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二、分类讨论思想-2-高考命题聚焦思想方法诠释从近五年的高考试题来看,分类讨论思想在高考试题中频繁出现,已成为高考数学试题的一个热点,也是高考的难点.高考中经常会有几道题,解题思路直接依赖于分类讨论,特别在解答题中(尤其是导数与函数)常有一道分类求解的压轴题,选择题、填空题也会出现不同情形的分类讨论题.-3-高考命题聚焦思想方法诠释1.分类讨论思想的含义分类讨论思想就是当问题所给的对象不能进行统一研究时,需要把研究对象按某个标准分类,然后对每一类分别研究,得出每一类的结论,最后综合各类结果得到整个问题的答案.对问题实行分类,分类标准等于是增加的一个已知条件,实现了有效增设,将大问题分解为小问题,优化了解题思路,降低了问题难度.-4-高考命题聚焦思想方法诠释2.分类讨论思想在解题中的应用(1)由数学概念引起的分类讨论;(2)由性质、定理、公式的限制引起的分类讨论;(3)由数学运算要求引起的分类讨论;(4)由图形的不确定性引起的分类讨论;(5)由参数的变化引起的分类讨论;(6)由实际意义引起的分类讨论,特别是在解决排列、组合中的计数问题时常用.-5-命题热点一命题热点二命题热点三命题热点四根据数学概念的分类讨论【思考】 在中学数学中,哪些概念会引起分类讨论?例1设0 x0,且a1,比较|loga(1-x)|与|loga(1+x)|的大小. 答案 答案关闭0 x1,01-x1,01-x21.当0a0,loga(1+x)0;当a1时,loga(1-x)0.|loga(1-x)|-|loga(1+x)|=-loga(1-x)-loga(1+x)=-loga(1-x2)0.由可知,|loga(1-x)|loga(1+x)|.-6-命题热点一命题热点二命题热点三命题热点四题后反思有许多核心的数学概念是分类的,由数学概念引起的分类讨论,如绝对值的定义、二次函数的定义、分段函数的定义、异面直线所成角的定义、直线的斜率、指数函数、对数函数等.-7-命题热点一命题热点二命题热点三命题热点四对点训练1若函数 (a0,且a1)的值域是4,+),则实数a的取值范围是. 答案解析解析关闭 答案解析关闭-8-命题热点一命题热点二命题热点三命题热点四根据运算、定理、公式进行的分类讨论【思考】 哪些运算的要求或性质、定理、公式的条件会引起分类讨论?例2设直线l与抛物线y2=4x相交于A,B两点,与圆(x-5)2+y2=r2(r0)相切于点M.且M为线段AB的中点,若这样的直线l恰有4条,则r的取值范围是()A.(1,3)B.(1,4)C.(2,3)D.(2,4)D -9-命题热点一命题热点二命题热点三命题热点四-10-命题热点一命题热点二命题热点三命题热点四题后反思1.在中学数学中,一次函数、二次函数、指数函数、对数函数的单调性,基本不等式,等比数列的求和公式在不同的条件下有不同的结论,或者在一定的限制条件下才成立,应根据题目条件确定是否进行分类讨论.2.有些分类讨论的问题是由运算的需要引发的.比如除法运算中分母能否为零的讨论;解方程及不等式时,两边同乘一个数是否为零、正数、负数的讨论;二次方程运算中对两根大小的讨论;求函数单调性时,导数正负的讨论;排序问题;差值比较中的差的正负的讨论;有关去绝对值或根号问题中等价变形引发的讨论等.-11-命题热点一命题热点二命题热点三命题热点四对点训练2若函数f(x)=ax-x-a(a0,且a1)有两个零点,则实数a的取值范围是. 答案解析解析关闭设函数y=ax(a0,且a1)和函数y=x+a,则函数f(x)=ax-x-a有两个零点,就是函数y=ax与函数y=x+a的图象有两个交点.由图象(图略)可知,当0a1时,因为函数y=ax(a1)的图象过点(0,1),而直线y=x+a所过的点一定在点(0,1)的上方,所以一定有两个交点.故实数a的取值范围是(1,+). 答案解析关闭(1,+)-12-命题热点一命题热点二命题热点三命题热点四根据图形位置或形状变动分类讨论【思考】 由图形的位置或形状变动引发的讨论有哪些?例3若x,y满足 且z=y-x的最小值为-4,则k的值为() 答案解析解析关闭 答案解析关闭-13-命题热点一命题热点二命题热点三命题热点四题后反思一般由图形的位置或形状变动引发的讨论包括:二次函数对称轴位置的变动;函数问题中区间的变动;函数图象形状的变动;直线由斜率引起的位置变动;圆锥曲线由焦点引起的位置变动或由离心率引起的形状变动;立体几何中点、线、面的位置变动等.-14-命题热点一命题热点二命题热点三命题热点四对点训练3设F1,F2为椭圆 的两个焦点,P为椭圆上一点.已知P,F1,F2是一个直角三角形的三个顶点,且|PF1|PF2|,则 的值为. 