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第第6 6节正弦定理和余弦定理及其应用节正弦定理和余弦定理及其应用最新考纲最新考纲1.1.掌握正弦定理、余弦定理掌握正弦定理、余弦定理, ,并能解并能解决一些简单的三角形度量问题决一些简单的三角形度量问题. .2.2.能够运用正弦定理、余弦定理能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的实际问题几何计算有关的实际问题. .考点专项突破考点专项突破知识链条完善知识链条完善解题规范夯实解题规范夯实 知识链条完善知识链条完善 把散落的知识连起来把散落的知识连起来 【教材导读【教材导读】 1.1.在三角形在三角形ABCABC中中,“AB”,“AB”是是“sin Asin B”sin Asin B”的什么条件的什么条件?“AB”?“AB”是是“coscos A AB”,“AB”是是“sin Asin B”sin Asin B”的充要条件的充要条件,“AB”,“AB”是是“coscos A Acoscos B” B”的充要条件的充要条件. .2.2.在三角形在三角形ABCABC中中,“a,“a2 2+b+b2 2c c c2 2”是是“ABCABC为锐角三角形为锐角三角形”的什么条件的什么条件? ?提示提示: :“a“a2 2+b+b2 2ccc2 2”是是“ABCABC为锐角三角形为锐角三角形”的必要不充分条件的必要不充分条件. .知识梳理知识梳理1.1.正弦定理和余弦定理正弦定理和余弦定理sinbBsincCb b2 2+c+c2 2-2bccos A-2bccos Ac c2 2+a+a2 2-2cacos B-2cacos Ba a2 2+b+b2 2-2abcos C-2abcos C2Rsin B 2Rsin B 2Rsin C 2Rsin C sin B sin B 2222bcabc2222cabac2222abcab解决的问题解决的问题已知两角和一边已知两角和一边, ,求另一角求另一角和其他两条边和其他两条边; ;已知两边和其中一边的对已知两边和其中一边的对角角, ,求另一边和其他两角求另一边和其他两角(1)(1)已知三边已知三边, ,求各角求各角; ;(2)(2)已知两边和它们的夹角已知两边和它们的夹角, ,求第三边和其他两个角求第三边和其他两个角; ;(3)(3)已知两边和其中一边的对已知两边和其中一边的对角角, ,求其他角和边求其他角和边1sin 2bcA3.3.解三角形在测量中的常见题型解三角形在测量中的常见题型(1)(1)利用正弦定理和余弦定理解三角形的常见题型有利用正弦定理和余弦定理解三角形的常见题型有: :测量距离问题、测测量距离问题、测量高度问题、测量角度问题、计算面积问题、航海问题、物理问题等量高度问题、测量角度问题、计算面积问题、航海问题、物理问题等. .(2)(2)有关测量中的几个术语有关测量中的几个术语仰角和俯角仰角和俯角: :与目标视线在同一铅垂平面内的水平视线和目标视线的夹与目标视线在同一铅垂平面内的水平视线和目标视线的夹角角, ,目标视线在水平视线上方时叫目标视线在水平视线上方时叫 ，目标视线在水平视线下方时，目标视线在水平视线下方时叫叫 .(.(如图如图(1)(1)所示所示) )方位角方位角: :一般指从正北方向顺时针到目标方向线的水平角一般指从正北方向顺时针到目标方向线的水平角, ,如方位角如方位角4545, ,是指北偏东是指北偏东4545, ,即东北方向即东北方向. .坡角坡角: :坡面与水平面的夹角坡面与水平面的夹角. .坡比坡比: :坡面的铅直高度与水平宽度之比坡面的铅直高度与水平宽度之比, ,即即i= =tan (ii= =tan (i为坡比为坡比,为为坡角坡角).().(如图如图(2)(2)所示所示) )hl仰角仰角 俯角俯角【拓展提升【拓展提升】 在在ABCABC中中, ,常有以下结论常有以下结论: :(1)A+B+C=.(1)A+B+C=.(2)(2)任意两边之和大于第三边任意两边之和大于第三边, ,任意两边之差小于第三边任意两边之差小于第三边. .