北师大版初三数学知识点总结

初三知识整理第一章 勾股定理J勾股定理： 直角三角形的两直角边的平方和等于斜边的平方。 说明：若直角三角形的两条直角边为a、b，斜边为c，则a+b=c。J勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a，b，c有下面关系：a+b=c，那么这个三角形是直角三角形。说明：根据勾股定理的逆定理，可以判定一个三角形是否是直角三角形：若已知三角形的三条边，只需验证最大边的平方是否等于另两边的平方和，若相等，则是直角三角形；若不等，则不是。J勾股数：满足a+b=c的三个正整数，称为勾股数。若a，b，c是一组勾股数，则ak，bk，ck（k为正整数），也必然是一组勾股数。常用的几组勾股数有3,4,5；6,8,10；5,12,13；8,15,17等，请熟记。J勾股定理的应用求两点之间的距离和线段的长度常构造直角三角形，利用勾股定理求解，求立体图形上两点之间的最短距离大致可分为：(1)圆柱形物体表面上的两点间的最短距离；(2)长方体或正方体表面上两点间的最短距离问题，J直角三角形三边之间的关系不等量关系是：斜边的长大于每条直角边的长，其依据是“垂线段最短”；等量关系是：勾股定理，勾股定理是我们求直角三角形边长的依据，在直角三角形中，已知任意两边的长，可求第三边的长J直角三角形的判别直角三角形的判别有两种方法：(1)利用定义，判断一个三角形中有一个角是直角；(2)根据三角形一边的平方等于另外两边的平方和，来判定该三角形是直角三角形，J勾股定理中的方程思想勾股定理三角形有一个直角的“形”的特征，转化为三边“数”的关系，因此它是数形结合的一个典范对于一些几何问题，往往借助于勾股定理，利用代数方法来解决把一条边的长设为未知数，根据勾股定理列出方程，解方程求出未知数的值，即使有时出现了二次方程，大多可通过抵消而去掉二次项J 勾股定理中的转化思想在利用勾股定理计算时，常先利用转化的数学思想构造出直角三角形，比如立体图形上两点之间的最短距离的求解，解答时先把立体图形转化为平面图形，在平面图形中构造直角三角形求解，第二章 实数J 无理数：无限不循环小数叫做无理数。说明：1、无理数有两个本质属性，一是“无限”，二是“不循环”只有满足这两个条件的小数才是无理数。2、虽然从开方运算可以得到无理数，但并不是所有的无理数都是从开方开不尽得到的，如圆周率是无理数，它并不是从开方开不尽产生的，因此不能误认为“无理数是开方开不尽的数”。3、判断一个数是否是无理数，要根据定义看其本质属性，不能说“带根号的数是无理数”，事实上=5是有理数而不是无理数。4、要把无理数和它的有理数近似值严格区别开来。如是无理数，而它的近似值1.4，1.41，1.414，1.4142都是有理数。J 无理数与有理数的区别：（1）有理数是有限小数或无限循环小数，而无理数是无限不循环小数。（2）所有的有理数都能写成分数的形式（整数可以看成分母为1的分数）；而无理数写不成分数的形式，即无理数不能用n/m（n不等于0，m、n是整数）表示。J 实数：有理数与无理数统称为实数。J实数的分类：有理数和无理数。有理数包括（正有理数、0、负有理数）。无理数包括（正无理数、负无理数）。正有理数包括（正整数、正分数）。负有理数包括（负整数、负分数）。正无理数和负无理数都是无限不循环小数。a（a0）（a）J 实数的性质：实数a的相反数是-a；实数a的倒数是（a0）。0 （ a = 0）123J 实数a的绝对值=-a （ aJ 实数的绝对值性质：；a=a； =； =（b）；=J 实数的大小：正数大于0，负数小于0；两个正实数直接比较；两个负实数，绝对值大的反而小。J 实数的运算：在实数范围内，加、减、乘、除（除数不为零）、乘方及开方运算，有理数的运算法则在实数范围内仍然成立，实数混合运算的运算顺序与有理数混合运算的运算顺序基本相同：先乘方、开方，再算乘除，最后算加减同级运算按照从左到右的顺序进行，有括号的，先算括号里面的，但开方运算则需注意，负实数只能开奇次方，而不能开偶次方。