把区间a,b分成许多小区间,进而把曲边梯形拆分为一些小曲边梯形,对每个小曲边梯形“以直代曲”,即用矩形的面积近似代替小曲边梯形的面积,得到每个小曲边梯形面积的近似值,对这些近似值求和,就得到曲边梯形面积的近似值(如图所示)(3)求曲边梯形面积的步骤:分割,近似代替,求和,取极限2求变速直线运动的(位移)路程如果物体做变速直线运动,速度函数为vv(t),那么也可以采用分割、近似代替、求和、取极限的方法,求出它在atb内所作的位移s.情境导学任何一个平面图形都有面积,其中矩形、正方形、三角形、平行四边形、梯形等平面多边形的面积,可以利用相关公式进行计算如图所示的平面图形,是由直线xa,xb(ab),y0和曲线yf(x)所围成的,称之为曲边梯形,如何计算这个曲边梯形的面积呢?探究点一求曲边梯形的面积思考1如何计算下列两图形的面积?答直接利用梯形面积公式求解转化为三角形和梯形求解问题如图,如何求由抛物线yx2与直线x1,y0所围成的平面图形的面积S?思考2图中的图形与我们熟悉的“直边图形”有什么区别?答已知图形是由直线x1,y0和曲线yx2所围成的,可称为曲边梯形,曲边梯形的一条边为曲线段,而“直边图形”的所有边都是直线段思考3能否将求曲边梯形的面积问题转化为求“直边图形”的面积问题?(归纳主要步骤)答(如图)可以通过把区间0,1分成许多小区间,将曲边梯形拆分为一些小曲边梯形,对每个小曲边梯形“以直代曲”,即用矩形的面积近似代替小曲边梯形的面积,得到每个小曲边梯形面积的近似值,对这些近似值进行求和,就得到曲边梯形面积的近似值,随着拆分越来越细,近似程度会越来越好SnSi()2x()2(i1,2,n)0()2()21222(n1)2(1)(1)SSn (1)(1).求曲边梯形的面积可以通过分割、近似代替、求和、取极限四个步骤完成思考4在“近似代替”中,如果认为函数f(x)x2在区间,(i1,2,n)上的值近似地等于右端点处的函数值f(),用这种方法能求出S的值吗?若能求出,这个值也是吗?取任意i,处的函数值f(i)作为近似值,情况又怎样?其原理是什么?答以上方法都能求出S.我们解决此类问题的原理是“近似代替”和“以直代曲”,在极限状态下,小曲边梯形可以看做小矩形例1求由直线x0,x1,y0和曲线yx2所围成的图形的面积解(1)分割将区间0,1等分为n个小区间:0,1,每个小区间的长度为x.过各分点作x轴的垂线,把曲边梯形分成n个小曲边梯形,它们的面积分别记作S1,S2,Sn.(2)近似代替在区间,(i1,2,n)上,以的函数值2作为高,小区间的长度x作为底边的小矩形的面积作为第i个小曲边梯形的面积,即Si()2.(3)求和曲边梯形的面积近似值为SSi()20()2()2()21222(n1)2(1)(1)(4)取极限曲边梯形的面积为S (1)(1).反思与感悟求曲边梯形的思想及步骤:(1)思想:以直代曲、逼近;(2)步骤:分割近似代替求和取极限;(3)关键:近似代替;(4)结果:分割越细,面积越精确跟踪训练1求由抛物线yx2与直线y4所围成的曲边梯形的面积解yx2为偶函数,图象关于y轴对称,所求曲边梯形的面积应为抛物线yx2(x0)与直线x0,y4所围图形面积S阴影的2倍,下面求S阴影由,得交点为(2,4),如图所示,先求由直线x0,x2,y0和曲线yx2围成的曲边梯形的面积(1)分割将区间0,2 n等分,则x, 取i.(2)近似代替求和Sn2122232(n1)2(1)(1)(3)取极限SSn (1)(1).所求平面图形的面积为S阴影24.2S阴影,即抛物线yx2与直线y4所围成的图形面积为.探究点二求变速运动的路程思考利用导数我们解决了“已知物体运动路程与时间的关系,求物体运动速度”的问题反之,如果已知物体的速度与时间的关系,如何求其在一定时间内经过的路程呢?答物体以速度v做匀速直线运动时,经过时间t所行驶的路程为svt.如果物体做变速直线运动,与求曲边梯形面积类似,我们采取“以不变代变”的方法,把时间t分割成许多“小段”,在每一“小段”时间内物体的运动可以看做匀速直线运动,于是把求变速直线运动的路程问题,化归为求匀速直线运动的路程问题例2汽车以速度v做匀速直线运动时,经过时间t所行驶的路程svt.如果汽车做变速直线运动,在时刻t的速度为v(t)t22(单位:km/h),那么它在0t1这段时间行驶的路程是多少?解分割将时间区间0,1分成n个小区间,0,1,则第i个小区间为,(i1,2,n)(2)近似代替第i个小矩形的高为v(),siv()()22.(3)求和sn()22021222(n1)222(1)(1)2.(4)取极限ssn(1)(1)2.这段时间行驶的路程为 km.反思与感悟(1)把变速直线运动的路程问题化归为匀速直线运动的路程问题,通过分割、近似代替、求和、取极限四步解决(2)从函数的角度来看,求变速运动的路程,就是求速度函数v(t)t22在t0,t1,v(t)0形成的曲边梯形的面积,这就是数学方法在物理应用中的体现跟踪训练2有一辆汽车在笔直的公路上变速行驶,在时刻t的速度为v(t)3t22(单位:km/h),那么该汽车在0t2(单位:h)这段时间内行驶的路程s(单位:km)是多少?解(1)分割在时间区间0,2上等间隔地插入n1个分点,将它分成n个小区间,记第i个小区间为,(i1,2,n),其长度为t.每个时间段上行驶的路程记为si(i1,2,n),则显然有ssi.