2022年高考二轮复习立体几何解答题专练二（探索性问题）

2022年高考二轮复习立体几何解答题专练二(探索性问题)1 .如图，在三棱锥A-BCD中，ABVAD, BCYBD,平面平面反X.(1)求证：ADAC；(2)已知E = 2E4, DF = 2FC,则棱BZ)上是否存在点G ,使得平面EFG平面A8C ?若存在，确定点G的位置；若不存在，请说明理由.2 .如图，在四棱锥尸A3CE)中，四边形ABCD为直角梯形，AB/CD , ABLBC ,AB = BC = 2CD=4, PA = 2, PB = 2& E为 8c 的中点，且 PE_LB).(1)证明：P4_L平面 ABCD；(2)线段依上是否存在一点M,使得三棱锥/的体积为？若存在，试确定点M的位置；若不存在，请说明理由.3 .如图，在底面半径为2、高为4的圆柱中，B. A分别是上、下底面的圆心，四边形EFG” 是该圆柱的轴截面，已知P是线段的中点，N是下底面半圆周上靠近的三等分点.（1）求三棱锥8-EPN的体积；（2）在底面圆周上是否存在点使得RW 平面RW?若存在，请找出符合条件的所 有用点并证明；若不存在，请说明理由.4 .如图，四棱锥P-ABC。的底面是平行四边形，平面平面A8CZ）,且AP0C是正 三角形，点O是8的中点，点E, f分别在棱叨，尸C上.（1 ）求证：PO1.AD；（1【）若A, B, E,尸共面，求证：EF/AB；（III）在侧面小中能否作一条直线段使其与平面尸80平行？如果能，请写出作图的过程 并给出证明；如果不能，请说明理由.PB PD 35 .如图，在正四棱锥PA8CD中，点E,尸分别在棱PB, PD1Z, & = = 1.(1)证明：FJ_平面P4C.(2)在棱PC上是否存在点用，使得P4平面MEF?若存在，求出也的值；若不存在,说明理由.6 .如图，点O是正方形ABC。两对角线的交点，应1.平面ABC。，M_L平面ABC,AB = BF = 2DE, M是线段所上点，且加尸= 2ME.(1)证明：三棱锥M-Ab 是正三棱锥；(2)试问在线段止(不含端点)上是否存在一点N,使得CN 平面ABF.若存在，请 指出点N的位置；若不存在，请说明理由.7 .如图，在底面是菱形的四棱锥P-48C。中，ZABC = 60, PA = AC=a, PB = PD = yla ,点、E在PD上,且PE:a= 3:1.(1)证明：%_L平面ABCD；(2)在棱PC上是否存在一点F,使87=7/平面AEC?证明你的结论.8 .如图，在三棱锥P-ABC中，PC_L平面A8C,(1)若 CD 工 PB , ABBC.求证：CDPA；(2)若E,尸分别在棱AC, PA,且AE = EC, PF = 3AF,问在棱依上是否存在一点、D,使得8 平面3EF.若存在，则求出”的值；若不存在，请说明理由.DBII9 .如图，在四棱锥P-ABCZ)中，底面ABC是菱形，ZBAD=60P, AMD是正三角形,E为线段4)的中点，PF = AFC(20).(1)求证：平面P8C_L平面PBE；(2)是否存在点尸，使得匕1PA=9匕 pfp?若存在，求出2的值；若不存在，请说明理由. ti rrC, 8 Ltrrtf(3)若平面皿J_平面ABC。，在平面PBE内确定一点，使C + /7/的值最小，并求此时竺L的值.BP10 .如图，在四棱锥A-8CDE中，四边形5CDE为菱形，A8 = A = 3, BD = 26 ,A = AC,点G是棱4?上靠近点3的三等分点，点尸是AC的中点.(1)证明：DF平面CEG：(2)点，为线段班)上一点，设8斤=/8方，若平面CEG,试确定f的值.11 .如图所示正四棱锥S-ABCD, SA = SB = SC=SD = 2 , AB = 0, P为侧棱SD上的点,且 SP = 3PD,求：(1)正四棱锥S-ABC。的表面积；(2)侧棱SC上是否存在一点E,使得3E/平面PAC.若存在，求些的值：若不存在, EC试说明理由.12 .如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABC。