2022年高考二轮复习立体几何解答题专练一（体积问题）

2022年高考二轮复习立体几何专题一(体积问题)1 .如图，在直三棱柱A8C-A4cl中，A48C是边长为2的正三角形，点E, F分别是棱CC, ,上的点，点M是线段AC上一点，EC = 2FB = 2.(1)若M为中点，证明：8W平面AEF；(2)若匕一BCEF 2匕求 AM -2 .己知如图1所示，等腰AABC中，AB = AC = 4, 8c = 46，。为8c中点，现将沿折痕AO翻折至如图2所示位置，使得N8OC =%，E、/分别为AB、AC的中点.3(1)证明：BC/ /平面DEF ；(2)求四面体BCDE的体积.3 .如图，在四棱锥P-ABCD中，DC/AB , BCAB, E为棱AP的中点，AB=4 ,PA = PD = DC=BC = 2.(I )求证：DE / /平面PBC ;(II )若平面皿_L平面ABC。，试求三棱锥P-30E的体积.4 .如图，四棱锥P-ABCD中，ABCD是正方形，Q4J平面A8CZ), E,尸分别为24,8c的中点.(1)证明：EF/平面PCD；(2)已知F4 = M = 2, G为棱C上的点，EFYBG,求三棱锥E-FCG的体积.5 .如图所示，在三棱柱ABC-A4G中，平面ACA J.平面ABC , AA, 1 AC , AAt=AB = BC = 2, D,分别为 AC, AG 的中点，且 N84C = 30.(I )在棱M上是否存在点M,使得平面DBG?若存在，请找出点M的位置: 若不存在，请说明理由；(II )求三棱锥C-D8C；的体积.-f1 Di6 .如图，已知四棱锥P-ABCD中，AB/CD, O, M分别是C，PC的中点，尸。_1_底面 ABCO,且 PO = OD=O4 = AB=BC.(1)证明：月4平面08M；(2)若PO = 2,求三棱锥M FAB的体积.B7 .如图，在四棱锥P-A5co中，四边形4?C是梯形，尸!.平面ASC。，ADYBD,AB/CD, 2PF = FC, AD = O、BC = M,NBDC =三,PD = CD.4(1)证明：AP/平面BDF；(2)求三棱铢A-DCF的体积.8 .已知四棱锥 F/WCD,其中 AQ/3C, ABYAD, CD = 0,8c = 2A)= 2 ,平面 P8CJ_平面/WC9,点E是PB上一点，CEA.PB.(1)求证：CEL平面厚3；(2)若ACDE是等边三角形，当点A到直线尸C距离最大时，求四棱锥尸-MS的体积.9 .如图，在底面为平行四边形的四棱锥P-ABCD中，PA = PB = DA = DB = 1, M , N分2别为F4,依上的点，且尸M=-, BN = .33(I )求证：平面ABCD；(II )求四棱锥P-ABC。体积最大时AB的长.10 .如图，在四棱锥A-8CDE中，底面8cDE为矩形，M为C中点，连接BM , CE交 于点尸，G为ZVWE的重心.(1)证明：GF平面ABC；(2)若平面 ABC_L 底面 BGDE,平面 AC_L底面 BCDE , fiC=3, CD = 6, AC = 4 , 求四棱锥G-7”的体积.若PC上面EBD,(2)B11 .如图，24_1_面438,四边形ABC。是边长为1的为正方形；点E在线段PC上,PEEC(1)若 PA/面 EB),求，”值;棱锥-88体积取得最大值，求四棱锥P-A8CD的高.12 .如图，点A是腰长为2的等腰直角三角形O8C的底边OC的中点，A_L8C于点。, 将AOAB沿AB折起，此时点。记作点尸.(I )当三棱锥P-ABC的体积最大时，证明：平面ABC_L平面皿：(II )若二面角P-ABC的大小为120。，求三棱锥尸-MC的体积.13 .如图，在三棱柱ABC-AAG中，幺4。=90。，A4 =BC =A4, =2,顶点C在底面A4G上的射影为AG的中点，。为AC的中点，E是线段CG上除端点以外的一点.(1)证明：B)_L平面 ACGA；(2)若三棱锥E-C4的体积是三棱柱ABC-A4G的体积的上，求位的值.414 .如图，已知圆O的直径4?长为2,上半圆圆弧上有一点C, NCO8 = 60。，点P是弧AC上的动点，点。