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题型三题型三 规律探索题规律探索题 典例精讲类型一类型一 数式规律数式规律例例1（2015省卷省卷15，4分分）观察下列一组数：）观察下列一组数： ， ， ， ， ，根据该组数的排列规律，可推出第，根据该组数的排列规律，可推出第10个数是个数是_.13253749511【思维教练【思维教练】观察式子，分子为连续的正整数，且分子与分数观察式子，分子为连续的正整数，且分子与分数序号相同，分母为从序号相同，分母为从3开始的连续的奇数，且分母比分子的开始的连续的奇数，且分母比分子的2倍倍多多1，由此可推出第，由此可推出第10个数个数.【解析【解析】观察各个分数，不难发现：分子与分数序号相同，分母观察各个分数，不难发现：分子与分数序号相同，分母比序号的比序号的2倍多倍多1，所以第，所以第10个数为个数为 .1010=210+1211021例例2（2016恩施州恩施州）观察下列等式：）观察下列等式：1+2+3+4+n= n(n+1)；1+3+6+10+ n（n+1）= n(n+1)(n+2)；1+4+10+20+ n(n+1)(n+2)= n(n+1)(n+2)(n+3)； 则有：则有：1+5+15+35+ n(n+1)(n+2)(n+3)=_.12121616124124【思维教练【思维教练】观察等式右边存在一组有规律的因式：观察等式右边存在一组有规律的因式： n(n+1)，n(n+1)(n+2)，n(n+1)(n+2)(n+3)，因式项依次多加一项；，因式项依次多加一项；其系数的规律是第其系数的规律是第n个等式的系数是上一个等式的系数乘个等式的系数是上一个等式的系数乘 ，由此可推出所求式子结果由此可推出所求式子结果.11n【解析【解析】观察所给等式可以发现，第一个等式的右边系数观察所给等式可以发现，第一个等式的右边系数为为 =1 ，因式为，因式为n(n+1)；第二个等式的右边系数为；第二个等式的右边系数为 = ，因式为，因式为n(n+1)(n+2)；第三个等式的右边系数；第三个等式的右边系数为为 = ，因式为，因式为n(n+1)(n+2)(n+3)，所以第四个等，所以第四个等式的右边系数为式的右边系数为 = ，因式为，因式为n(n+1)(n+2) (n+3)(n+4)，结果为，结果为 .1216161241241212131415112011234120n nnnn11234120n nnnn【答案答案】满满 分分 技技 法法数式规律探索主要有以下数式规律探索主要有以下3类：类：1.数字规律探索：数字规律探索：（1）当所给的一组数是整数时，先观察这组数字是自然）当所给的一组数是整数时，先观察这组数字是自然数列、正整数列、奇数列、偶数列还是正整数数列经过数列、正整数列、奇数列、偶数列还是正整数数列经过平方、平方加平方、平方加1或减或减1等运算后的数列，然后再看这组数等运算后的数列，然后再看这组数字的符号，判断数字符号的正负是交替出现还是只出现字的符号，判断数字符号的正负是交替出现还是只出现一种符号，如果是交替出现的可用一种符号，如果是交替出现的可用(-1)n或或(-1)n-1表示数字表示数字的符号，最后把数字规律和符号规律结合起来从而得到的符号，最后把数字规律和符号规律结合起来从而得到结果；结果；（2）当数字是分数和整数结合的时候，先把这组数据）当数字是分数和整数结合的时候，先把这组数据的所有整数写成分数，然后分别推断出分子和分母的数的所有整数写成分数，然后分别推断出分子和分母的数字规律（其方法同（字规律（其方法同（1），从而得出分子和分母的规），从而得出分子和分母的规律，最后得到该组第律，最后得到该组第n项的规律项的规律.2.数阵规律探索：数阵规律探索：此类题目中的数据与有序数对是对应的，设问方式有已此类题目中的数据与有序数对是对应的，设问方式有已知有序数对求数值和表示某个数值的有序数对，本质上知有序数对求数值和表示某个数值的有序数对，本质上讲，这两种方式是相同的讲，这两种方式是相同的.此类型题的解决方法有：此类型题的解决方法有：（1）分析数阵中的数字排列方式：）分析数阵中的数字排列方式：每行的个数；每行的个数；每列的个数；每列的个数；相邻数据的变化特点，并且观察是否某相邻数据的变化特点，并且观察是否某一行或者某一列数据具有某些特别的性质（如完全平方一行或者某一列数据具有某些特别的性质（如完全平方数，正整数）等；数，正整数）等；（2）找出该行或列上的数字与其所在的行数或列数的）找出该行或列上的数字与其所在的行数或列数的关系；关系；（3）使用）使用中找出的具有特殊性质的数字，根据（中找出的具有特殊性质的数字，根据（2）中的性质定位，求得答案中的性质定位，求得答案.3.