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题 型122.（2017北部湾）如图，矩形ABCD的对角线AC,BD相交于点O，点E,F在BD上，BE=DF.（1）求证：AE=CF；（2）若AB=6，COD=60，求矩形ABCD的面积（1）证明：四边形ABCD是矩形，OA=OC，OB=OD，AC=BD，ABC=90.BE=DF，OE=OF.在AOE和COF中，OA=OC,AOE=COF,OE=OF,AOE COF（SAS），AE=CF.类型 简单的三角形，四边形的证明与计算例 . 把一张矩形ABCD纸片按如图方式折叠，使点A与点E重合，点C与点F重合（E、F两点均在BD上），折痕分别为BH、DG.（1）求证：BHE DGF；（2）若AB=6cm，BC=8cm，求线段FG的长.分析（1）先根据矩形的性质得出ABD=BDC，再由图形折叠的性质得出ABH=EBH，FDG=CDG，A=HEB=90，C=DFG=90，进而可得出BEH DFG.（2）先根据勾股定理得出BD的长，进而得出BF的长，由图形折叠（轴对称）的性质得出CG=FG，设FG=x，则BG=8-x，再利用勾股定理即可求出x的值.点评本题考查的是图形折叠（轴对称）的性质及矩形的性质，全等三角形的判定，熟知折叠是一种轴对称的过程，折叠前后图形的形状和大小不变（全等），位置变化，对应边和对应角相等是解答此题的关键.变式训练1.（2017北部湾样卷）如图，在ABCD中，E，F分别是AB,DC边上的点，且AE=CF.(1)求证：ADE CBF;(2)若DEB=90,求证：四边形DEBF是矩形.证明：（1）四边形ABCD是平行四边形，AD=CB，A=C.在ADE和CBF中，AD=CB, A=C, AE=CF,ADE CBF(SAS).(2)证法一：ADE CBF，DE=BF.四边形ABCD是平行四边形,AB=CD.AE=CF，AB-AE=CD-CF.EB=DF.四边形DEBF是平行四边形.DEB=90, BEBF是矩形.证法二：四边形ABCD是平行四边形,ABCD,AB=CD.AE=CF,AB-AE=CD-CF.EB=DF.四边形DEBF是平行四边形,DEB=90, DEBF是矩形.2.（2017饮州模拟）如图，将四边形ABCD的对角线BD向两个方向延长，分别至点E和点F，且使BE=DF，若AECF且AE=CF.（1）求证：ABE CDF；（2）若ACEF，求证：四边形ABCD是菱形.证明：（1）AECF，E=F.在ABE与CDF中，AE=CF，E=F，BE=DF，ABE CDF.（2）ABE CDF，AB=CD，ADE=CDF，ABD=CDB，ABCD，四边形ABCD是平行四边形.ACEF，即ACDB，平行四边形ABCD是菱形.3.如图，在平行四边形ABCD中，M，N分别是AD，BC的中点，BMC=90，连接AN，DN.（1）求证：ABM CDN；（2）点P在直线BM上，若BM=4，CM=3，求PND的周长的最小值.（2）解：在平行四边形ABCD中，M，N分别是AD，BC的中点，AMBN，AM=BN. 四边形ABNM为平行四边形.在RtBCM中，N为BC的中点， MN=BN.平行四边形ABNM为菱形. BM垂直平分AN.点N关于BM的对称点为点A.当点P位于点M时，NP+DP取到最小为AD.在RtBCM中，BM=4，CM=3，由勾股定理，得BC=AD=5.又由（1）可得DN=BM=4， PND的周长的最小值为5+4=9.
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