(2)近似代替取i(i1,2,n),用小矩形的面积si近似地代替si,于是sisiv()t3()22(i1,2,n)(3)求和snsi()(1222n2)448(1)(1)4.从而得到s的近似值svn.(4)取极限ssn8(1)(1)48412.所以这段时间内行驶的路程为12 km.1把区间1,3 n等分,所得n个小区间的长度均为()A. B. C. D.答案B解析区间1,3的长度为2,故n等分后,每个小区间的长度均为.2函数f(x)x2在区间上()Af(x)的值变化很小Bf(x)的值变化很大Cf(x)的值不变化D当n很大时,f(x)的值变化很小答案D解析当n很大,即x很小时,在区间,上,可以认为f(x)x2的值变化很小,近似地等于一个常数3在“近似代替”中,函数f(x)在区间xi,xi1上的近似值等于()A只能是左端点的函数值f(xi)B只能是右端点的函数值f(xi1)C可以是该区间内任一点的函数值f(i)(ixi,xi1)D以上答案均正确答案C4求由曲线yx2与直线x1,x2,y0所围成的平面图形面积时,把区间5等分,则面积的近似值(取每个小区间的左端点)是_解析将区间5等分所得的小区间为1,2,于是所求平面图形的面积近似等于(1)1.02.呈重点、现规律求曲边梯形面积和汽车行驶的路程的步骤:(1)分割:n等分区间a,b;(2)近似代替:取点ixi1,xi;(3)求和:(i);(4)取极限:s(i).“近似代替”也可以用较大的矩形来代替曲边梯形,为了计算方便,可以取区间上的一些特殊点,如区间的端点(或中点).一、基础过关1当n很大时,函数f(x)x2在区间,上的值,可以近似代替为()Af() Bf()Cf() Df(0)答案C2在等分区间的情况下f(x)(x0,2)及x轴所围成的曲边梯形面积和式的极限形式正确的是()A.B.C. ()D.n答案B解析x.和式为应选B.3把区间a,b (ab)n等分之后,第i个小区间是()A,B(ba),(ba)Ca,aDa(ba),a(ba)答案D解析区间a,b(ab)长度为(ba),n等分之后,每个小区间长度均为,第i个小区间是a(ba),a(ba)(i1,2,n)4一物体沿直线运动,其速度v(t)t,这个物体在t0到t1这段时间内所走的路程为()A. B.C1 D.答案B解析曲线v(t)t与直线t0,t1,横轴围成的三角形面积S即为这段时间内物体所走的路程5由直线x1,y0,x0和曲线yx3所围成的曲边梯形,将区间4等分,则曲边梯形面积的的近似值(取每个区间的右端点)是()A. B.C. D.答案D解析将区间0,1四等分,得到4个小区间:0,1,以每个小区间右端点的函数值为高,4个小矩形的面积和为曲边梯形面积的近似值S()3()3()313.6若做变速直线运动的物体v(t)t2,在0ta内经过的路程为9,则a的值为()A1 B2 C3 D4答案C解析将区间0,an等分,记第i个区间为,(i1,2,n),此区间长为,用小矩形面积()2近似代替相应的小曲边梯形的面积,则 ()2(1222n2)(1)(1)近似地等于速度曲线v(t)t2与直线t0,ta,t轴围成的曲边梯形的面积依题意得(1)(1)9,9,解得a3.7求直线x0,x2,y0与曲线yx2所围成的曲边梯形的面积解令f(x)x2.(1)分割将区间0,2 n等分,分点依次为x00,x1,x2,xn1,xn2.第i个区间为,(i1,2,n),每个区间长度为x.(2)近似代替、求和取i(i1,2,n),Snf()x ()2i2(1222n2)(2)(3)取极限SliSnli (2),即所求曲边梯形的面积为.二、能力提升8. _.答案解析 (12n).9在求由抛物线yx26与直线x1,x2,y0所围成的平面图形的面积时,把区间1,2等分成n个小区间,则第i个区间为_答案,10已知某物体运动的速度为vt,t0,10,若把区间10等分,取每个小区间右端点处的函数值为近似小矩形的高,则物体运动的路程近似值为_答案55解析把区间0,1010等分后,每个小区间右端点处的函数值为n(n1,2,10),每个小区间的长度为1.物体运动的路程近似值s1(1210)55.11已知自由落体的运动速度vgt,求在时间区间0,t内物体下落的距离解(1)分割:将时间区间0,t分成n等份把时间0,t分成n个小区间,则第i个小区间为t,(i1,2,n),每个小区间所表示的时间段tt,在各个小区间物体下落的距离记作si(i1,2,n)(2)近似代替:在每个小区间上以匀速运动的路程近似代替变速运动的路程在t,上任取一时刻i(i1,2,n),可取i使v(i)gt近似代替第i个小区间上的速度,因此在每个小区间上自由落体t内所经过的距离可近似表示为sigt(i1,2,n)(3)求和:snsigt012(n1)gt2(1)(4)取极限:s gt2(1)gt2.即在时间区间0,t内物体下落的距离为gt2.三、探究与拓展12某物体做变速运动,设该物体在时间t的速度为v(t),求物体在t1到t2这段时间内运动的路程s.解(1)分割:将区间1,2等分割成n个小区间1,1(i1,2,n),区间长度为t,每个时间段内行驶的路程记为si(i1,2,n),则snsi.(2)近似代替:i1(i1,2,n),siv(1)t6()2(i1,2,n)(3)求和:sn6n()6n()3.(4)取极限:ssn3.
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