等式规律探索：等式规律探索：第一步：标序数；第一步：标序数；第二步：对比式子与序数，即分别比较等式中各部分与第二步：对比式子与序数，即分别比较等式中各部分与序数（序数（1，2，3，4，n）之间的关系，把其蕴含的规）之间的关系，把其蕴含的规律用含序数的式子表示出来律用含序数的式子表示出来.通常方法是将式子进行拆分，通常方法是将式子进行拆分，观察式子中数字与序数是否存在倍数或者乘方的关系；观察式子中数字与序数是否存在倍数或者乘方的关系；第三步：根据找出的规律得出第第三步：根据找出的规律得出第n个等式，并进行检验个等式，并进行检验.类型二类型二 图形规律图形规律一、图形累加规律探索一、图形累加规律探索 典例精讲例例3（2016山西山西）如图是一组有规律的图案，它们是由边）如图是一组有规律的图案，它们是由边长相同的小正方形组成，其中部分小正方形涂有阴影，依长相同的小正方形组成，其中部分小正方形涂有阴影，依此规律，第此规律，第n个图案中有个图案中有 个涂有阴影的小正方形（用个涂有阴影的小正方形（用含有含有n的代数式表示）的代数式表示）.例例3题图题图【思维教练【思维教练】观察图形，易知后一个图案比前一个图案多观察图形，易知后一个图案比前一个图案多4个涂有阴影的小正方形，依此规律即可求出第个涂有阴影的小正方形，依此规律即可求出第n个图案中个图案中涂有阴影的小正方形的个数涂有阴影的小正方形的个数.【解析【解析】4n+1序数序数123n涂阴影的小涂阴影的小正方形个数正方形个数5913图形之间的图形之间的变化规律变化规律55+415+425+4（n-1）4n+1【答案答案】满满 分分 技技 法法解答图形累加规律探索的方法：解答图形累加规律探索的方法：第一步第一步,写序号：记每组图形的序数为写序号：记每组图形的序数为“1，2，3，n”第二步第二步,数图形个数：在图形数量变化时，要记出每组图数图形个数：在图形数量变化时，要记出每组图形的表示个数；形的表示个数；第三步第三步,寻找图形数量与序数寻找图形数量与序数n的关系：针对寻找第的关系：针对寻找第n个图个图形表示的数量时，先将后一个图形的表示个数与前一个图形表示的数量时，先将后一个图形的表示个数与前一个图形的个数进行比对，通常作差来观察是否有恒定量的变化，形的个数进行比对，通常作差来观察是否有恒定量的变化，然后按照定量变化推导出具体某个图形的个数；然后按照定量变化推导出具体某个图形的个数；第四步第四步,验证：代入序号验证所归纳的式子是否正确验证：代入序号验证所归纳的式子是否正确.二、图形成倍递变规律探索二、图形成倍递变规律探索 典例精讲例例4（2011省卷省卷10，4分分）如图）如图，将一个正六边形各边，将一个正六边形各边延长，构成一个正六角星形延长，构成一个正六角星形AFBDCE，它的面积为，它的面积为1，取取ABC和和DEF各边中点，连接成正六角星形各边中点，连接成正六角星形A1F1B1D1C1E1，如图，如图中阴影部分；取中阴影部分；取A1B1C1和和D1E1F1各边中点，连接成正六角星形各边中点，连接成正六角星形A2F2B2D2C2E2，如图如图中阴影部分；如此下去中阴影部分；如此下去，则正六角星形，则正六角星形AnFnBnDnCnEn的面积为的面积为_.例例4题图题图【思维教练【思维教练】要得到第要得到第n个正六角星形的面积，通过观个正六角星形的面积，通过观察前一个正六角星形与后一个正六角星形之间的面积关察前一个正六角星形与后一个正六角星形之间的面积关系，由于前后两个正六角星形相似，可根据相似图形面系，由于前后两个正六角星形相似，可根据相似图形面积之比等于相似比的平方得到面积关系，找出规律即可积之比等于相似比的平方得到面积关系，找出规律即可.【解析【解析】很容易知道正六角星形很容易知道正六角星形A1F1B1D1C1E1与正六角星与正六角星形形AFBDCE相似，且相似比是相似，且相似比是1 2，所以它们的面积比为，所以它们的面积比为1 4，同理，正六角星形，同理，正六角星形A2F2B2D2C2E2与正六角星形与正六角星形A1F1B1D1C1E1也相似，且相似比是也相似，且相似比是1 2，所以它们的面积，所以它们的面积比为比为1 4，由这些规律得正六角星形，由这些规律得正六角星形AnFnBnDnCnEn的面积的面积为为1( )n= .1414n【答案答案】14n满满 分分 技技 法法图形成倍递变规律探索的常考类型有：图形成倍递变规律探索的常考类型有：1.