为平行四边形，O, M分别为班)，PC的 中点.设平面R4O与平面P8C的交线为/.(1)求证：OM/平面以);(2)求证：BCHI ；(3)在棱尸C上是否存在点N (异于点C),使得8N/平面抬。？若存在，求出等的值; 若不存在，说明理由.2022年高考二轮复习立体几何解答题专练二(探索性问题)解析1 .如图，在三棱锥A-BCD中，ABVAD, BC工BD ,平面平面反X.(1)求证：ADAC；(2)已知E = 2E4, DF = 2FC,则棱BZ)上是否存在点G ,使得平面EFG平面A8C ? 若存在，确定点G的位置；若不存在，请说明理由.C解：(1)证明：因为平面依Z)J_平面8C),平面 ABDC平面 5CQ = 8, BCu平面 BCD, BCBD,所以3C_L平面板),因为ADu平面4,所以8C_LA,又 Afi_L AD, W ABBC = B , ABu平面 ABC, BCu平面 ABC,所以A。平面ABC.又因为ACu平面ABC,所以AD_LAC.(2)存在点G,满足G = 2G8时，使得平面EFG/平面ABC .理由如下：在平面A3。内，因为DE = 2A, DG = 2GB ,即空=，GB EA所以 EG/AB.又因为EGU平面ABC, A8u平面ABC,所以EG 平面ABC, 同理可得/G/平面ABC.又 EG0|FG = G, EGu 平面 FG,又 FGu 平面 EFG,故平面EFG11平面ABC.故存在点G,满足G = 2G8时，使得平面EFG/平面ABC.2 .如图，在四棱锥P-A8C中，四边形A8CD为直角梯形，ABHCD ,AB = BC = 2CD=4, PA = 2 ,28 = 2 4，E 为 8c 的中点，且(1)证明：Q4J_平面 ABCD；试确定点M(2)线段PB上是否存在一点M,使得三棱锥A-DEM的体积为9 ?若存在, 3的位置；若不存在，请说明理由.P(1)证明：如图，连接他，且北与3D的交点为尸，因为 A8 = 8C, BE = LbC = 1 = CD, ZABE=ZBCD=90 , 2所以A4BE三 凶8,故 NBAE = NCBD,因 为 ZABD+NCBD = 90 ,则 ZABD+N&AEnQO0 ,故 NAf3 = 90。，即 8E_LAE,又 BD 工 PE,且 PEnAE = E, PE,平面抬E,所以平面因为H4u平面R4E,则8J_R4,在 AE4B 中，P/+AB1 =PB2,则以_L/W,又 BOp|A8 = 8A, BD, A3u平面 ABC。，故 R4_L 平面 ABC；(2)解：线段PB上存在一点M,点M为靠近点B的三等分点，使得三棱锥A-/的 体积为3.3证明如下：如图，过点M作用H_LAB于点，取的中点为G,连接DG ,因为直角梯形 A8C。中，有 ABUCD , ABJ.BC,且 A8 = 8C = 4, CD = 2,所以。且 )G = 3C = 4, AG = 2,因为 DE = y/CD1 + CE2 = 2应旦 AE = 2布,故 S/ = ； QE JalP-（与1=g x 2& x J（2百）2-（扬2 = $ ,由（1）可知，R4J_平面ABC。，A8u平面ABCZ）,所以 F4_LAB,因为且 M4, PA, ABu 平面则平面ABCQ,即M”_L平面ADE,所以线段MH的长即为三棱锥M-ADE的高，由等体积法VA_DEM = VM_ADE = 1 S的日 MH = 2MH=,解得MH =-, 32所以也=也=BP PA 2 3故线段PB上存在一点M ,点M为靠近点B的三等分点，使得三棱锥A-M的体积为.3E3.如图，在底面半径为2、高为4的圆柱中，B, A分别是上、下底面的圆心，四边形EFG” 是该圆柱的轴截面，已知是线段AB的中点，N是下底面半圆周上靠近的三等分点.（1）求三棱锥8-E/W的体积：（2）在底面圆周上是否存在点M,使得FM 平面P4N?若存在，请找出符合条件的所 有M点并证明；若不存在，请说明理由.