是下半圆弧的中点，现以为折线，将上、下半圆所在的平面折成直二面角，连接 PO, PD, CD.D(.I )当A8/平面PCD时，求PC的长:(II )求三棱锥P-COD最大体积.15 .如图，在圆锥PO中，AC为0O的直径，点3在AC上，OD/BC , ZCAB = -. 6(1)证明：/$_!_平面尸8；(2)若直线F4与底面所成角的大小为王，且底面圆的面积为4万，求三棱锥C-POD的体积.16 .如图，在四棱锥S A8C。中，底面A8CD是直角梯形，AD/BC , ABLBC. P, Q 是 AB, 8 的中，点，ZSPQ = 60, 48 = 26，BC = 2, AD=l , SB = SA = *，点、M , N分别是SB, CB的中点.(1)求证：平面AAW平面SC；(2)求三棱锥B-S8的体积.17 .如图，在直三棱柱49C ABC中，AD = AD, E为BC上的一点，AB = AC=BC = a,CC = h.(1)若 BE = EC,求证：OEJ平面 BCCB.(2)平面BCO将棱柱AQC-ABC分割为两个几何体，记上面一个几何体的体积为匕，2022年高考二轮复习立体几何专题一(体积问题)解析1 .如图，在直三棱柱ABC-44c中，A45c是边长为2的正三角形，点,尸分别是棱CCt,上的点，点M是线段AC上一点，EC = 2FB = 2.(1)若M为中点，证明：8M/平面AEF;若匕一bcef=2匕一由，求AM-解：(1)证明：取他中点G，连接GM, FG,则GM EC且GM =区, 2FC又因为8F/EC且8尸=， 2所以GM/BF,且6例=8尸, 所以四边形班为平行四边形,从而 BM/GF.又BM仁平面A尸，Gfu平面AF,所以8M 平面用(2)作AK_LBC交8c于K,则K为BC中点.所以AK_L平面8CE, 因为AABC是边长为2的正三角形，且EC = 2F3 = 2.所以 VA.BCEF = $佛形BFEC ,则匕-ME8 = Lamb = 父EC = 3匕皿肝=与1362 .已知如图1所示，等腰AABC中，A8 = AC = 4, 8c = 46，。为8c中点，现将4?)E、尸分别为AB、AC的中点.沿折痕4)翻折至如图2所示位置，使得N8C = C,3(1)证明：8C/平面尸；(2)求四面体BCDE的体积.、/分别为AB、AC的中点，:.EFI/BC,.EFu平面 所，BCU 平面 DEF ,(2)解：在原等腰三角形A8C中，jA8 = AC = 4, 8c = 46，。为8c中点,.-.AD1DB, AD1DC,且 A) = 4? -(28 =2 ,在折福后的三棱锥中，ADLDB, AD1DC,又 08noe =。，4，平面5)。，:DB=DC = 2/3 , ZBDC = -,SABW. =-x2V3x2xsin- = 6x = 3x/3 ,3 Moe 232V, Rrn = x 3yli x 2 = 25/3 , /lDI. U 3，*t E 为 AB 中点、,Sme= 5 SgBc，可得/COE =-Vp=,匕 BCD =6 -Oy-Ue, 2? nDy-U AB=4 ,3.如图，在四棱锥PA88中，DC II AB . BC AB, E为棱AP的中点,PA = PD = DC=BC = 2.(I )求证：OE 平面PBC；(II )若平面P4)_L平面ABCD,试求三棱锥P-8/把的体积.解：(I )证明：取心的中点尸，连接印，CF,.E 为 24 的中点，.EF/AB, EF = -AB ,2又已知 ZX7/A8, DC = -AB, 2EF/DC且EF = DC,则四边形CDEF为平行四边形，：.DE/CF,而 bu 平面 P8C, OEU 平面尸BC,;.DE/平面PBC:(II ) ; PA = PD,取 A) 中点 O,连接 PO,则 POLAD,.平面R4_L平面ABCD,且平面皿C平面ABC) = 4),;.POJ平面在底面直角梯形ABCD中，.DC/AB, BC X.AB, AB=4, DC = BC = 2,可求得AO = 2夜，X PA = AD=2 则夕。=应， 又E为外的中点，.