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第二部分第二部分 突破重点题型赢取考场高分突破重点题型赢取考场高分题型题型6 6函数应用问题函数应用问题常考类型常考类型突破突破类型类型1 一次函数的图表一次函数的图表( (文文) )信息应用题信息应用题 【例1】 某厂家在甲，乙两家商场销售同一件商品所获得的利润分别为y甲，y乙(单位：元)，y甲，y乙与销售数量x(单位：件)的函数关系如图所示，试根据图象解决下列问题(1)分别求出y甲，y乙关于x的函数关系式；(2)现厂家分配该商品800件给甲商场，400件给乙商场，当甲乙商场售完这批商品后，厂家可获得总利润是多少元？满分技法满分技法 一次函数的图象含有大量有价值的信息，从函数图象中获取有价值的信息，正确地进行“形”和“数”的转换，理解图象，读取信息，数形结合是解决函数图象应用问题的关键求函数图象对应的解析式，大多用待定系数法，先根据函数图象的特点确定函数类型，设函数表达式的一般形式，然后将函数图象上点的坐标代入一般式得到方程组，解方程组得到待定系数，从而得到所求的函数解析式涉及一次函数的应用题，常从以下三个角度命题：1建立两种方案，比较方案优劣；2求一次函数的最大值；3给出函数图象(折线)，从图象中解决某些问题解题策略：1建立一次函数模型，分类讨论比较函数值大小；2建立函数模型，求出自变量的取值范围，求一次函数的最大值；3待定系数法求出函数解析式，将实际问题变成与函数解析式有关的方程求解，题意不明时宜画线段图，辅助分析等量关系满分必练满分必练 1.2016合肥蜀山区二模为加强公民的节水意识，合理利用水资源某市对居民用水实行阶梯水价，居民家庭用水量划分为两个阶梯，一、二级阶梯用水的单价之比等于12.如图所示的折线表示实行阶梯水价后每月水费y(元)与用水量x(m3)之间的函数关系其中射线AB表示第二阶梯时y与x之间的函数关系(1)写出点B的实际意义；(2)求射线AB所在直线的表达式解：(1)点B的实际意义是当用水量为25m3时，水费为70元(2)设第一阶梯用水的单价为m元/m3，则第二阶梯用水的单价为2m元/m3.设A(a,30)A(15,30)，B(25,70)设射线AB所在直线的表达式为ykxb，射线AB所在直线的表达式为y4x30.【例【例2 2】2017石家庄裕华区模拟小明家饮水机中原有水的温度为20，通电开机后，饮水机自动开始加热此过程中水温y()与开机时间x(分)满足一次函数关系，当加热到100时自动停止加热，随后水温开始下降此过程中水温y()与开机时间x(分)成反比例关系，当水温降至20时，饮水机又自动开始加热，重复上述程序(如图所示)，根据图中提供的信息，解答下列问题(1)当0 x8时，求水温y()与开机时间x(分)的函数关系式；(2)求图中t的值；(3)若小明在通电开机后立即外出散步，请你预测小明散步45分钟回到家时，饮水机内的水温约为多少？类型类型2 2 一次函数与反比例函数相结合的图文信息应用题一次函数与反比例函数相结合的图文信息应用题 满分必练 2.2017临朐县一模家用电灭蚊器的发热部分使用了PTC发热材料，它的电阻R(k)随温度t()(在一定范围内)变化的大致图象如图所示通电后，发热材料的温度在由室温10上升到30的过程中，电阻与温度成反比例关系，且在温度达到30时，电阻下降到最小值；随后电阻随温度升高而增加，温度每上升1，电阻增加 k.(1)求当10t30时，R和t之间的关系式；(2)求温度在30时电阻R的值；并求出t30时，R和t之间的关系式；(3)家用电灭蚊器在使用过程中，温度在什么范围内时，发热材料的电阻不超过6k？