高考数学平面向量的数量积突破复习

平面向量的数量积走进高考第一关走进高考第一关 基础关基础关教 材 回 归1. 向量的夹角(1)已知两个_向量a和b,作 =a, =b,则AOB=叫做向量a与b的夹角.(2)向量夹角的范围是_,a与b同向时,夹角=_;a与b反向时,夹角=_.(3)如果向量a与b的夹角是_,我们说a与b垂直,记作_.非零非零0, 090abOA OB 2. 向量的投影_(_)叫做向量a在b方向上(b在a方向上)投影.3. 平面向量数量积的定义ab=_(是向量a与b的夹角),规定:零向量与任一向量的数量积为_.|a|cos|b|cos|a|b|cos04. 向量数量积的性质设a,b都是非零向量,e是与b方向相同的单位向量,是a与e的夹角,则(1)ea=_=_.(2)ab=_.(3)当a与b同向时,ab=_;特别地,aa=_或|a|=_.a e|a|cosa b=0|a|b|a|2a a(4)cos=_.(5)|ab|_|a|b|.5. 向量数量积的运算律(1)ab=_.(交换律)(2)(a)b=_=_.(数乘结合律)(3)(a+b)c=_.(分配律)6. 平面向量数量积的坐标表示(1)若a=(x1,y1),b=(x2,y2),则ab=_.(2)若a=(x1,y1),b=(x2,y2),是a与b的夹角,则cos= .b a(a b)a (b)a c+b c121222221122x xyyxyxya ba b221212()()xxyy(3)若向量a的起点坐标和终点坐标分别为(x1,y1),(x2,y2),则|a|=_,这就是平面内两点间的距离公式.(4)设a=(x1,y1),b=(x2,yy2),则ab_.a b=0 x1x2+y1y2=0()()221212xxyy考 点 陪 练1. 设abc是任意向量,mR,则下列等式不一定成立的是( )A. (a+b)+c=a+(b+c)B. (a+b)c=ac+bcC. m(a+b)=ma+mbD. (ab) c=a(b+c)答案答案:D2. P是ABC所在平面上一点,若 = = ,则P是ABC的( )A. 外心 B. 内心C. 重心 D. 垂心PA PB PB PC PC PA 答案答案:D3. 已知a 5b均为单位向量,它们的夹角为60,那么|a+3b|等于( ) . 7 . 10 . 13 .ABCD4答案答案:C4. 非零向量 =a, =b,若点B关于 所在直线的对称点为B1,则向量 为( )OA OB OA 1OB 答案答案:A222(a b)a.b .2aba2(a b)ab2(a b)ab. .aaABCD5. (2010福建福州质检)(基础题,易)直角坐标系xOy中, =(2,1), =(3,k),若三角形ABC是直角三角形,则k的可能值的个数是( )A. 1 B. 2C. 3 D. 4AB A C答案答案:B解析解析: - = =(-1,1-k),(1) =0k=-6,(2) =0k=-1,(3) =0k2-k+3=0,由由0得无解得无解.AB ACCB AB ACAB CB ACCB 解读高考第二关 热点关类型一:数量积的性质及运算 解题准备解题准备:1. |a|b|cos叫做向量叫做向量a和和b的数量积的数量积(或内或内积积),记作记作ab,即即ab=|a|b|cos. 2. 设设a=(a1,a2),b=(b1,b2),则则ab=a1b1+a2b2. 3. 向量的数量积是历年高考命题的热点向量的数量积是历年高考命题的热点,涉及到本知识点涉及到本知识点时时,主要考查平面向量数量积的运算、化简、证明问题主要考查平面向量数量积的运算、化简、证明问题. (1)设abc是任意的非零向量,且互不共线.给出以下命题:(ab)c-(ca)b=0;|a|-|b|a-b|;(bc)a-(ca)b不与c垂直;(3a+2b)(3a-2b)=9|a|2-4|b|2.其中是真命题的是_.类型二:利用数量积解决长度垂直问题解题准备解题准备:常用的公式与结论有常用的公式与结论有:|a|2=a2=a a或或|a|= = ; |ab|= = ; 若若a=(x,y),则则|a|= .其中其中两个公式应用广泛两个公式应用广泛,需需重点把握重点把握.abab=0(a,b均为非零向量均为非零向量);设设a=(x1,y1),b=(x2,y2),则则abx1x2+y1y2=0.a a2ab22a2a bb22xy2a解析对于只有当向量b,c的方向相同时,二者才相等所以错;考虑式对应的几何意义,由三角形两边之差小于第三边知正确;由c)a-(ca)bc=0知(bc)a-(ca)b与c垂直,故错;向量的乘法运算符合多项式乘法法则,所以正确.