答案解析解析关闭 答案解析关闭-15-命题热点一命题热点二命题热点三命题热点四根据字母的取值情况分类讨论【思考】 题目中含有参数的分类讨论问题主要有哪些?求解的一般思路是什么?例4已知函数f(x)=ae2x-be-2x-cx(a,b,cR)的导函数f(x)为偶函数,且曲线y=f(x)在点(0,f(0)处的切线的斜率为4-c.(1)确定a,b的值;(2)若c=3,判断f(x)的单调性;(3)若f(x)有极值,求c的取值范围.-16-命题热点一命题热点二命题热点三命题热点四解：(1)对f(x)求导,得f(x)=2ae2x+2be-2x-c,由f(x)为偶函数,知f(-x)=f(x),即2(a-b)(e2x-e-2x)=0,所以a=b.又f(0)=2a+2b-c=4-c,故a=1,b=1.(2)当c=3时,f(x)=e2x-e-2x-3x,故f(x)在R上为增函数.-17-命题热点一命题热点二命题热点三命题热点四当x1xx2时,f(x)x2时,f(x)0,从而f(x)在x=x2处取得极小值.综上知,若f(x)有极值,则c的取值范围为(4,+).-18-命题热点一命题热点二命题热点三命题热点四题后反思含有参数的分类讨论问题主要包括:(1)含有参数的不等式的求解;(2)含有参数的方程的求解;(3)函数解析式中含参数的最值与单调性问题;(4)二元二次方程表示曲线类型的判定等.求解这类问题的一般思路是:结合参数的意义及参数对结果的影响进行分类讨论.讨论时,应全面分析参数变化引起结论的变化情况,参数有几何意义时还要考虑适当地运用数形结合思想.-19-命题热点一命题热点二命题热点三命题热点四对点训练4已知函数f(x)=2x3-3x.(1)求f(x)在区间-2,1上的最大值;(2)若过点P(1,t)存在三条直线与曲线y=f(x)相切,求t的取值范围.-20-命题热点一命题热点二命题热点三命题热点四设g(x)=4x3-6x2+t+3,则“过点P(1,t)存在三条直线与曲线y=f(x)相切”等价于“g(x)有3个不同的零点”,g(x)=12x2-12x=12x(x-1),g(x)与g(x)的情况如下:所以,g(0)=t+3是g(x)的极大值,g(1)=t+1是g(x)的极小值,当g(0)=t+30,即t-3时,g(x)在区间(-,1和(1,+)上分别至多有1个零点,所以g(x)至多有2个零点,当g(1)=t+10,即t-1时,g(x)在区间(-,0)和0,+)上分别至多有1个零点,所以g(x)至多有2个零点.-21-命题热点一命题热点二命题热点三命题热点四当g(0)0,且g(1)0,即-3t-1时,因为g(-1)=t-70,所以g(x)分别在区间-1,0),0,1)和1,2)上恰有1个零点,由于g(x)在区间(-,0)和(1,+)上单调,所以g(x)分别在区间(-,0)和1,+)上恰有1个零点.综上可知,当过点P(1,t)存在3条直线与曲线y=f(x)相切时,t的取值范围是(-3,-1).-22-规律总结拓展演练1.简化分类讨论的策略:(1)消去参数;(2)整体换元;(3)变更主元;(4)考虑反面;(5)整体变形;(6)数形结合;(7)缩小范围等.2.分类讨论遵循的原则是:不遗漏、不重复,科学地划分,分清主次,不越级讨论.3.解题时把好“四关”.(1)要深刻理解基本知识与基本原理,把好“基础关”;(2)要找准划分标准,把好“分类关”;(3)要保证条理分明,层次清晰,把好“逻辑关”;(4)要注意对照题中的限制条件或隐含信息,合理取舍,把好“检验关”.-23-规律总结拓展演练1.下列命题正确的是()A.若两条直线和同一个平面所成的角相等,则这两条直线平行B.若一个平面内有三个点到另一个平面的距离相等,则这两个平面平行C.若一条直线平行于两个相交平面,则这条直线与这两个平面的交线平行D.若两个平面都垂直于第三个平面,则这两个平面平行 答案解析解析关闭两条直线和同一平面所成的角相等,这两条直线可能平行,也可能异面,也可能相交,所以A错;两平面相交时也可以有三个点到另一个平面的距离相等,故B错;若两个平面都垂直于同一个平面,两平面可以平行,也可以相交,故D错;选项C正确. 答案解析关闭C -24-规律总结拓展演练2.设常数a0,椭圆x2-a2+a2y2=0的长轴长是短轴长的2倍,则a等于() 答案解析解析关闭 答案解析关闭-25-规律总结拓展演练3.已知线段AB和平面,A,B两点到平面的距离分别为1和3,则线段AB的中点到平面的距离为. 答案解析解析关闭此题分线段AB两端点在平面同侧和异侧两种情况,答案为1或2. 答案解析关闭1或2-26-规律总结拓展演练4.已知函数f(x)(xR)满足 a0,f(1)=1,且使f(x)=2x成立的实数x只有一个,求函数f(x)的表达式. 答案解析解析关闭 答案解析关闭
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