154【例3】 2017成都中考随着地铁和共享单车的发展，“地铁单车”已成为很多市民出行的选择，李华从文化宫站出发，先乘坐地铁，准备在离家较近的A，B，C，D，E中的某一站出地铁，再骑共享单车回家，设他出地铁的站点与文化宫距离为x(单位：千米)，乘坐地铁的时间y1(单位：分钟)是关于x的一次函数，其关系如下表：(1)求y1关于x的函数表达式；(2)李华骑单车的时间(单位：分钟)也受x的影响，其关系可以用y2 x211x78来描述，请问：李华应选择在哪一站出地铁，才能使他从文化宫回到家所需的时间最短？并求出最短时间类型类型3 一次函数与二次函数相结合的图文信息应用题一次函数与二次函数相结合的图文信息应用题地铁站ABCDEx(千米)89 10 11.5 13y1(分钟)18 20 22 25 2821【思路分析】【思路分析】 (1)根据表格中的数据，运用待定系数法，即可求得y1关于x的函数表达式；(2)设李华从文化宫回到家所需的时间为y，则yy1y2 x29x80，根据二次函数的性质，即可得出最短时间21满分技法 二次函数的实际应用常从以下三个角度命题：1实物抛物线，解题策略是点式点；2实际问题(几何问题)中的最大面积，解题策略是先求出面积的函数表达式，再求面积的最大值，关键是表示出与面积有关线段的函数表达式；3销售利润问题，往往利用w总单件利润件数建立函数模型，注意是否分类，最大值是否在顶点处取得，自变量的取值范围是否求准，计算是否准确，这些环节都是关系解题是否正确的根本因素，此类题容易失分，应多加重视满分必练 3.2017荆州中考荆州市某水产养殖户进行小龙虾养殖已知每千克小龙虾养殖成本为6元，在整个销售旺季的80天里，销售单价p(元/千克)与时间第t(天)之间的函数关系为：日销售量y(千克)与时间第t(天)之间的函数关系如图所示(1)求日销售量y与时间t的函数关系式；(2)哪一天的日销售利润最大？最大利润是多少？(3)该养殖户有多少天日销售利润不低于2400元？(4)在实际销售的前40天中，该养殖户决定每销售1千克小龙虾，就捐赠m(m7)元给村里的特困户在这前40天中，每天扣除捐赠后的日销售利润随时间t的增大而增大，求m的取值范围满分必练 4.2017达州中考宏兴企业接到一批产品的生产任务，按要求必须在14天内完成已知每件产品的出厂价为60元工人甲第x天生产的产品数量为y件，y与x满足如下关系：(1)工人甲第几天生产的产品数量为70件？(2)设第x天生产的产品成本为P元/件，P与x的函数图象如图工人甲第x天创造的利润为W元，求W与x的函数关系式，并求出第几天时，利润最大，最大利润是多少？ 解：(1)根据题意得，若7.5x70，得x 4，不符合题意若5x1070，解得x12.符合题意故工人甲第12天生产的产品数量为70件(2)由函数图象知，当0 x4时，P40.当4x14时，设Pkxb，将(4,40)，(14,50)代入， Px36.当0 x4时，W(6040)7.5x150 x.W随x的增大而增大，当x4时，W最大600元；当4600，当x11时，W取得最大值，最大值为845元【例4】 2017顺义区二模阅读下列材料：实验数据显示，一般成人喝250毫升低度白酒后，其血液中酒精含量(毫克/百毫升)随时间的增加逐步增高达到峰值，之后血液中酒精含量随时间的增加逐渐降低小明根据相关数据和学习函数的经验，对血液中酒精含量随时间变化的规律进行了探究，发现血液中酒精含量y是时间x的函数，其中y表示血液中酒精含量(毫克/百毫升)，x表示饮酒后的时间(小时)下表记录了6小时内11个时间点血液中酒精含量y(毫克/百毫升)随饮酒后的时间x(小时)(x0)的变化情况：类型类型4 反比例函数与二次函数相结合的图表信息应用题反比例函数与二次函数相结合的图表信息应用题下面是小明的探究过程，请补充完整：(1)如图，在平面直角坐标系xOy中，描出了上表中各对对应值为坐标的点，根据描出的点，画出血液中酒精含量y随时间x变化的函数图象；(2)观察表中数据及图象可发现此函数图象在直线x 两侧可以用不同的函数表达式表示，请你任选其中一部分直接写出表达式(3)按国家规定，车辆驾驶人员血液中的酒精含量大于或等于20毫克/百毫升时属于“酒后驾驶”，不能驾车上路参照上述数学模型，假设某驾驶员晚上20：00在家喝完250毫升低度白酒，第二天早上6：30能否驾车去上班？