所以正确命题的序号是.分析分析利用利用|a|= 及及abab=0即可解决问题即可解决问题.典例2已知|a|=4,|b|=8,a与b的夹角是120.(1)计算|a+b|,|4a-2b|;(2)当k为何值时,(a+2b)(ka-b)?a a解由已知,ab=48(- )=-16.(1)|a+b|2=a2+2ab+b2=16+2(-16)+64=48,|a+b|=4 .|4a-2b|2=16a2-16ab+4b2=1616-16(-16)+464=3162.|4a-2b|=16 .(2)若(a+2b)(ka-b),则(a+2b)(ka-b)=0,ka2+(2k-1)ab-2b2=0.16k-16(2k-1)-264=0,k=-7.1233评析(1)利用数量积求解长度问题是数量积的重要应用,要掌握此类问题的处理方法:|a|2=a2=aa;|ab|2=a22ab+b2;若a=(x,y),则|a|= .(2)非零向量abab=0是非常重要的性质,它对于解决平面几何图形中有关垂直问题十分有效,应熟练掌握,若a=(x1,y1),b=(x2,y2),则abx1x2+y1y2=0.22xy类型三类型三:利用数量积解决夹角问题利用数量积解决夹角问题解题准备:1. 涉及到与夹角有关的问题,往往利用向量的夹角公式解决,这也是平面向量数量积的一个重要考点.2. cos= ;设a=(a1,a2),b=(b1,b2),则cos= .3. 在应用上述公式求夹角时,要考虑夹角的取值范围.a ba b112222221212a ba baabb典例3已知ab都是非零向量,且|a|=|b|=|a-b|.求a与a+b的夹角.分析由公式cos= 可知,求两个向量的夹角关键是求数量积及模的积.本题中|a|=|b|=|a-b|的充分利用是求数量积的关键,考虑怎样对条件进行转化.a ba b评析(1)求两个向量的夹角,需求得ab及|a|,|b|或得出它们的关系,注意夹角的取值范围是00,1800.正确理解公式是关键.(2)向量有两种表示形式,即坐标法和几何法,解题时要灵活选择.本题通过比较两种方法发现,利用向量的几何形式解答此类题目显得更加简捷和直观.笑对高考第三关 成熟关名名 师师 纠纠 错错误区:向量的模与数量积的关系不清致误典例已知向量典例已知向量a,b满足满足|a|=|b|=1,且且|a-kb|= |ka+b|,其中其中k0.(1)试用试用k表示表示ab,并求出并求出ab的最大值及此时的最大值及此时a与与b的夹角的夹角的的值值;(2)当当ab取得最大值时取得最大值时,求实数求实数,使使|a+b|的值最小的值最小,并对这一并对这一结果作出几何解释结果作出几何解释.3剖析本题可以通过对已知条件两端平方解决,容易出现的问题是对向量模与数量的关系不清导致错误,如认为|a-kb|=|a|-|kb|或|a-kb|2=|a|2-2k|a|b|+k2|b|2等都会得出错误的结果.第二个易错之处就是在得到ab=- 后,忽视了k0的限制条件,求错最值.21k4k评析向量的模与数量积.向量的模与数量积之间有关系式|a|2=a2=aa,这是一个简单而重要但又容易用错的地方,由这个关系还可以得到如|ab|2=|a|22ab+|b|2,|a+b+c|=|a|2+|b|2+|c|2+2ab+2bc+2ca等公式,是用向量的数量积解决向量模的重要关系式.在解决与向量模有关的问题时要仔细辨别题目的已知条件,用好向量的模与数量积之间的关系.变式变式:设非零向量设非零向量a,b的夹角为的夹角为60,是否存在满足条件的向是否存在满足条件的向量量a,b,使得使得|a+b|=2|a-b|?无论是否存在都请说明理由无论是否存在都请说明理由.解:假设存在向量a,b满足|a+b|=2|a-b|,则|a+b|2=4|a-b|2,即|a|2+2ab+|b|2=4(|a|2-2ab+|b|2),3|a|2-10ab+3|b|2=0,由于ab=|a|b|cos60= |a|b|,故3|a|2-5|a|b|+3|b|2=0,|b|0,3( )2-5 +3=0,ab12ab注意到注意到 为实数为实数,对于上述以对于上述以 为未知数的方程为未知数的方程,=(-5)2-433=-110,上述方程无实数解上述方程无实数解,故满足故满足|a+b|=2|a-b|的向量的向量a,b不存在不存在.abab解 题 策 略1. 