解：（1）因为圆柱的底面半径为2、高为4, P是线段的中点，N是半圆周上的三等分点，所以三棱锥BEPN的体积为： 咚棱链B-E/W =三棱ittB-AEV 咚棱住-4期= S44av - AB S4ABy - PAi ii i2= _x-x2x2xsinl20x4 x-x2x2xsinl20x2 = -.3 23 23(2)存在点M, M为EN的中点，使得平面EW.理由如下:连接上河，因为M、N是半圆周的三等分点，所以 NEW = NM4V = N/W7 ；又迎： = AA/,所以A4M为等边三角形，所以NAEM = N4 = 60。，所以 EM/AN;又EMU平面EW, ANu平面孔W,所以EM 平面AVW；由耳GH是圆柱的轴截面，所以四边形EFGH是矩形；又因为8、A分别是FG、E”的中点，所以防班，即EF/R4；又所平面R4N, F4u平面A4N,所以EF/平面B4N；且 EF|EM = E, EFu平面厅70, EMu平面 ERW,所以平面EFM/平面PAN ；又R0u平面ERW,所以平面PAN.4 .如图，四棱锥尸-ABCZ)的底面是平行四边形，平面PZ)C_L平面ABC。，且APDC是正 三角形，点O是8的中点，点E,尸分别在棱/Y, PC上.(I )求证：尸O_LA；(II)若4, B, E,尸共面，求证：EFUAB；(III)在侧面皿中能否作一条直线段使其与平面PBO平行？如果能，请写出作图的过程 并给出证明；如果不能，请说明理由.解：(/)证明：是正三角形，点。是C的中点, .-.POLCD,又平面PDC 平面ABCD,平面PDCC平面ABCD = CD,.POJ平面 ABCD,AOu 平面 A88,：.POAD.()证明：又.底面ABCD是平行四边形，:.ABHCD,又CDu平面PDC, ABC平面PDC,.A8平面尸DC,平面平面P)C=EF, /$中能作出直线段DM.5 .如图，在正四棱锥P-ABCD中，点E,尸分别在棱依，PDL, K =-.PB PD 3(1)证明：E产_L平面%C.(2)在棱PC上是否存在点M,使得PA平面MEF?若存在，求出丝的值；若不存在,MC说明理由.解：(1)证明：如图，连接8D,记4。0|8。= 0,连接PO,由题意可得四边形ABCD是正方形，PB = PD,则O为AC的中点，且ACJLBD,因为 PB = PD,所以 POJ_8O,因为ACu平面上AC, POu平面R4C,且AC0|PO =。，所以5_L平面PAC,因为目=竺，所以EFUBD, PB PD则EF_L平面P4c.,连接MN,(2)设存在点M满足条件，连接ME, MF,记尸00|尸=% 取PC的中点。，连接。, 因为O，Q分别是AC, PC的中点，所以OQPA，因为PA 平面MER,所以OQ/平面MEF, 因为平面POQC平面MEF = MN , 所以OQ/MN,则丝=空，PQ POPN PF 1由（1）可知EF/BD,所以二一=-PO PB 3因为Q为PC的中点，所以PQ =:尸C,PM 1所以=MC 5故存在满足条件的点M,此时也=MC 5/1/B6 .如图，点。是正方形ABC。两对角线的交点，OE_L平面A8C。，5/_L平面A8CD,AB = BF = 2DE, M 是线段F上点，且MR = 2ME.(1)证明：三棱锥M-ACF是正三棱锥；(2)试问在线段止(不含端点)上是否存在一点N,使得CN 平面 W.若存在，请 指出点N的位置；若不存在，请说明理由.解：（1）证明：设 Aff=M = 2EE = 2a,则 AF = FC = AC = 2-j2a ,.AA/T是正三角形，连接尸O, EO,因为OO = OB = &a,：.OE = /3a , OF = 46a, EF = 3a,在AOE尸中，由0：2 + 0尸2=尸，知OE_LO尸.又E_L平面ABCE）,所以短E_LAC.ACVBD, BDp|DE = D,.人平面,AC1.OE.又 AC, Oku 平面 AB, ACQOF = O,.,。“，平面人中，在线段OF上取点G,使得OG:GF = 1:2,则点G是AAFC的重心，也就是AAFC的中心,连接 MG,则 A7GOE,平面 Ab ,三棱锥M -ACF是正三棱锥.(2) .