请说明理由23【思路分析】 (1)连线画出函数图象即可；(2)利用待定系数法即可解决问题；(3)把y20代入反比例函数y 中，得x11.25.喝完酒过11.25小时为早上7：15，即早上7：15以后血液中的酒精含量小于或等于20毫克/百毫升由此即可判断x225满分技法满分技法 解决此类问题，要充分利用图中的信息，结合实际问题情境所含等量关系，构建函数模型求解问题本题考查反比例函数的性质、二次函数的性质、待定系数法，解题的关键是理解反比例函数的定义，学会利用图象解决实际问题，属于中考常考题型 满分必练 5.交通工程学理论把在单向道路上行驶的汽车看成连续的流体，并用流量、速度、密度三个概念描述车流的基本特征，其中流量q(辆/小时)指单位时间内通过道路指定断面的车辆数；速度v(千米/小时)指通过道路指定断面的车辆速度，密度k(辆/千米)指通过道路指定断面单位长度内的车辆数为配合大数据治堵行动，测得某路段流量q与速度v之间关系的部分数据如下表：(1)根据上表信息，下列三个函数关系式中，刻画q，v关系最准确的是.(只填上正确答案的序号)q90v100；q ；q2v2120v.(2)请利用(1)中选取的函数关系式分析，当该路段的车流速度为多少时，流量达到最大？最大流量是多少？(3)已知q，v，k满足qvk，请结合(1)中选取的函数关系式继续解决下列问题速度v(千米/小时) 51020324048流量q(辆/小时) 550 1000 1600 1792 1600 1152 v3200市交通运行监控平台显示，当12v18时道路出现轻度拥堵试分析当车流密度k在什么范围时，该路段将出现轻度拥堵；在理想状态下，假设前后两车车头之间的距离d(米)均相等，求流量q最大时，d的值解：(1)函数q90v100，q随v的增大而增大，显然不符合题意函数q ，q随v的增大而减小，显然不符合题意故刻画q，v关系最准确的是.故答案为：(2)q2v2120v2(v30)21800，20，v30时，q达到最大值，q的最大值为1800.(3)当v12时，q1152，此时k96；当v18时，q1512，此时k84.84k96时，该路段出现轻度拥堵当v30时，q1800，此时k60.假设在理想状态下，前后两车车头之间的距离d(米)均相等，流量q最大时d的值为 【例5】2017黄冈中考月电科技有限公司用160万元，作为新产品的研发费用，成功研制出了一种市场急需的电子产品，已于当年投入生产并进行销售已知生产这种电子产品的成本为4元/件，在销售过程中发现：每年的年销售量y(万件)与销售价格x(元/件)的关系如图所示，其中AB为反比例函数图象的一部分，BC为一次函数图象的一部分设公司销售这种电子产品的年利润为s(万元)(注：若上一年盈利，则盈利不计入下一年的年利润；若上一年亏损，则亏损计作下一年的成本)(1)请求出y(万件)与x(元/件)之间的函数关系式；(2)求出第一年这种电子产品的年利润s(万元)与x(元/件)之间的函数关系式，并求出第一年年利润的最大值类型类型5 5 一次函数、反比例函数与二次函数相结合的图一次函数、反比例函数与二次函数相结合的图文信息应用题文信息应用题(3)假设公司的这种电子产品第一年恰好按年利润s(万元)取得最大值时进行销售，现根据第一年的盈亏情况，决定第二年将这种电子产品每件的销售价格x(元)定在8元以上(x8)，当第二年的年利润不低于103万元时，请结合年利润s(万元)与销售价格x(元/件)的函数示意图，求销售价格x(元/件)的取值范围【思路分析】【思路分析】 (1)根据待定系数法，即可求出y(万件)与x(元/件)之间的函数关系式；(2)分两种情况进行讨论，当x8时，s最大80；当x16时，s最大16.