注意类比平行垂直关系的联系与区别注意类比平行垂直关系的联系与区别,对于两个非零向量对于两个非零向量a=(x1,y1),b=(x2,y2)有有(1)abab=0 x1x2+y1y2=0;(2)abab=|a|b|x1y2-x2y1=0.2. 向量的长度距离和夹角公式已知a=(a1,a2),则|a|= ,即向量的长度等于它的坐标平方和的算术平方根.如果A(x1,y1),B(x2,y2),则| |= .事实上这就是解析几何中两点间的距离公式.已知a=(a1,a2),b=(b1,b2),则两个向量的夹角为cos= .用坐标表示向量,利用向量的数量积可以解决有关垂直的问题,还可以求向量的长度夹角,从而可以发现向量与解析几何三角函数有密切的联系.2212aaAB 222121xxyy112222221212a ba baabb快快 速速 解解 题题典例求向量c,使它与向量a=( ,-1)和b=(1, )的夹角相等,且|c|= .解题切入点解题切入点设设c=(x,y),由题意由题意,cos=cos,解下去解下去便可便可 分析思维过程分析思维过程本题思路清楚本题思路清楚,设出向量设出向量c=(x,y),使使c与与a夹角夹角的余弦等于的余弦等于c与与b夹角的余弦即可夹角的余弦即可.又由又由|c|= ,联立两方联立两方程程,解之即得解之即得.3322快解如图,由题设知,以a,b为边的三角形为等腰直角三角形,直角边长为2,斜边AB长为2 ,斜边上的中线OC长恰 为 .且OC平分直角AOB,点C为AB的中点,由中点坐标公式得c=( , ),且-c也满足题意或c=(- ,- ). 3123-123123-1222方法与技巧详解是求向量的夹角求模,属最基本的知识运用.而快解却准确地抓住了题设条件,只运用中点坐标公式就可以获解了.普通情况下,解题技巧运用的并不多,主要是发现题目的特点.得分主要部分得分主要部分夹角公式的运用夹角公式的运用,由题设得两个方程由题设得两个方程,解方程组解方程组.易丢分原因易丢分原因详解中详解中,解方程时解方程时,分母有理化不出错就不会丢分分母有理化不出错就不会丢分.而快解却很容易丢分而快解却很容易丢分,图中图中OC很明显很明显,但但- 从图中反映不从图中反映不出来出来,做题时应十分注意做题时应十分注意.OC教教 师师 备备 选选定比分点公式的应用 定比分点坐标公式关键是分清起点定比分点坐标公式关键是分清起点 终点终点 分点分点,要记准要记准公式形式公式形式.典例典例(青岛联考青岛联考)已知已知A(3,-4),B(-9,2),若点若点P满足满足 =- ,求点求点P的坐标的坐标.分析分析这是利用线段定比分点分式这是利用线段定比分点分式,求点的坐标的基本题目求点的坐标的基本题目.由于由于A B哪个点都可以做分点哪个点都可以做分点,所以就有不同的做法所以就有不同的做法.由由 =- ,知知 和和 共线共线.AP 13AB AP AB AP AB 13评析(1)前两种解法都是利用线段定比分点坐标公式.在使用此公式时,一定要分清始点分点终点,注意 = ,这始分终顺序一旦确定,其相应的值也就确定了.解法1是始(A)分(P)终(B),P是外分点,0,计算时比解法1好,尤其解法2中的=3是正整数,前两种解法以解法2较好.(2)点B点P点A可任选一个为起点(当然选择时以最有利于解题为准),选好起点终点定比分点后,要确定好,并由内(外)分点判断的正(负)号. 分 终 始分(3)解法3并没有用定比分点公式,而是直接根据已知条件 =- ,由“向量相等则其坐标相等”,经过坐标的计算而求得P的坐标,解法并不比用公式繁琐,而且紧扣向量的坐标运算法则.AP AB 13课时作业二十六 平面向量的数量积一选择题1. (能力题,中)已知,在ABC中,若 2= + + ,则ABC是( )A. 等边三角形B. 锐角三角形C. 直角三角形D. 钝角三角形答案答案:CAB AB ACBA BC CB CA 2. (2010高邮模拟)(能力题,中)已知向量 =(2,1), =(1,7), =(5,1),设M是直线OP上的一点(O为坐标原点),那么 的最小值是( )A. -16 B. -8C. 0 D. 4解析解析: = =(2,), =(1-2,7-), =(5-2,1-), =5(-2)2-8-8,故选故选B.