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课时作业39直接证明与间接证明1(2019天津一中月考)用反证法证明命题:“a,bN,若ab可被5整除,那么a,b中至少有一个能被5整除”时,假设的内容应该是(B)Aa,b都能被5整除Ba,b都不能被5整除Ca,b不都能被5整除Da能被5整除解析:由于反证法是命题的否定的一个运用,故用反证法证明命题时,可以设其否定成立从而进行推证命题“a,bN,如果ab可被5整除,那么a,b中至少有一个能被5整除”的否定是“a,bN,如果ab可被5整除,那么a,b都不能被5整除”,故选B.2(2019河北邢台模拟)用反证法证明命题“三角形的三个内角中至多有一个钝角”,假设正确的是(C)A假设三角形的三个内角都是锐角B假设三角形的三个内角都是钝角C假设三角形的三个内角中至少有两个钝角D假设三角形的三个内角中至少有两个锐角解析:“至多有一个”的否定是“至少有两个”故选C.3若a,b,c是不全相等的正数,给出下列判断:(ab)2(bc)2(ca)20;ab与ab及ab中至少有一个成立;ac,bc,ab不能同时成立其中判断正确的个数是(C)A0 B1C2 D3解析:由于a,b,c不全相等,则ab,bc,ca中至少有一个不为0,故正确;显然正确;令a2,b3,c5,满足ac,bc,ab,故错误4已知函数f(x)x,a,b为正实数,Af,Bf(),Cf,则A,B,C的大小关系为(A)AABC BACBCBCA DCBA解析:因为,又f(x)x在R上是单调减函数,故ff()f,即ABC.5设x,y,zR,ax,by,cz,则a,b,c三个数(C)A至少有一个不大于2 B都小于2C至少有一个不小于2 D都大于2解析:假设a,b,c都小于2,则abc6,而abcxyz2226,与abc6矛盾,a,b,c都小于2不成立a,b,c三个数至少有一个不小于2,故选C.6在等比数列an中,a1a2a3是数列an递增的(C)A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件解析:当a1a2a3时,设公比为q,由a1a1qa1q2得若a10,则1qq2,即q1,此时,显然数列an是递增数列,若a10,则1qq2,即0q1,此时,数列an也是递增数列,反之,当数列an是递增数列时,显然a1a2a3.故a1a2a3是等比数列an递增的充要条件7设a2,b2,则a,b的大小关系为ab.解析:a2,b2,两式的两边分别平方,可得a2114,b2114,显然,所以ab.8已知点An(n,an)为函数y图象上的点,Bn(n,bn)为函数yx图象上的点,其中nN*,设cnanbn,则cn与cn1的大小关系为cncn1.解析:由条件得cnanbnn,cn随n的增大而减小,cn1cn.9(2019长春模拟)若二次函数f(x)4x22(p2)x2p2p1,在区间1,1内至少存在一点c,使f(c)0,则实数p的取值范围是.解析:若二次函数f(x)0在区间1,1内恒成立,则解得p3或p,故满足题干要求的p的取值范围为.10如果A1B1C1的三个内角的余弦值分别等于A2B2C2的三个内角的正弦值,则A2B2C2是钝角三角形解析:由条件知,A1B1C1的三个内角的余弦值均大于0,则A1B1C1是锐角三角形,假设A2B2C2是锐角三角形由得那么,A2B2C2,这与三角形内角和为相矛盾所以假设不成立假设A2B2C2是直角三角形,不妨设A2,则cosA1sinA21,A10,矛盾所以A2B2C2是钝角三角形11已知ab0,求证:2a3b32ab2a2b.证明:要证明2a3b32ab2a2b成立,只需证2a3b32ab2a2b0,即2a(a2b2)b(a2b2)0,即(ab)(ab)(2ab)0.ab0,ab0,ab0,2ab0,从而(ab)(ab)(2ab)0成立,2a3b32ab2a2b.12若a,b,c是不全相等的正数,求证:lglglglgalgblgc.证明:要证lglglglgalgblgc,只需证lglgabc,只需证abc.因为a,b,c是不全相等的正数,所以,(三个式子中等号不同时成立)所以显然有abc成立,原不等式得证13已知函数f(x)3x2x,试证:对于任意的x1,x2R,均有f.证明:要证明f,即证明32,因此只要证明(x1x2)3(x1x2),即证明3,因此只要证明,由于当x1,x2R时,3x10,3x20,由基本不等式知显然成立,当且仅当x1x2时,等号成立,故原结论成立14已知四棱锥SABCD中,底面是边长为1的正方形,又SBSD,SA1.(1)求证:SA平面ABCD;(2)在棱SC上是否存在异于S,C的点F,使得BF平面SAD?若存在,确定F点的位置;若不存在,请说明理由解:(1)证明:如图,由已知得SA2AD2SD2,SAAD.同理SAAB.又ABADA,AB平面ABCD,AD平面ABCD,SA平面ABCD.(2)假设在棱SC上存在异于S,C的点F,使得BF平面SAD.BCAD,BC平面SAD.BC平面SAD.而BCBFB,平面FBC平面SAD.这与平面SBC和平面SAD有公共点S矛盾,假设不成立不存在这样的点F,使得BF平面SAD.15等差数列an的前n项和为Sn,a11,S393.(1)求数列an的通项an与前n项和Sn;(2)设bn(nN*),求证:数列bn中任意不同的三项都不可能成为等比数列解:(1)由已知得解得d2,故an2n1,Snn(n)(2)证明:由(1)得bnn.假设数列bn中存在三项bp,bq,br(p,q,rN*,且互不相等)成等比数列,则bbpbr.即(q)2(p)(r)(q2pr)(2qpr)0.p,q,rN*,2q2pr,(pr)20.pr,与pr矛盾数列bn中任意不同的三项都不可能成为等比数列16(2019衡阳调研)直线ykxm(m0)与椭圆W:y21相交于A,C两点,O是坐标原点(1)当点B的坐标为(0,1),且四边形OABC为菱形时,求AC的长;(2)当点B在W上且不是W的顶点时,证明:四边形OABC不可能为菱形解:(1)因为四边形OABC为菱形,则AC与OB相互垂直平分由于O(0,0),B(0,1),所以设点A,代入椭圆方程得1,则t,故|AC|2.(2)证明:假设四边形OABC为菱形,因为点B不是W的顶点,且ACOB,所以k0.由消去y并整理得(14k2)x28kmx4m240.设A(x1,y1),C(x2,y2),则,km.所以AC的中点为M.因为M为AC和OB的交点,且m0,k0,所以直线OB的斜率为,因为k1,所以AC与OB不垂直所以四边形OABC不是菱形,与假设矛盾所以当点B在W上且不是W的顶点时,四边形OABC不可能是菱形
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