有理数范围内适用的运算律、幂的运算法则、乘法公式，在实数范围内同样适用。J 实数和数轴上的点的对应关系：任何一个有理数，在数轴上都有一个惟一确定的点与之对应，但是数轴上的点并不都表示有理数，无理数也可用数轴上的点表示，由此可见，数轴上表示有理数的点是不连续的，而有理数、无理数合在一起，才能填满整个数轴，所以数轴上的点和实数一一对应，即每一个实数都可以用数轴上的一个点表示，反过来，数轴上的每一个点都表示一个实数，J 比较实数大小的方法：实数的大小比较与有理数的大小比较的原则是相同的在数轴上，右边的点表示的数总比左边的点表示的数大；正数大于零，零大于负数；两个负数进行大小比较时，先比较它们的绝对值，绝对值大的反而小；两个正实数的大小比较，一般采用作差法、作商法、作平方法等。1、数轴法在数轴上，右边的点表示的数比左边的点表示的数大。2、计算法：直接求实数的值（或近似值），然后根据实数的性质（正数0负数；两个正数，绝对值大的较大；两个负数，绝对值大的反而小）进行比较。求值时一般将实数写成小数的形式。3、特殊性质法：利用某些数的特殊性质，如：（1）分母相同的两个正分数，分子大的分数较大；分子相同的两个正分数，分母大的反而小。（2）若ab0，则0，（n为正整数）。4、作差法：对实数a、b，若a-b0，则ab；若a-b0，则ab；若a-b0，则ab。5、作商法：（1）对a0，b0，若a/b1，则ab；若a/b1，则ab；若a/b=1，则a=b。（2）对a0，b1，则ab；若a/bb；若a/b=1，则a=b。说明：（1）作差法是与0比较，作商法是与1比较。（2）作差法适用于任意两个实数的大小比较。而用作商法时，需分两正数比较和两负数比较两种情况。J 算术平方根：一般地，如果一个正数x的平方等于a，即x=a，那么这个正数x就叫做a的算术平方根，记为“”读作“根号a”。说明：0的算术平方根是0，即=0。J 平方根：一般地，如果一个数x的平方等于a即x=a，那么这个数x和它的相反数X就叫做a的平方根，也叫做二次方根。J 平方根的性质：一个正数有两个平方根；0只有一个平方根，它是0本身；负数没有平方根。J 开平方：求一个数a的平方根的运算，叫做开平方，其中a叫做被开方数。J 立方根：一般地，如果一个数x的立方等于a，即x=a，那么这个数x就叫做a的立方根（也叫做三次方根）。J 立方根的性质：正数的立方根是正数；0的立方根是0；负数的立方根是负数。J 开立方：求一个数的立方根的运算叫做开立方，其中a叫做被开方数。J 确定平方根或立方根的大致范围有些数的平方根或立方根不是有理数，而是无理数，这些数都是开方开不尽的数，我们可以借助平方运算或立方运算，通过两边夹遭韵方法估计它们的值所在的范围，例如要估算43的大小，要求误差小于O1首先找出43邻近的两个完全平方数，如364349，则364349，即6437，由此可见43的整数部分应是6，然后再由6.52=42.25，6.62=43.56得42.254343.56，得6.543O）个单位，纵坐标就增加a，向下平移a（a0）个单位，纵坐标就减少a，比如已知点A(2，3)、B(3，1)，线段AB向上平移1个单位，点A变为A(2，4)，点B变为B(3，2)，线段AB向下平移1个单位，点A变为A”(2，2)，点B变为B”(3，0).反之，当图形上点的横坐标不变，纵坐标增大或减小时，图形会相应地向上或向下平移(2)当图形左、右平移时，纵坐标不变，而横坐标发生变化，向左平移时，横坐标变小，向右平移时，横坐标变大反之，当图形上点的纵坐标不变，横坐标减小或增大时，图形就会相应地向左平移或向右平移J 图形的伸长、压缩与图形坐标变化之间的关系当图形各点的横坐标不变，纵坐标扩大或缩小时，图形被纵向拉长或压缩；同样的，当图形各点的纵坐标不变，横坐标扩大或缩小时，图形被横向拉长或压缩J 