答案答案:BOP OA OB MAMBOM OP MAMBMAMB3. (能力题,中)已知向量ae,|e|=1满足:对任意tR,恒有|a-te|a-e|,则( )A. ae B. a(a-e)C. e(a-e) D. (a+e)(a-e)答案答案:D4. (能力题,中)在O点测量到远处有一物体在做匀速直线运动,开始时该物体位于P点,一分钟后,其位置在Q点,且POQ=90,再过两分钟后,该物体位于R点,且QOR=60,则tan2OPQ的值等于( )A. B. C. D. 以上均不正确492 39427答案答案:C解析:以O为原点,OP为x轴,OQ为y轴建立直角坐标系,设P(m,0),Q(0,n),则有 =2 ,得R(-2m,3n),由QOR=60,得cosQOR= = = ,得27n2=4m2,即tan2OPQ= .故选C.1222nm427QRPQ OQ OROQOR 2223nn4m9n,352. . . .366.()(,)(,),(,),()3ABCD5 2010acossinbcossinaab石家庄质检二 基础题 易已知向量若则向量 与向量的夹角是答案答案:B6. (2010济南模拟)(能力题,中)在ABC中, =3,ABC的面积S ,则 与 夹角的取值范围是( )AB BC AB BC .,4.,6 3 AB4 36CD3 23 3,22答案：答案：B二填空题7. (2010济钢模拟济钢模拟)(基础题基础题,易易)已知已知|a|=2,|b|= ,a与与b的的夹角为夹角为45,要使要使b-a与与a垂直垂直,则则=_.22解析解析:由由b-a与与a垂直垂直,(b-a)a=ab-a2=0,所以所以=2.8. (经典题,中)在ABC中,O为中线AM上的一个动点,若AM=2,则 ( + )的最小值是_.OA OB OC-2解析解析:令令| |=x且且0 x2,则则| |=2-x. ( + )= 2 =-2(2-x)x=2(x2-2x)=2(x-1)2-2-2. ( + )最小值为最小值为-2.OM OA OA OB OCOA OM OA OB OC9. (能力题,中)已知a,b,c为ABC的三个内角A,B,C的对边,向量m=( ,-1),n=(cosA, sinA).若mn,且acosB=bcosA=csinC,则角B=_.63解析解析:mn= cosA- sinA=0,tanA= ,A= .又由正弦定理和又由正弦定理和acosB=bcosA=c sinC可知可知 sinAcosB+cosA sinB= sin2C即即 sin(A+B)= sinC= sin2C, sinC=1或或sinC=0(舍舍).C= ,B= .33326三解答题210. (易错题易错题,中中)已知已知|a|= ,|b|=1,a与与b的夹角为的夹角为45,求求使向量使向量(2a+b)与与(a-3b)的夹角是锐角的的夹角是锐角的的取值范围的取值范围.故使向量故使向量2a+b和和a-3b夹角为夹角为0的的不存在不存在.所以当所以当2或或-3时时,向量向量(2a+b)与与(a-3b)的夹角是锐角的夹角是锐角.评析:由于两个非零向量a,b的夹角满足0180,所以用cos= 去判断分五种情况:cos=1,=0;cos=0,=90;cos=-1,=180;cos0且cos1,为锐角.a ba b11. (2010东营一模)(经典题,中)已知a=( ,1),b= ,且存在实数k和t,使得x=a+(t2-3)b,y=-ka+tb,且xy,试求 的最小值.2ktt313,22由由xyxy知知a+(ta+(t2 2-3)b-3)b(-ka+tb)=0,(-ka+tb)=0,即即-ka-ka2 2+(t+(t3 3-3t)b-3t)b2 2+(t-t+(t-t2 2k+3k)ak+3k)ab=0,b=0,-k-k2 22 2+(t+(t3 3-3t)-3t)1 12 2+(t-t+(t-t2 2k+3k)k+3k)0=0,0=0,12. (综合题,中)已知a=(cos ,sin ),b=(cos ,-sin ) 且0, .(1)求 的最值;(2)若|ka+b|= |a-kb|(kR),求k的取值范围.3232223a bab33分析分析:应用向量数量积的运算转化成关于应用向量数量积的运算转化成关于为变量的函数为变量的函数,可求可求出第出第(1)问问,第第(2)问通过模的关系问通过模的关系,建立建立与与k的关系式的关系式,通过三通过三角函数的有界性求角函数的有界性求k的范围的范围.