丫1；=3匕x (2 + 4) 24如述4 .如图，四棱锥P-A8CD中，A8C。是正方形，E4_L平面A8C), E,尸分别为R4,8c的中点.(1)证明：E尸平面PCZ)：(2)已知R4 = AB = 2, G为棱CD上的点，EF1BG,求三棱锥一 FCG的体积.B f c(1)证明：如图，取P中点H,连接，HC,由E, 分别为小,产短的中点，知 EH/AD, EH = -AD, 2又尸为BC的中点，故FC/A, FC = -AD, 2即EH/FC,且.四边形瓦C”是平行四边形,即所C,又E/C平面PCD, HCu平面PCD,.-.EF/PCD；(2)解：如图，连接AF.平面 A8C, BGu平面 A8C),PA1BG,又 EF 上 BG , PAEF = E ,RAu平面MF, Fu平面班尸，.,.86_1平面4, AFu平面 尸，.BGYAF,即 ZAFB+ACBG = ZAFB+ZFAB=9(r ,：.ZAFB = BGC ,即 RtAABF = RtABCG,又 AB = BC = 2BF = 2, :.CG = l .又 R4 = 2,则 AE = 1,且 FC = 1,三棱锥 E-FCG 的体积 V = - S.rcr AE = - FC CG AE = -.3665 .如图所示，在三棱柱ABC-AB中，平面ACGA，平面ABC , AA, 1 AC , AAt=AB = BC = 2, D, R 分别为 AC, AG的中点，且 Za4C = 30.(I )在棱A4,上是否存在点M,使得M/平面O8G?若存在，请找出点M的位置; 若不存在，请说明理由；(II )求三棱锥C-DBG的体积.解：(I )存在，当点M与点A重合时M/平面OBQ .证明如下：连接R4,分别为AC, AG的中点，DUDA ,且D.C, = DA ,可得四边形AG。4为平行四边形，则 RA/CQ, CQ u 平面 DBCt , R A 即三棱锥C -。8G的体积为也.41 Di Ci6 .如图，已知四棱锥P-ABCD中，AB/CD, O, A/分别是CD, PC的中点，POJ底面 ABC。，且 PO = OD=14 = A8 = BC.(1)证明：?A平面O8M；(2)若PO = 2,求三棱锥A/-FAB的体积.(1)证明：在四棱锥尸-ABC。中，O是CD的中点，M是PC的中点,所以OM是ACPD的中位线，即OM/PD,又尸Ou平面皿,QWC平面皿),所以。0平面皿),因为 A3 / /CD 且 AB =CO = DO,2所以四边形A8CD是平行四边形，有OB/AD,因为A)u平面R4D, OBU平面PAD,所以QB/平面K4D， 而。财|。8 = O ,所以平面OBM H平面PAD, 又叫u平面A4D,所以PA/平面08M.(2)解：连接M4, AC,如图所示:由 AB = BC=CO=OB = 2,所以 AABC 的面积为SMK =1x2x2xsin60 = V3 -又PO=2,所以三棱锥P-ABC的体积为Vp_AfiC=|xSBC x2 = gx/x2 =孚，三棱锥M3。的体积为= g所以三棱锥 M - PAB 的体积为 VM_PAB = VP_ABC - VM_ABC =.7 .如图，在四棱锥尸-A3CD中，四边形ASCD是梯形，FD_L平面ABCD, ADLBD, AB/CD, 2PF = FC, AD = 6；BC = M/BDC = 土, PD = CD.(1)证明：AP/平面瓦邛；(2)求三棱锥A-DC尸的体积.又ADLBD, :.NDAB =%,可得AAfiD是等腰直角三角形. 4v AD = -j2 , BD = y/2,AB = 2 , 如图，连接AC交8于点,连接EF.BD = e,BC = Ki,NBDC =%,4在 ABCD 中，由余弦定理得 8c2 = 8厅 + C。2 - 28。 8 cos NBDC ,解得C = 4,则 AE:EC = AB:C = 1:2,故2AE = C,又点 F 在棱 PC上，且 2PF = FC, AP/EF ,又4PC平面班历Fu平面8。尸，故4P平面B；(2)解：由(1)知 BD = 6,BC = ，NBDC =巴,CD = PD = 4 ,4在 AAC 中，ADLBD,ABDC = ,故乙皿?