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第第4 4节数列求和及综合应用节数列求和及综合应用知识梳理自测知识梳理自测考点专项突破考点专项突破解题规范夯实解题规范夯实 知识梳理自测知识梳理自测 把散落的知识连起来把散落的知识连起来【教材导读教材导读】 数列求和有哪些方法数列求和有哪些方法? ?提示提示: :公式法、倒序相加法、裂项相消法、分组求和法、并项求和法、错位公式法、倒序相加法、裂项相消法、分组求和法、并项求和法、错位相减法相减法. .知识梳理知识梳理 1.1.数列求和的基本方法数列求和的基本方法(1)(1)公式法公式法直接用等差、等比数列的求和公式求解直接用等差、等比数列的求和公式求解. .(2)(2)倒序相加法倒序相加法如果一个数列如果一个数列aan n 满足与首末两项等满足与首末两项等“距离距离”的两项的和相等的两项的和相等( (或等于同一常数或等于同一常数),),那么那么求这个数列的前求这个数列的前n n项和项和, ,可用倒序相加法可用倒序相加法. .(3)(3)裂项相消法裂项相消法把数列的通项拆成两项之差把数列的通项拆成两项之差, ,在求和时中间的一些项可以相互抵消在求和时中间的一些项可以相互抵消, ,从而求得其和从而求得其和. .(4)(4)分组求和法分组求和法一个数列的通项公式是由几个等差或等比或可求和的数列的通项公式组成一个数列的通项公式是由几个等差或等比或可求和的数列的通项公式组成, ,求和时可用求和时可用分组求和法分组求和法, ,分别求和而后相加分别求和而后相加. .(5)(5)并项求和法并项求和法一个数列的前一个数列的前n n项和中项和中, ,若项与项之间能两两结合求解若项与项之间能两两结合求解, ,则称之为并项求和则称之为并项求和. .形如形如a an n= = (-1)(-1)n nf(n)f(n)类型类型, ,可采用并项法求解可采用并项法求解. .(6)(6)错位相减法错位相减法如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的, ,那么这个那么这个数列的前数列的前n n项和可用此法来求项和可用此法来求, ,如等比数列的前如等比数列的前n n项和公式就是用此法推导的项和公式就是用此法推导的. .2.2.数列应用题的常见模型数列应用题的常见模型(1)(1)等差模型等差模型: :当增加当增加( (或减少或减少) )的量是一个固定量时的量是一个固定量时, ,该模型是等差模型该模型是等差模型, ,增加增加( (或减少或减少) )的的量就是公差量就是公差. .(2)(2)等比模型等比模型: :当后一个量与前一个量的比是一个固定的数时当后一个量与前一个量的比是一个固定的数时, ,该模型是等比模型该模型是等比模型, ,这个固这个固定的数就是公比定的数就是公比. .(3)(3)递推模型递推模型: :找到数列中任一项与它前面项之间的递推关系式找到数列中任一项与它前面项之间的递推关系式, ,可由递推关系入手解决可由递推关系入手解决实际问题实际问题, ,该模型是递推模型该模型是递推模型. .等差模型、等比模型是该模型的两个特例等差模型、等比模型是该模型的两个特例. .双基自测双基自测 1.1.数列数列1+21+2n-1n-1 的前的前n n项和为项和为( ( ) )(A)1+2(A)1+2n n (B)2+2 (B)2+2n n(C)n+2(C)n+2n n-1-1 (D)n+2+2 (D)n+2+2n nC CA A4.34.32 2-1-1+4+42 2-2-2+5+52 2-3-3+(n+2)2+(n+2)2-n-n= =. 考点专项突破考点专项突破 在讲练中理解知识在讲练中理解知识考点一考点一 数列求和数列求和反思归纳反思归纳 分组法求和的常见类型分组法求和的常见类型(1)(1)若若a an n= =b bn nc cn n, ,且且 b bn n,c,cn n 为等差或等比数列为等差或等比数列, ,可采用分组法求可采用分组法求aan n 的前的前n n项和项和. .反思归纳反思归纳 (1)(1)常见的裂项方法常见的裂项方法( (其中其中n n为正整数为正整数) )(2)(2)利用裂项相消法求和时利用裂项相消法求和时, ,应注意抵消后不一定只剩下第一项和最后一项应注意抵消后不一定只剩下第一项和最后一项, ,也有可能前面剩两项也有可能前面剩两项, ,后面也剩两项后面也剩两项, ,再就是将通项公式裂项后再就是将通项公式裂项后, ,有时候需要有时候需要调整前面的系数调整前面的系数, ,使前后相等使前后相等. .解解: :(1)(1)设等差数列设等差数列aan n 的公差为的公差为d,d,等比数列等比数列bbn n 的公比为的公比为q.q.由已知由已知b b2 2+b+b3 3= =12,12,得得b b1 1(q+q(q+q2 2)=12,)=12,而而b b1 1=2,=2,所以所以q q2 2+q-6=0.+q-6=0.又因为又因为q0,q0,解得解得q=2.q=2.所以所以b bn n=2=2n n. .由由b b3 3=a=a4 4-2a-2a1 1, ,可得可得3d-a3d-a1 1=8,=8,由由S S1111=11b=11b4 4, ,可得可得a a1 1+5d=16,+5d=16,联立联立, ,解得解得a a1 1=1,d=3,=1,d=3,由此可得由此可得a an n=3n-2.