平面CQF与平面ABF有公共点尸，由基本事实3可知：平面C0F与平面相尸是相交平面，.CD/AB, CC 平面 ABF, ABu 平面他尸，;.CD/平面 ABF,假设存在这样的点N,使得GN/平面/3厂，,/点N与点。不重合，cr)与cn是相交直线，又CD 平面钻尸，CN/平面且C)u平面COF, CNu平面8尸，平面COF/平面这与平面CDF和平面ABF是相交平面矛盾.二不存在一点N,使得CN 平面7 .如图，在底面是菱形的四棱锥P-48C。中，ZABC = 60, PA = AC=a, PB = PD = yla , 点E在PD上,且PE:a= 3:1.(1)证明：R4_L平面 ABCD；(2)在棱PC上是否存在一点尸，使8尸平面AEC?证明你的结论.BC解：(1)证明：ZABC = 60. AB = BC, AC = a,可得AA8C为a的等边三角形，由 PB = PD 2a . AB = AD = PA = a，AB2 + PA1=PB2, ADr + PAL = PDr ,可得 R4_LM, PAA.AD,而 A80|AO = A,可得 F4_L平面 ABC；(2)在棱PC上存在一点F,且CF:CP = 1:3,使M/平面AEC.证明：连接交CE于G,连接30,交AC于O,连接OG,过 F 作 FH/PD,交.CE 于 H ,由于。=必=空，CP PE 4 EP所以 FH = EP, AFGHADGE,所以G为小的中点，又O为8D的中点，所以 OG/BF ,又OGu平面ACE, BFU平面ACE,所以B尸/平面AEC.8 .如图，在三棱锥P-ABC中，PC，平面ABC,(1)若 CD 上 PB , ABrBC.求证：CDPA；(2)若E,尸分别在棱AC, PA,且AE = EC, P尸= 3AF,问在棱P8上是否存在一点、D,使得CD平面BEE.若存在，则求出丝的值；若不存在，请说明理由.DBII证明：(1) .PCJ平面ABC, ABu平面ABC, :.PC1AB,又.AB_L8C, PCQfiC = C, r. AB_L平面PBC ,C)u 平面尸8C,AB A. CD,CDA,PB, A8np8 = 8,，C)_L平面3 ,.,Elu 平面:.CDVPA.pn (2)存在，且卫=2,DB理由如下：如图，作总的中点M,连接CM, DM ,由PF = 3AF,得用0 = 2句11,又,；PD=2DB,：.DM/BF ,。河仁平面8尸，8尸u平面8所，.,.平面3所，又F分别为AC, AM的中点，:.EF/CM .。加仁平面庞:尸，EFu平面BEF,.CM 平面B历，-.-CMQDM =M , CMu平面CDM, ZWu平面CDW,平面REF/平面CDM , CD u 平面 CDM , r. CD/ / 平面 BEF.9.如图，在四棱锥P-ABCE中，底面A3CD是菱形，Zfi4D = 60, AM是正三角形，E为线段AD的中点，丽=2宓(20).(1)求证：平面P8CJ平面PBE；(2)是否存在点尸，使得Vp pae=d pfb?若存在，求出4的值；若不存在，请说明理由. or/iC. g Lfrro(3)若平面P4Z)J_平面A8C),在平面PBE内确定一点，使C/7 + /7/的值最小，并求此时也的值.BP(1)证明：是正三角形，E为线段4)的中点,：.PEYAD.ABCD 是菱形，：.AD=AB.又NW = 60。，. . AABD是正三角形，.-.BEYAD,而8后门户 =后，.ADI平面 P8E.又./8C, .BC_L 平面 P8E.BCu平面PBC,平面P8C_L平面PBE； (2)解：由尸尸知尸。=即+而=(2 + 1)斤./1 7 1/4 + 1 .* Vfi-PAE = 2 Vp-ADB 万 P-BCD F-BCD 1又丫 = V -V = JV ,八 yD-PFB vP-BDC yF-BCCF-BCD 因此，匕5一小的充要条件是学=:， oZ o.*. Z = 4 .即存在满足用; = /1定(a0)的点F，使得/=*%一呼8,此时2 = 4；8(3)解：延长C8到C,使得BC = 8C,由(1)知C8_L平面PBE,则C是点C关于面PBE的对称点，在平面尸8c中，过点C作垂足为尸，交PB于H ,则点”是使CH + FM的值 最小的点.