二网，4则 S.”,AO,CZrsinZAOC =x0x4x立=2，aaco 222即匕 DCF=VF 4CD=-5MCD- = -x2x-x4 = .nLf.r r3 ZViC Lz 33398 .已知四棱锥尸-ABC。，其中 AD/8C, ABAD, CD = & , 3c = 24) = 2 ,平面 PBC_L平面ABC,点E是PB上一点,CELPB .（1）求证：CEJ_平面RS：（2）若ACDE是等边三角形，当点A到直线PC距离最大时，求四棱锥P-ABCD的体枳.(1)证明：因为 AD/8C, AB A. AD,则 A8_L8C,因为平面/3C_L平面ABC,且平面P8CC平面A3u平面ABC),所以平面PBC,又CEu平面8C,所以 ABJLCE,又 CELPB , PBAB = B , PB , 48u平面 F4B,则CE_L平面RS；(2)解：因为点A到直线PC的距离为4 = 476访/4。/,当NACP = 90。时，点A到直线PC的距离最大，此时PC 1. AC,由(1)可知，他_1_平面PBC,又PCu平面PBC,所以 AB_LPC,又 = AB, ACu 平面 ABC),所以尸C J平面ABC。，又ACDE为等边三角形,所以CD = CE = 6 ,在 RtABCE 中，BC = 2, CE = 42,则 8?=应，故NC8E=45,所以尸C = 2,因为5横心皿=|，故 r-AHCD S郴SBCO - PC = 1 所以四棱锥尸-ABCD的体积为1.9 .如图，在底面为平行四边形的四棱锥P-ABC。中，PA = PB=DA = DB = 1, M , N分2 1别为R4, P8上的点，且尸M=_, BN =-.3 3(I )求证：MN/平面ABCD；(II )求四棱锥P-ABC体积最大时AB的长.BC一 121 PM PN(/)证明：PA = PB = l, PM =-, BN = -,=,:.MN/AB.33 MA NB又.MV 仁平面 ABC。，ABu 平面 ABC, :.MN / /ABCD.()解：;PA = PB = DA = DB,和A/%8为底边相同的两个等腰三角形.取 AB 的中点为 E,连接 P, DE,则PELAB, DELAB,且尸 E0|OE = E. r.ABJ平由题得当平面上4B1平面ABD时，三棱锥的体积最大，即四棱锥PABCO的体积最大, ； Swo =IS平行四边般ABC , 匕：校锥P-APO =5%校W：P-ABCO ,令 AB = 2x ,贝 lj0xJl-x2V P-ABD = 3 X 5 X 2xx 也-X? X yj-x2 =-x-r1./(x) = -x-x5. 0x令尸(x) = 0,得x邛当xw(0,f)时，fx) 0 ,/(x)在(0,日)上单调递增,等，四棱锥P3CD体积的最大值为当x e (当,1)时，fx) 中点，连接, CE交 于点尸，G为A4BE的重心.(1)证明：GF/平面ABC；(2)若平面 ASC_L 底面 BCDE,平面 ACO_L 底面 8C/)E , fiC=3. 8 = 6, AC = 4, 求四棱锥G - 75/0的体积.解：（1）证明：延长EG,交AB于点、N ,连接C7V.G是A4BE的重心，；.N是的中点，且竺=2, GNCM UBE,EF BEEF _ EGFCGN.-.GF/NC ,又GFC平面ABC, NCu平面ABC, .6尸/平面48。.(2) .平面 ABC_L平面 8C),平面 A8CC平面 8cE = BC ,DCBC, )Cu平面 3CE,.。_1_平面 ABC,.ACu平面 ABC, :.DCLAC,同理，BCLAC,v BCp|DC = C , BC, DCu平面 BCDE, r. AC_L 平面 8clDE,N为AB的中点，则N到平面BCDE的距离d = , AC = 2 ,2又G为MBE的重心，.点G到平面BCDE的距离人满足或=空=2 ,d EN 3解得=3.3111 C.四边形的面积 S = -x)ExC xA/Cx = 9- = ,2232 2四棱锥G-EFMD的体积V =1xx = W .3 2 3 311.