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第47课方程与函数相结合型综合问题 基础知识 自主学习 考题分析 方程与函数相结合型综合题，历来是各地中考试题中的 热点题型，主要是以函数图象，建立函数的图象及性质和方 程的有关理论的综合，解题时要注意函数的图象信息与方程 的代数信息的相互转化例如：函数图象与x轴交点的横坐 标即为相应的方程的根；点在函数图象上即点的坐标满足函 数的解析式等 难点正本疑点清源 1方程函数相结合型综合问题对解题的要求 方程是从算术方法到代数方法的过程中寻求等量关系的一种 质的飞跃，函数关系是变量与变量之间一种特殊的对应、映射与 变换方程与函数的思想不仅贯穿了整个代数内容，在高中解析 几何和立体几何中也蕴涵着其深刻的内涵 2函数方程思想的应用 函数方程思想的实质是提取问题的数学特征，用联系和变化 的观点研究数学对象，抽象其数量特征，以建立函数关系很明 显，只有在对问题的观察、分析、判断等一系列的思维过程中， 具备深刻、独特的思维品质，才能构造出函数模型，化归为方程 的问题，实现函数与方程的互相转化，达到解决问题的目的基础自测1(2011黄石黄石)已知梯形已知梯形ABCD的四个顶点的坐标分别为的四个顶点的坐标分别为 A(1,0)，B(5,0)，C(2,2)，D(0,2)，直线，直线ykx2将将梯梯 形分成面积相等的两部分，则形分成面积相等的两部分，则k的值为的值为() 答案答案A 2(2008恩施自治州)将一张边长为30 (cm)的正方形纸片的四角分别剪去一个边长为x(cm)的小正方形，然后折叠成一个无盖的长方体当x取下面哪个数值时，长方体的体积最大() A7 B6 C5 D4 答案C 解析长方体的体积Vx(302x)2，当x5时，V有最大 值2000. 3(2011台北)如图，将二次函数y31x2999x892的图形画在坐标平面上，判断方程式31x2999x8920的两根，下列叙述何者正确？() A两根相异，且均为正根 B两根相异，且只有一个正根 C两根相同，且为正根 D两根相同，且为负根 答案A 解析抛物线与x轴交于两点，且在y轴的右侧，可知方程有两个不相等的正实数根4(2011济宁)已知二次函数YAX2BXC中，其函数Y与自 变量X之间的部分对应值如下表所示： 点A(X1，Y1)、B(X2，Y2)在函数的图象上，则当1X12, 3X2 Y2 BY1 Y2 CY1 Y2 DY1 Y2 x01234y41014解析当解析当1x12时，时，y11；当；当3x21，所以，所以y1b)的图象如下图所示，则函数 yaxb的图象可能正确的是() 答案答案D解析令解析令y0，(xa)(xb)0，xa或或xb，所以，所以a10，b11.以A为中心顺时针旋转点M，以B为中心逆时针旋转点N，使M、N两点重合成一点C，构成ABC，设ABx. (1)求x的取值范围； (2)若ABC为直角三角形，求x的值； (3)探究：ABC的最大面积？图1 图2 探究提高求字母的值，可建立以该字母为未知数的方程或方程组，解方程或方程组，可求得字母的值；另外，以A、B、M、N为顶点的平行四边形有平行四边形ABMN或平行四边形ABNM，不可遗漏 解题示范规范步骤，该得的分，一分不丢！ 探究提高本题涉及分式方程、一元二次不等式组、二次函数等知识，注意分式方程的验根，不等式组特殊解的求法易错警示 试题关于x的二次函数yx2(k24)x2k2的 y 轴为对称轴，且与 y 轴的交点在x轴上方 (1)求此抛物线的解析式，并在平面直角坐标系中画出该函数的草图； (2)设A是y轴右侧抛物线上一个动点，过点A作AB垂直于x轴于点B，再过点A作x轴的平行线交抛物线于点D，过点D再作DC垂直x轴于点C，得到矩形ABCD，设矩形ABCD的周长为l，点A的横坐标为x，试求l与x的函数关系式； (3)当点A在y轴右侧的抛物线上运动时，矩形ABCD能否成为正方形若能，求出此时正方形的周长；若不能，请说明理由34分类讨论点在坐标系中的不同位置剖析剖析第第(1)问比较容易，解答过程是正确的在第问比较容易，解答过程是正确的在第(2)问问中，求矩形中，求矩形ABCD周长周长l关于关于x的函数关系式，点的函数关系式，点A是抛物是抛物线线y轴右侧上一动点，即轴右侧上一动点，即A点可能在第一象限，也可能在点可能在第一象限，也可能在第四象限，而上述解法中仅考虑点第四象限，而上述解法中仅考虑点A在第一象限的情形，在第一象限的情形，没有分两种情况讨论同样，第没有分两种情况讨论同样，第(3)问中也应分问中也应分A点在第点在第一象限和第四象限两种情况研究一象限和第四象限两种情况研究 批阅笔记问题(3)中点A在y轴的右侧，应分点A在第一或第四象限两种情况研究，不可漏解思想方法 感悟提高 方法与技巧 方程、函数相结合型的综合题，主要考查综合运用数与 代数知识分析问题和解决问题的能力，涉及的知识面广、运 算量大，具有一定的难度 解决这类问题，除了需要具有一定的基础知识、基本技 能外，还需要有敏锐的观察力、娴熟的运算以及较强的综合 能力，“分析探求思路，优化实施解答，反思验证结论”是解 方程、函数综合题的基本过程 失误与防范 1函数与方程虽是两个不同的数学概念，但它们之间相互联系、相互渗透，一个函数若有表达式，那么这个表达式就可以看成是一个方程，它的两端可以分别看成函数，因此，许多有关方程的问题可用函数的方法解决；反之，许多有关函数的问题也可以用方程的方法解决 2涉及到函数方程思想的常见题型有：(1)根据题意，建立函数关系式；(2)根据要求，构造函数；(3)列方程，确定变量；(4)方程思想的其他应用完成考点跟踪训练47
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