设 BC = 2a,贝iJPE=8E = Ga,.平面 R4_L 平面 A88,平面 Q4DC 平面 AB8 = AD, PE A. AD,PE J_平面 ABCD, BE u 平面 ABCD,.-.PEBE,得 PB = 娓a,tan/BC77 = tanNBPC =BC 2pb7gBH = BCtan NBCH =4-r- aV6得空=BP10 .如图，在四棱锥出中，四边形为菱形，AB = AD = 3 , BD = 2g ,A = AC,点G是棱4?上靠近点8的三等分点，点尸是AC的中点.(1)证明：。尸平面CEG；(2)点4为线段8。上一点，设8斤=/8万，若A/7J_平面CEG,试确定，的值.解：(1)证明：取AG的中点/,记8)nCE =。，连接/7, DI, GO,在AACG中，F , /分别是AC, AG的中点，所以/7CG,同理可得OG。/ ,又因为= CG|GO = G,所以平面GCO/ /平面IFD ,又Fu平面所以。尸平面CEG；(2)解：因为底面8CDE是菱形，所以OC_LO,因为 A = AC, BC = BE ,所以 AABC 三 AASE,则 GC = GE,又因为。是EC的中点，所以OC_LOG,因为OG0|OO = O,所以OCL平面AB。，则 OC_LAG,因为钻= AD = 3, 8。= 26，所以cos乙48。=丝=且，AB 3贝lj OG = BG2 + OB2 -2BG OB cosZABD =+ 3-2xlx&曰=& , 则 OG2 + 8G) =08,所以 BG_LOG,又因为0(7|比=。，所以AG_L平面CEG, 若AHJ_平面CG,则”与8重合.故f = 0.B11 .如图所示正四棱锥S-ABCD, SA = SB = SC = SD = 2, AB = /2, P为侧棱S)上的点,且 SP = 3P,求: (1)正四棱锥S-A8a的表面积;(2)侧棱SC上是否存在一点E,使得BE/平面E4c.若存在，求些的值：若不存在, EC试说明理由.解：(1) .正四棱锥S-ABC中,SA = SB = SC = SD = 2, AB =侧面的高 =、22-.正四棱锥5-4?8的表面积5 = 4X&乂巫 + 0、亚=25/7 + 2.22SF(2)在侧棱SC上存在一点,使BE/平面R4C，满足一=2 . EC理由如下：取S中点为Q,因为SF = 3PQ,则PQ = FD, 过。作PC的平行线交SC于E,连接8Q, BE.在 ABOQ 中，有 BQ/PO,.尸Ou平面小C, BQt平面A4C,BQ平面A4C,又由于QE/PC,PCu平面丛C, QEU平面R4C,，QE/平面丛C, BQQE = Q, 平面 8E。/平面丛C,得 BE/平面 R1C,由于亚=2, .笑=网=2.NP EC NPD12.如图，在四棱锥尸-4?C中，底面ABC。为平行四边形，O, M分别为3。，PC的中点.设平面？4与平面PBC的交线为/.(1)求证：。0/平面F4)；(2)求证：BCHI ；(3)在棱PC上是否存在点N (异于点C),使得BN 平面附)?若存在，求出空的值;PC若不存在，说明理由.PB解：(1)证明：因为底面A8C为平行四边形,所以。为AC中点，又M为PC中点，所以。M/B4,又OMC平面皿)，孙u平面必),所以。必/平面P4).(2)证明：因为底面A8CD为平行四边形，所以 AD/8C,因为ADu平面皿),8Ct平面R4O,所以8c平面上4),又BCu平面P8C,又平面R4OC平面尸8C = /,所以BC/I.(3)假设存在PC上存在点N (异于点C),使得BN 平面R4。，在平行四边形A8CZ)中，BC/AD,因为A)u平面R4), 8Ct平面上4。，所以8C/平面R4O,因为BN/平面R4),因为BCu平面PBC, BNu平面PBC, bcRbn = B,所以平面PA)平面PBC,与平面小。与平面P8C的交线为/,矛盾, 所以在棱PC上不存在点N (异于点C),使得8N平面皿).