根据1680，可得当每件的销售价格定为16元时，第一年的年利润的最大值为16万元；(3)根据第二年的年利润s(x4)(x28)16x232x128，令s103，可得方程103x232x128，解得x111，x221，然后在平面直角坐标系中，画出s与x的函数图象，根据图象即可得出销售价格x(元/件)的取值范围(3)第一年的年利润为16万元，16万元应作为第二年的成本又x8，第二年的年利润s(x4)(x28)16x232x128.令s103，则103x232x128，解得x111，x221.在平面直角坐标系中，画出s与x的函数示意图如图所示观察示意图可知，当s103时，11x21.当11x21时，第二年的年利润s不低于103万元满分技法满分技法 1.对于分段函数，已知函数值求自变量取值时，要分别代入各个函数中，并检验求出的自变量是否在其取值范围内，若不在应舍去；2.求函数最值问题，若函数是二次函数，一般运用配方法将函数配成顶点形式，并结合自变量取值范围，确定函数的最值；若函数是一次函数或其他函数，可根据自变量的取值范围确定函数的最值本题涉及的主要数学思想方法有：代入法，分类讨论法，配方法本题主要考查了反比例函数与二次函数的综合应用，在商品经营活动中，经常会遇到求最大利润，最大销量等问题，解此类题的关键是通过题意，确定出二次函数的解析式，然后确定其最大值，实际问题中自变量x的取值要使实际问题有意义解题时应注意，函数关系式为分段函数时，需要运用分类思想进行求解满分必练 6.2013安徽中考某大学生利用暑假40天社会实践参与了一家网店的经营，了解到一种成本为20元/件的新型商品在第x天销售的相关信息如下表所示.(1)请计算第几天该商品的销售单价为35元/件；(2)求该网店第x天获得的利润y关于x的函数关系式；(3)这40天中该网店第几天获得的利润最大？最大利润是多少？销售量p(件)P50 x销售单价q(元/件)当1x20时，q30 x当21x40时，q20 21x525【例6】在一空旷场地上设计一落地为矩形ABCD的小屋，ABBC10m，拴住小狗的10m长的绳子一端固定在B点处，小狗在不能进入小屋内的条件下活动，其可以活动的区域面积为S(m2)(1)如图1，若BC4m，则Sm2.(2)如图2，现考虑在(1)中矩形ABCD小屋的右侧以CD为边拓展一正CDE区域，使之变成落地为五边形ABCED的小屋，其他条件不变，则在BC的变化过程中，当S取得最小值时，求边BC的长类型类型6 几何背景的函数应用题几何背景的函数应用题【思路分析】 (1)小狗活动的区域面积为以B为圆心，10为半径的 圆，以C为圆心，6为半径的 圆和以A为圆心，4为半径的 圆的面积和，据此列式求解可得；(2)此时小狗活动的区域面积为以B为圆心，10为半径的 圆，以A为圆心，AD为半径的 圆和以C为圆心，CD为半径的 圆的面积和，列出函数解析式，由二次函数的性质解答即可434141414336030【解】 (1)如图1，拴住小狗的10m长的绳子一端固定在B点处，小狗可以活动的区域如图所示由图可知，小狗活动的区域面积为以B为圆心，10为半径的 圆，以C为圆心，6为半径的 圆和以A为圆心，4为半径的 圆的面积和，S 102 62 4288.故答案为：88.