如图，EA_L面A8C）,四边形A8C是边长为1的为正方形；点E在线段PC匕PE =tn -EC(1)若尸A/面EBD,求 m 11；若尸C _L面EBD ,(2)棱锥E-BCD体积取得最大值，求四棱锥P-ABC。的高.Alu 面序 C,面 ft4CC 面 BD = O, PA/面 EBD,PA II EOEO CE CO 1 =-,二i = l. PA CP CA 2(2)设4(70|8。=。. AB4c 中，作 EW/P4,交 AC于.面 A8C),，_1面 A88, EH 就是 E到面 SCO的距离,因为E-5co的底面ABCD不变，所以求四棱锥尸-ABC。的高，即求E4最大时R4的值. PC 面 EBD , OE u 面 EBD , OE PC .故E在以OC为直径的半圆上, 当EH取最大值时，EH为圆的半径，为圆心.PA CH ? * i此时=Z= 4, PA = 4EH=4x-OC=f2 .EH CA 21 OC |2 12.如图，点A是腰长为2的等腰直角三角形O8C的底边OC的中点，ADJ_8C于点。,将ZOAB沿A8折起，此时点O记作点P .(I)当三棱锥尸-MC的体积最大时，证明：平面ABC,平面皿：(II )若二面角P-ABC的大小为120。，求三棱锥P-ABC的体积.B(I )证明：如图，要使三棱锥P-ABC的体积最大，则平面P4BJL平面ABC,所以P4_L 平面ABC.又 BCu 平面 ABC,所以 BCJ_R4.又 AD_L8C, ADPA = A, ADu 平面 R4), R4u 平面/HD,所以BCJL平面皿.又8Cu平面ABC,所以平面ABC 平面PAD .(11)解：如图，由题意知P4_LAB, AB VAC, PAAC = A ,而二面角P-AB-C的大 小为 120,所以 NE4c=120。.根据折叠过程可程BC = P8 = 2,所以尸A = 4C = 48 = V5,所以三棱锥P-ABC的高 = 2441160。=&、且=逅，2 2所以三棱锥PtABC的体积丫 = 150加、. =1AB-AC =2x0x&x = .3 3 262613.如图，在三棱柱A8C - A4G中，4418cl =90，A4=4G=A4,=2,顶点C在底面A81G上的射影为AC的中点，。为AC的中点，E是线段CG上除端点以外的一点.(1)证明：801.平面 ACGA；1 c F(2)若三棱锥E-CW的体积是三棱柱C-AUG的体积的展，求停的值.(1)证明：设AG的中点为。，连接oq, oc,.,点C在底面AgG上的射影为O, CO_L平面A,B , 又cou平面AGC4 ,平面ACAJ平面aqG，幺4G =90。，平面 agcac平面 ABC = AG，.80_1平面人c。4,连接OO,. DO! IBB, , DO = 8A，.四边形B8Q）为平行四边形,.8_1平面4。1；（2）解：由（1）得BQ_L平面 AGC4 , OC, =OC = CD=BtO = yf2 ,4GC = 45 , ZACC, =135 ,令CE=x,SAnrf. = - DC- CE- sinZACC,V2 x-sinl35 = -x ,ADCE 21 22.v V _ J. .ROr, yE-CDBf - y-CDE _ 3DCE一人,又；arc =S .c -CO = -x2x2xV2=2/2,/tot -rl|ZJ|V|a/1|D|C 2Bi由已知可得在x =解得x = l.612C E 1.E为CG的中点，即* = !.CtC 214.如图，已知圆O的直径AB长为2,上半圆圆弧上有一点C, NCO3 = 60。，点P是弧AC上的动点，点。是下半圆弧的中点，现以4?为折线，将上、下半圆所在的平面折成直二面 角，连接尸O, PD, CD.D(I )当AB/平面PC)时，求PC的长；(II)求三棱锥P-COQ最大体积.解：(I ) .舫/平面巾), ABu平面OCP,平面OCPC平面PC0 = PC,由直线与平面平行的性质可得AB/PC,又 NCO8 = 60。，可得 NOCP = 60,而OC = OP,为正三角形，得 PC = 1;(II ) .