图形轴对称与图形坐标变化之间的关系图形关于x轴或y轴对称，是坐标平面内常用到的一种变化，当图形关于x轴对称时，对应点的连线被x轴垂直平分，因此，对应点的横坐标不变，纵坐标互为相反数，比如点A(2，-3)和点B(2，3)关于x轴对称，同样的，图形关于y轴对称时，对应点的横坐标互为相反数，纵坐标不变反之，当图形上的各点横坐标相同，纵坐标互为相反数时，图形关于x轴对称；当图形上的各点纵坐标相同，横坐标互为相反数时，图形关于y轴对称当两点关于原点对称时，两点的横坐标、纵坐标都互为相反数，比如点J 直角坐标系中点的坐标特征及应用 在平面直角坐标系中，(1)若点P(a，b)在第一象限内，则其横、纵坐标均为正数，即a0，b0;反过来，若a0，b0，则点P(a，b)在第一象限内(2)若点P(a，b)在第二象限内，则a0；反过来，若a0，则点P（a，b）必在第二象限内(3)若点P(a，b)在第三象限内，则a0，b0;反过来，若a0，b0，b0，b0时，y随x的增大而增大，即从左至右直线上升。（2）k0）或向下（b0)，并运用它们进行二次根式的化简。“二次根式的加减”一节先安排二次根式加减的内容，再安排二次根式加减乘除混合运算的内容。在本节中，注意类比整式运算的有关内容。例如，让学生比较二次根式的加减与整式的加减，又如，通过例题说明在二次根式的运算中，多项式乘法法则和乘法公式仍然适用。这些处理有助于学生掌握本节内容。第22章 一元二次方程 学生已经掌握了用一元一次方程解决实际问题的方法。在解决某些实际问题时还会遇到一种新方程 一元二次方程。“一元二次方程”一章就来认识这种方程，讨论这种方程的解法,并运用这种方程解决一些实际问题。本章首先通过雕像设计、制作方盒、排球比赛等问题引出一元二次方程的概念，给出一元二次方程的一般形式。然后让学生通过数值代入的方法找出某些简单的一元二次方程的解，对一元二次方程的解加以体会，并给出一元二次方程的根的概念，“22.2降次解一元二次方程”一节介绍配方法、公式法、因式分解法三种解一元二次方程的方法。下面分别加以说明。（1）在介绍配方法时，首先通过实际问题引出形如的方程。这样的方程可以化为更为简单的形如的方程，由平方根的概念，可以得到这个方程的解。进而举例说明如何解形如的方程。然后举例说明一元二次方程可以化为形如的方程，引出配方法。最后安排运用配方法解一元二次方程的例题。在例题中，涉及二次项系数不是1的一元二次方程，也涉及没有实数根的一元二次方程。对于没有实数根的一元二次方程，学了“公式法”以后，学生对这个内容会有进一步的理解。（2）在介绍公式法时，首先借助配方法讨论方程的解法，得到一元二次方程的求根公式。然后安排运用公式法解一元二次方程的例题。在例题中，涉及有两个相等实数根的一元二次方程，也涉及没有实数根的一元二次方程。由此引出一元二次方程的解的三种情况。（3）在介绍因式分解法时，首先通过实际问题引出易于用因式分解法的一元二次方程，引出因式分解法。然后安排运用因式分解法解一元二次方程的例题。最后对配方法、公式法、因式分解法三种解一元二次方程的方法进行小结。“22.3实际问题与一元二次方程”一节安排了四个探究栏目，分别探究传播、成本下降率、面积、匀变速运动等问题，使学生进一步体会方程是刻画现实世界的一个有效的数学模型。第23章 旋转学生已经认识了平移、轴对称，探索了它们的性质，并运用它们进行图案设计。本书中图形变换又增添了一名新成员旋转。“旋转”一章就来认识这种变换，探索它的性质。在此基础上，认识中心对称和中心对称图形。“23.1旋转”一节首先通过实例介绍旋转的概念。然后让学生探究旋转的性质。在此基础上，通过例题说明作一个图形旋转后的图形的方法。最后举例说明用旋转可以进行图案设计。“23.2中心对称”一节首先通过实例介绍中心对称的概念。然后让学生探究中心对称的性质。在此基础上，通过例题说明作与一个图形成中心对称的图形的方法。这些内容之后，通过线段、平行四边形引出中心对称图形的概念。最后介绍关于原点对称的点的坐标的关系，以及利用这一关系作与一个图形成中心对称的图形的方法。“23.3课题学习 图案设计”一节让学生探索图形之间的变换关系（平移、轴对称、旋转及其组合），灵活运用平移、轴对称、旋转的组合进行图案设计。第24章 圆 圆是一种常见的图形。