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课时作业47利用空间向量证明空间中的位置关系 1如图，四棱锥P-ABCD的底面为正方形，侧棱PA底面ABCD，且PAAD2，E，F，H分别是线段PA，PD，AB的中点求证：(1)PB平面EFH；(2)PD平面AHF.证明：建立如图所示的空间直角坐标系A-xyz.A(0,0,0)，B(2,0,0)，C(2,2,0)，D(0,2,0)，P(0,0,2)，E(0,0,1)，F(0,1,1)，H(1,0,0)(1)E，H分别是线段AP，AB的中点，PBEH.PB平面EFH，且EH平面EFH，PB平面EFH.(2)(0,2，2)，(1,0,0)，(0,1,1)，0021(2)10，0120(2)00.PDAF，PDAH.又AFAHA，PD平面AHF.2如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AC3，BC4，AB5，AA14，点D是AB的中点.(1)证明ACBC1；(2)证明AC1平面CDB1.证明：因为直三棱柱ABC-A1B1C1的底面边长分别为AC3，BC4，AB5，所以ABC为直角三角形，ACBC.所以AC，BC，C1C两两垂直如图，以C为坐标原点，直线CA，CB，CC1分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，则C(0,0,0)，A(3,0,0)，B(0,4,0)，C1(0,0,4)，A1(3,0,4)，B1(0,4,4)，D.(1)因为(3,0,0)，(0，4，4)，所以0，所以ACBC1.(2)设CB1与C1B的交点为E，连接DE，则E(0,2,2)，(3,0,4)，所以，DEAC1.因为DE平面CDB1，AC1平面CDB1，所以AC1平面CDB1.3如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，AA1C1C是边长为4的正方形平面ABC平面AA1C1C，AB3，BC5.(1)求证：AA1平面ABC；(2)证明：在线段BC1上存在点D，使得ADA1B，并求的值证明：(1)因为AA1C1C为正方形，所以AA1AC.因为平面ABC平面AA1C1C，AA1平面AA1C1C，且AA1垂直于这两个平面的交线AC，所以AA1平面ABC.(2)由(1)知AA1AB，AA1AC.由题知AB3，BC5，AC4，所以ABAC.如图，以A为原点建立空间直角坐标系Axyz，则B(0,3,0)，A1(0,0,4)，B1(0,3,4)，C1(4,0,4)设D(x，y，z)是直线BC1上的一点，且，所以(x，y3，z)(4，3,4)，解得x4，y33，z4，所以(4，33，4)由0，(0,3，4)，则9250，解得.因为0,1，所以在线段BC1上存在点D，使得ADA1B，此时，.4(2019桂林模拟)如图，棱柱ABCD-A1B1C1D1的所有棱长都等于2，ABC和A1AC均为60，平面AA1C1C平面ABCD.(1)求证：BDAA1；(2)在直线CC1上是否存在点P，使BP平面DA1C1，若存在，求出点P的位置，若不存在，请说明理由解：(1)证明：设BD与AC交于点O，则BDAC，连接A1O，在AA1O中，AA12，AO1，A1AO60，A1O2AAAO22AA1AOcos603，AO2A1O2AA，A1OAO.由于平面AA1C1C平面ABCD，且平面AA1C1C平面ABCDAC，A1O平面AA1C1C，A1O平面ABCD.以OB，OC，OA1所在的直线分别为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，则A(0，1,0)，B(，0,0)，C(0,1,0)，D(，0,0)，A1(0,0，)，C1(0,2，)由于(2，0,0)，(0,1，)，0(2)1000，即BDAA1.(2)假设在直线CC1上存在点P，使BP平面DA1C1，设，P(x，y，z)，则(x，y1，z)(0,1，)从而有P(0,1，)，(，1，)设平面DA1C1的法向量为n(x1，y1，z1)，则又(0,2,0)，(，0，)，则取n(1,0，1)，因为BP平面DA1C1，则n，即n0，得1，即点P在C1C的延长线上，且C1CCP.5如图1所示，正ABC的边长为4，CD是AB边上的高，E，F分别是AC和BC边的中点，现将ABC沿CD翻折成直二面角A-DC-B，如图2所示(1)试判断直线AB与平面DEF的位置关系，并说明理由；(2)求二面角E-DF-C的余弦值；(3)在线段BC上是否存在一点P，使APDE？证明你的结论解：(1)AB平面DEF，理由如下：在ABC中，由E，F分别是AC，BC中点，得EFAB.又AB平面DEF，EF平面DEF，AB平面DEF.(2)以D为原点，分别以DB，DC，DA所在直线为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则A(0,0,2)，B(2,0,0)，C(0，2，0)，E(0，1)，F(1，0)，易知平面CDF的法向量为(0,0,2)，设平面EDF的法向量为n(x，y，z)，则即取n(3，3)，则cos，n，二面角E-DF-C的余弦值为.(3)存在证明如下：设P(x，y,0)，则y20，y.又(x2，y,0)，(x,2y,0)，(x2)(2y)xy，xy2.把y代入上式得x，P，点P在线段BC上在线段BC上存在点P，使APDE.6如图(1)所示，在RtABC中，C90，BC3，AC6，D，E分别为AC，AB上的点，且DEBC，DE2，将ADE沿DE折起到A1DE的位置，使A1CCD，如图(2)所示(1)求证：A1C平面BCDE；(2)若M是A1D的中点，求CM与平面A1BE所成角的大小；(3)线段BC上是否存在一点P，使平面A1DP与平面A1BE垂直？说明理由解：(1)因为ACBC，DEBC，所以DEAC，所以DEA1D，DECD，A1DDCD，所以DE平面A1DC，所以DEA1C.又因为A1CCD，DECDD，所以A1C平面BCDE.(2)以C为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系则A1(0,0,2)，D(0,2,0)，M(0,1，)，B(3,0,0)，E(2,2,0)设平面A1BE的法向量为n(x，y，z)，则n0，n0.又因为(3,0，2)，(1,2,0)，所以令y1，则x2，z，所以n(2,1，)设CM与平面A1BE所成的角为.因为(0,1，)，所以sin|cosn，|.所以CM与平面A1BE所成角的大小为.(3)线段BC上不存在一点P，使平面A1DP与平面A1BE垂直理由如下：假设这样的点P存在，设其坐标为(p,0,0)，其中p0,3设平面A1DP的法向量为m(x1，y1，z1)，则m0，m0，(0,2，2)，(p，2,0)，z1y1，x1y1.设y16，则m(3p,6,2)，平面A1DP与平面A1BE垂直，则mn0，6p660，p2，0p3，线段BC上不存在一点P，使平面A1DP与平面A1BE垂直
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