二面角C-AB-D为直二面角，且平面AC8C平面4)8 =9，DO LAB, DOu 平面 ADB,)0 _L平面 COP ,而 VP ron = Vn rnp .当CO_LO尸时，三棱锥P-COD的体积最大，则匕mp=-x-xOPxOCxOD = -.3 2615.如图，在圆锥PO中，AC为(DO的直径，点B在AC上，OD/BC, ZCAB = -. 6(1)证明：平面P8；(2)若直线上4与底面所成角的大小为卫，且底面圆的面积为4乃，求三棱锥C-POD的体4积.(1)证明：如图，/0_1圆锥底面，/01.钻，.AC为OO的直径，点8在AC上，. .AB1BC,又8/8C, .ABLOD,POyOD = O, PO、ODu 平面 POD,AB_L平面 POD；(2)解：.底面圆的面积为41，.Q4 = 2 , AC = 4,在 RtAABC 中，Z.CAB = - , :.BC=2 ,则 48 = 542-2, =2也,6Sgsc =耳 x 2 x 2G = 2/3 o为AC的中点，。为他的中点，500=15皿=工、26=走,又直线PA与底面所成角的大小为王,:.PO = OA = 2,416.如图，在四棱锥S-ABC。中，底面ABC。是直角梯形，AD/BC, ABLBC, P, Q 是 8 的中，点，NSPQ = 60。，AB = 26 , BC = 2, AD=, SB = SA = g，点M , N分别是SB, C8的中点.(1)求证：平面4WZV/平面SC。；(2)求三棱锥8-SCD的体积.d D(1)证明：A7, N分别是SB, C8的中点，.MN/SC, MN = -SC 2:.NC = -BC = l, 2又 AD=1, AD/IBC . :.ADI INC 旦 AD = NC ,则四边形AZX7N是平行四边形，得AN DC,由 MN I/SC, MNP 平面 SCD, SCu 平面 SCO,得 MN 平面 SQD,由 AV/ADC, ANU平面SCO, u平面SC,得 4V/平面SCO,平面AMV/平面S8；(2)解：.SB = S4 =叵，P是他的中点，. .SPAB,2则 SP?得 SP =但_3=3,V 42.Q 是 ZX?的中点，.-.PQ = D+BC =-,得 SP = PQ, 22已知NSPQ = 60。，；.A5PQ为等边三角形，取PQ的中点E,连接SE,得 SE工 PQ, SE = JsP2_&PQ)2 =、H=早.V 2 V4 164. PQ/BC, ABBC, ABLPQ,v SPPQ=pf .4?_L平面SPQ,而ABu平面ABC。，得平面5尸Q J平面ABCD, 又平面SPQC平面 45c=PQ,.SEI.平面 ABC). ,Vb-SCD =Vs_BCD = , SE. Swcd = JX-X-x2x23 = 2 ,， D17.如图，在直三棱柱 AQC-ABC 中，AD=AD, 为 BC上的一点，AB = AC = BC = a,CC = h.(1)若 BE = EC ,求证：平面 8CC8.(2)平面BCO将棱柱A&C-ABC分割为两个几何体，记上面一个几何体的体积为匕， 下面一个几何体的体积为匕，求乜的值.匕CB解：（1）证明：如图，取BC1中点F,连接AF, E,在直三棱柱A9C-ABC中,:BE = EC,:.EF/CC, EF = -CC, 2-.AD=AD,AO = !cCA/CC,2四边形4）防是平行四边形，:.DE/AF,由题意AA8C为正三角形，侧棱A4, BB , CC两两平行且都垂直于平面A8C,：.AFBC, AFJ.BB1,.BC , 3u 平面 BCC8, BCBB = B,AF _L 平面 BCCB,(2)正三棱柱AQC-ABC的底面积S,则体积丫 =走%.2244下面一个几何体为四棱锥B-ACCD,底面积5悌仆，。=g xj x a = % ,因为平面ABCJ_平面ACCW,过点8作AABC边AC上的高线BG,如图，在平面与平面垂直的性质可得BG垂直于平面ACCA.故四棱锥8- ACCD的高等于3。.2则 V-, =-x ahx a = a2h 2 3 428从而乂=丫一匕= 2488V-L = l.C