在“圆”这一章，学生将进一步认识圆，探索它的性质，并用这些知识解决一些实际问题。通过这一章的学习，学生的解决图形问题的能力将会进一步提高。“24.1圆”一节首先介绍圆及其有关概念。然后让学生探究与垂直于弦的直径有关的结论，并运用这些结论解决问题。接下来，让学生探究弧、弦、圆心角的关系，并运用上述关系解决问题。最后让学生探究圆周角与圆心角的关系，并运用上述关系解决问题。“24.2与圆有关的位置关系”一节首先介绍点和圆的三种位置关系、三角形的外心的概念，并通过证明“在同一直线上的三点不能作圆”引出了反证法。然后介绍直线和圆的三种位置关系、切线的概念以及与切线有关的结论。最后介绍圆和圆的位置关系。“24.3正多边形和圆”一节揭示了正多边形和圆的关系，介绍了等分圆周得到正多边形的方法。“24.4弧长和扇形面积”一节首先介绍弧长公式。然后介绍扇形及其面积公式。最后介绍圆锥的侧面积公式。第25 章 概率初步 将一枚硬币抛掷一次，可能出现正面也可能出现反面，出现正面的可能性大还是出现反面的可能性大呢？学了“概率”一章，学生就能更好地认识这个问题了。掌握了概率的初步知识，学生还会解决更多的实际问题。“25.1概率”一节首先通过实例介绍随机事件的概念，然后通过掷币问题引出概率的概念。“25.2用列举法求概率”一节首先通过具体试验引出用列举法求概率的方法。然后安排运用这种方法求概率的例题。在例题中，涉及列表及画树形图。“25.3利用频率估计概率”一节通过幼树成活率和柑橘损坏率等问题介绍了用频率估计概率的方法。“25.4课题学习 键盘上字母的排列规律”一节让学生通过这一课题的研究体会概率的广泛应用。知识点总结第21章 二次根式知识框图学习目标对于本章内容，教学中应达到以下几方面要求：1. 理解二次根式的概念，了解被开方数必须是非负数的理由；2. 了解最简二次根式的概念；3. 理解并掌握下列结论：（1）是非负数；（2）；（3）；4. 掌握二次根式的加、减、乘、除运算法则，会用它们进行有关实数的简单四则运算；5. 了解代数式的概念，进一步体会代数式在表示数量关系方面的作用。I.二次根式的定义和概念：1、定义：一般地，形如（a0）的代数式叫做二次根式。当a0时，a表示a的算数平方根,0=02、概念：式子（a0）叫二次根式。（a0）是一个非负数。 II.二次根式的简单性质和几何意义1）a0 ; 0 双重非负性 2）（）2=a （a0）任何一个非负数都可以写成一个数的平方的形式3) (a2+b2)表示平面间两点之间的距离，即勾股定理推论。 III.二次根式的性质和最简二次根式1）二次根式的化简a(a0）=|a|=-a(a0)2）积的平方根与商的平方根ab=ab（a0，b0）a/b=a /b（a0，b0）3）最简二次根式条件：（1）被开方数的因数是整数或字母，因式是整式；（2）被开方数中不含有可化为平方数或平方式的因数或因式。如：不含有可化为平方数或平方式的因数或因式的有2、3、a（a0）、x+y 等；含有可化为平方数或平方式的因数或因式的有4、9、a2、（x+y）2、x2+2xy+y2等 IV.二次根式的乘法和除法1 运算法则ab=ab（a0，b0）a/b=a /b（a0，b0）二数二次根之积，等于二数之积的二次根。2 共轭因式如果两个含有根式的代数式的积不再含有根式，那么这两个代数式叫做共轭因式，也称互为有理化根式。 V.二次根式的加法和减法1 同类二次根式一般地，把几个二次根式化为最简二次根式后，如果它们的被开方数相同，就把这几个二次根式叫做同类二次根式。2 合并同类二次根式把几个同类二次根式合并为一个二次根式就叫做合并同类二次根式。3二次根式加减时，可以先将二次根式化为最简二次根式，再将被开方数相同的进行合并 .二次根式的混合运算1确定运算顺序2灵活运用运算定律3正确使用乘法公式4大多数分母有理化要及时5在有些简便运算中也许可以约分，不要盲目有理化 VII.分母有理化分母有理化有两种方法 I.分母是单项式如:a/b=ab/bb=ab/bII.分母是多项式要利用平方差公式