(2)如图2，图2 满分必练 7.如图1，为美化校园环境，某校计划在一块长为60米，宽为40米的长方形空地上修建一个长方形花圃，并将花圃四周余下的空地修建成同样宽的通道，设通道宽为a米(1)用含a的式子表示花圃的面积(2)如果通道所占面积是整个长方形空地面积的 ，求出此时通道的宽(3)已知某园林公司修建通道，花圃的造价y1(元)，y2(元)与修建面积x(m2)之间的函数关系如图2所示，如果学校决定由该公司承建此项目，并要求修建通道的宽度不少于2米且不超过10米，那么通道宽为多少时，修建通道和花圃的总造价最低，最低总造价为多少元？83解：(1)由题意可知，花圃的面积为(602a)(402a)4a2200a2400.(2)通道的面积为6040(4a2200a2400)4a2200a，则4a2200a 2400，4a2200a9000.解得a15，a245(舍去)通道的宽为5米(3)设修建通道和花圃的总造价为y元，由图可知，y140 x，y2再设花圃的面积为bm2，则通道的面积为(2400b)m2，b4a2200a24004(a25)2100.2a10，当a2时，b最大2016；当a10时，b最小800，800b2016.yy1y240(2400b)35b20000，即y5b116000(800b2016)50，y随b的增大而减小，当b2016时，y最小，y最小105920.此时20164a2200a2400，解得a12或a248(舍去)当通道宽为2米时，修建通道和花圃的总造价最低，为105920元 【例7】2017德州中考随着新农村的建设和旧城的改造，我们的家园越来越美丽，小明家附近广场中央新修了个圆形喷水池，在水池中心竖直安装了一根高为2米的喷水管，它喷出的抛物线形水柱在与水池中心的水平距离为1米处达到最高，水柱落地处离池中心3米(1)请你建立适当的平面直角坐标系，并求出水柱抛物线的函数解析式；(2)求出水柱的最大高度的多少？类型类型7 7 现实生活中的二次函数现实生活中的二次函数【思路分析】 (1)以水管与地面交点为原点，原点与水柱落地点所在直线为x轴，水管所在直线为y轴，建立平面直角坐标系设抛物线的解析式为ya(x1)2h，代入(0,2)和(3,0)得出方程组，解方程组即可，(2)求出当x1时，y 即可38满分技法 解决有关二次函数的实际问题，首先要学会确定二次函数解析式，会用配方法将一般式化为顶点式，能利用顶点式确定二次函数的最值，进而解决实际问题 满分必练 8.2016合肥高新区一模音乐喷泉(图1)可以使喷水造型随音乐的节奏起伏变化而变化，某种音乐喷泉形状如抛物线，设其出水口为原点，出水口离岸边18m，音乐变化时，抛物线的顶点在直线ykx上变动，从而产生一组不同的抛物线(图2)，这组抛物线的统一形式为yax2bx.(1)若已知k1，且喷出的抛物线水线最大高度达3m，求此时a，b的值；(2)若k1，喷出的水恰好达到岸边，则此时喷出的抛物线水线最大高度是多少？(3)若k2，且要求喷出的抛物线水线不能到岸边，求a的取值范围 满分必练 9.如图，某足球运动员站在点O处练习射门，将足球从离地面0.5m的A处正对球门踢出(点A在y轴上)，足球的飞行高度y(单位：m)与飞行时间t(单位：s)之间满足函数关系yat25tc，已知足球飞行0.8s时，离地面的高度为3.5m.(1)足球飞行的时间是多少时，足球离地面最高？最大高度是多少？(2)若足球飞行的水平距离x(单位：m)与飞行时间t(单位：s)之间具有函数关系x10t，已知球门的高度为2.44m，如果该运动员正对球门射门时，离球门的水平距离为28m，他能否将球直接射入球门？
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