点坐标成倍递变：点坐标成倍递变：（1）根据图形的变换规律分别求出第）根据图形的变换规律分别求出第1个点，第个点，第2个点，个点，第第3个点，第个点，第4个点的坐标，归纳出后一个点的坐标与前个点的坐标，归纳出后一个点的坐标与前一个点的坐标之间存在的倍分关系；一个点的坐标之间存在的倍分关系；（2）根据（）根据（1）中得到的倍分关系，得到第）中得到的倍分关系，得到第M个点坐标个点坐标.2.线段（面积）成倍递变线段（面积）成倍递变:已知一个几何图形的边长（面积），通过递推确定第已知一个几何图形的边长（面积），通过递推确定第M次变换后的图形的边长（面积）次变换后的图形的边长（面积）.（1）根据题意可得出第一次变换前的边长（面积）根据题意可得出第一次变换前的边长（面积）为为b；（2）通过计算得到第一次变换后的边长（面积），）通过计算得到第一次变换后的边长（面积），第二次变换后的边长（面积），第三次变换后的边长第二次变换后的边长（面积），第三次变换后的边长（面积），第四次变换后的边长（面积），归纳出后（面积），第四次变换后的边长（面积），归纳出后一个边长（面积）与前一个边长（面积）之间存在的一个边长（面积）与前一个边长（面积）之间存在的倍分关系是倍分关系是n；（3）第）第M次变换后，求得线段的长度（面积）为次变换后，求得线段的长度（面积）为nMb.三、图形循环规律探索三、图形循环规律探索 典例精讲例例5如图，弹性小球从点如图，弹性小球从点P（0，3）出）出发，沿所示方向运动，每当小球碰到发，沿所示方向运动，每当小球碰到矩形矩形OABC的边时反弹，反弹时反射的边时反弹，反弹时反射角等于入射角，当小球第角等于入射角，当小球第1次碰到矩次碰到矩形的边时的点为形的边时的点为P1，第，第2次碰到矩形次碰到矩形的边时的点为的边时的点为P2，第，第n次碰到矩形的边时的点为次碰到矩形的边时的点为Pn，则点则点P3的坐标是的坐标是_，点，点P2016的坐标是的坐标是_.例例5题图题图【思维教练【思维教练】要确定点要确定点P3的坐标，可根据入射角与反射的坐标，可根据入射角与反射角的定义作出图形，依次确定角的定义作出图形，依次确定P1,P2，进而得到，进而得到P3的坐标，的坐标，继续作图，可知每继续作图，可知每6次反弹为一个循环组依次循环，根据次反弹为一个循环组依次循环，根据循环规律即可确定循环规律即可确定P2016的坐标的坐标.【解析【解析】如解图，经过如解图，经过6次反弹后小球回到出发点次反弹后小球回到出发点P（0，3），当点），当点P第第3次碰到矩形的边时，点次碰到矩形的边时，点P3的坐标为（的坐标为（8，3），），20166336，当点当点P第第2016次碰到矩形的边次碰到矩形的边时为第时为第336个循环组的第个循环组的第6次反弹，此时，点次反弹，此时，点P2016的坐标的坐标为（为（0，3）.例例5题解图题解图（8，3），（），（0，3）【答案答案】满满 分分 技技 法法图形循环规律探索主要考查类型有图形循环规律探索主要考查类型有3种：种：1.点坐标变换在坐标轴上或象限内循环递推变化，求第点坐标变换在坐标轴上或象限内循环递推变化，求第M个点的坐标；个点的坐标；2.图形循环变换类，求经过图形循环变换类，求经过M次变换后对应的点坐标或次变换后对应的点坐标或图形；图形；3.几何图形循环旋转变换，通过几何图形循环旋转变换，通过M次变换后，求起始点次变换后，求起始点到终点的线段长到终点的线段长.对于此类问题，一般解题思路为：对于此类问题，一般解题思路为：先观察点坐标（图形）变化的规律是顺时针（逆时先观察点坐标（图形）变化的规律是顺时针（逆时针）循环交替出现，找出循环一周的变换次数，记为针）循环交替出现，找出循环一周的变换次数，记为n；用用Mn=Wq（0qn)，则第，则第M次变换后的点次变换后的点坐标（图形）就是一个循环变换中第坐标（图形）就是一个循环变换中第q次变化对应的次变化对应的点坐标（图形），或存在一定的倍分关系；点坐标（图形），或存在一定的倍分关系；根据题意找出第根据题意找出第q次变换后对应的点坐标（图形），次变换后对应的点坐标（图形），即可推断出第即可推断出第M个（次）变换后对应的点坐标（图个（次）变换后对应的点坐标（图形）形）.
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