=3n-2.所以数列所以数列aan n 的通项公式为的通项公式为a an n=3n-2,=3n-2,数列数列bbn n 的通项公式为的通项公式为b bn n=2=2n n. .考查角度考查角度3:3:错位相减法求和错位相减法求和【例例3 3】 ( (20172017天津卷天津卷) )已知已知aan n 为等差数列为等差数列, ,前前n n项和为项和为S Sn n(n(nN N* *),),b bn n 是首项是首项为为2 2的等比数列的等比数列, ,且公比大于且公比大于0,b0,b2 2+b+b3 3=12,b=12,b3 3=a=a4 4-2a-2a1 1,S,S1111=11b=11b4 4. .(1)(1)求求aan n 和和 b bn n 的通项公式的通项公式; ;(2)(2)求数列求数列aa2n2nb b2n-12n-1 的前的前n n项和项和( (nnN N* *).).反思归纳反思归纳 错位相减法求和策略错位相减法求和策略(1)(1)如果数列如果数列aan n 是等差数列是等差数列,b bn n 是等比数列是等比数列, ,求数列求数列 a an nb bn n 的前的前n n项和时项和时, ,可采用错位相减法可采用错位相减法, ,一般是和式两边同乘以等比数列一般是和式两边同乘以等比数列 b bn n 的公比的公比, ,然后作差然后作差求解求解. .(2)(2)在写在写“S Sn n”与与“qSqSn n”的表达式时应特别注意将两式的表达式时应特别注意将两式“错项对齐错项对齐”以便下一以便下一步准确写出步准确写出“S Sn n-qS-qSn n”的表达式的表达式. .(3)(3)在应用错位相减法求和时在应用错位相减法求和时, ,若等比数列的公比为参数若等比数列的公比为参数, ,应分公比等于应分公比等于1 1和和不等于不等于1 1两种情况求解两种情况求解. .考点二考点二 与数列求和有关的综合问题与数列求和有关的综合问题反思归纳反思归纳 (1)(1)数列与函数的综合问题主要有以下两类数列与函数的综合问题主要有以下两类: :已知函数条件已知函数条件, ,解解决数列问题决数列问题, ,一般利用函数的性质、图象一般利用函数的性质、图象; ;已知数列条件已知数列条件, ,解决函数问题解决函数问题, ,一般要充分利用数列的范围、公式、求和方法对式子化简变形一般要充分利用数列的范围、公式、求和方法对式子化简变形. .(2)(2)数列与不等式的恒成立问题数列与不等式的恒成立问题. .此类问题常构造函数此类问题常构造函数, ,通过函数的单调性、通过函数的单调性、最值等解决问题最值等解决问题. .(3)(3)与数列有关的不等式证明问题与数列有关的不等式证明问题. .解决此类问题要灵活选择不等式的证明解决此类问题要灵活选择不等式的证明方法方法, ,如比较法、综合法、分析法、放缩法等如比较法、综合法、分析法、放缩法等. .备选例题备选例题 【例例1 1】 已知数列已知数列aan n 的前的前n n项和为项和为S Sn n, ,且且a a2 2a an n=S=S2 2+S+Sn n对一切正整数对一切正整数n n都成立都成立. .(1)(1)求求a a1 1,a,a2 2的值的值; ;(2)(2)若若b bn n=(-1)=(-1)n na an n, ,求数列求数列 b bn n 的前的前n n项和项和T Tn n. . 解题规范夯实解题规范夯实 把典型问题的解决程序化把典型问题的解决程序化数列求和中的创新问题解题策略数列求和中的创新问题解题策略【典例典例】 (12 (12分分)()(20162016全国全国卷卷)S)Sn n为等差数列为等差数列aan n 的前的前n n项和项和, ,且且a a1 1=1,S=1,S7 7=28.=28.记记b bn n=lg a=lg an n,其中其中xx表示不超过表示不超过x x的最大整数的最大整数, ,如如0.9=0,lg 0.9=0,lg 99=1.99=1.(1)(1)求求b b1 1,b,b1111,b,b101101; ;(2)(2)求数列求数列bbn n 的前的前1 0001 000项和项和. .审题指导审题指导关键信息关键信息信息转化信息转化S Sn n为等差数列为等差数列aan n 的前的前n n项和项和, ,且且a a1 1=1,S=1,S7 7=28=28可以求得数列可以求得数列aan n 的通项的通项b bn n=lg a=lg an n,x,x的定义的定义, ,0.9=0,lg 99=10.9=0,lg 99=1分别求解分别求解b b1 1,b,b2 2,b,b3 3, ,b,b1 0001 000数列数列bbn n 的前的前1 0001 000项和项和分组求和分组求和答题模板答题模板: :第一步第一步: :根据等差数列根据等差数列aan n 中的中的a a1 1=1,S=1,S7 7=28=28求求a an n, ,再根据函数再根据函数xx的定义求的定义求b b1 1,b,b1111,b,b101101; ;第二步第二步: :分析分析b bn n=lg a=lg an n 的规律并分类求出的规律并分类求出b bn n; ;第三步第三步: :分组求和得数列分组求和得数列bbn n 的前的前1 0001 000项和项和. .
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