(4)tan A+tan B+tan C=tan A(4)tan A+tan B+tan C=tan Atan Btan Btan C.tan C.(5)AB(5)ABababsin Asin Bsin Asin Bcos Acos B.cos Acos B.对点自测对点自测A A C C A A 4.4.(2016(2016山东烟台一模山东烟台一模) )设设ABCABC的内角的内角A,B,CA,B,C所对的边分别为所对的边分别为a,b,ca,b,c, ,若若bcos C+ccos B=asinbcos C+ccos B=asin A, A,则则ABCABC的形状为的形状为( ( ) )(A)(A)直角三角形直角三角形 (B)(B)锐角三角形锐角三角形(C)(C)钝角三角形钝角三角形 (D)(D)不确定不确定A A 5.5.(2015(2015福建卷福建卷) )若锐角若锐角ABCABC的面积为的面积为10 ,10 ,且且AB=5,AC=8,AB=5,AC=8,则则BCBC等于等于.3答案答案: :7 7考点专项突破考点专项突破 在讲练中理解知识在讲练中理解知识 考点一考点一 正、余弦定理的应用正、余弦定理的应用( (高频考点高频考点) )答案答案: :(1)C(1)C 利用正、余弦定理解三角形关键是根据已知条件及所利用正、余弦定理解三角形关键是根据已知条件及所求结论确定三角形及所需应用的定理求结论确定三角形及所需应用的定理, ,有时需结合图形分析求解有时需结合图形分析求解, ,有时有时需根据三角函数值的有界性、三角形中大边对大角等确定解的个数需根据三角函数值的有界性、三角形中大边对大角等确定解的个数. .反思归纳反思归纳 考查角度考查角度2:2:与三角形面积有关的问题与三角形面积有关的问题高考扫描高考扫描: :20142014高考新课标全国高考新课标全国卷卷,2015,2015高考新课标全国高考新课标全国卷卷,2016,2016高考高考新课标全国新课标全国卷卷. .【例【例2 2】 (2016(2016全国全国卷卷) )ABCABC的内角的内角A,B,CA,B,C的对边分别为的对边分别为a,b,ca,b,c, ,已知已知2cos C(acos B+bcos2cos C(acos B+bcos A)=c. A)=c.(1)(1)求求C;C;反思归纳反思归纳 (2)(2)与面积有关的问题与面积有关的问题, ,一般是用正弦定理或余弦定理进行边角的转化一般是用正弦定理或余弦定理进行边角的转化. .得得到两边乘积到两边乘积, ,再整体代入再整体代入. .考点二考点二 利用正、余弦定理判定三角形形状利用正、余弦定理判定三角形形状【例【例3 3】 在在ABCABC中中,a,b,c,a,b,c分别为内角分别为内角A,B,CA,B,C的对边的对边, ,且且2a2asin A=(2b-c)sin A=(2b-c)sin B+(2c-b)sin C.sin B+(2c-b)sin C.(1)(1)求角求角A A的大小的大小; ;(2)(2)若若sin B+sinsin B+sin C= , C= ,试判断试判断ABCABC的形状的形状. .3反思归纳反思归纳 判定三角形形状的两种常用途径判定三角形形状的两种常用途径: :(1)(1)通过正弦定理和余弦定理通过正弦定理和余弦定理, ,化边为角化边为角, ,利用三角恒等变换得出三角利用三角恒等变换得出三角形内角之间的关系进行判断形内角之间的关系进行判断. .(2)(2)利用正弦定理、余弦定理利用正弦定理、余弦定理, ,化角为边化角为边, ,通过代数恒等变换通过代数恒等变换, ,求出三求出三条边之间的关系进行判断条边之间的关系进行判断. .【即时训练【即时训练】 (1)(1)(2016(2016银川模拟银川模拟) )在在ABCABC中中, ,若若sin(A+B)sin(A+B)sin(Asin(A-B)=-B)=sinsin2 2C,C,则此三角形形状是则此三角形形状是( () )(A)(A)等腰三角形等腰三角形 (B)(B)直角三角形直角三角形(C)(C)等边三角形等边三角形 (D)(D)等腰直角三角形等腰直角三角形解析解析: :(1)(1)由由A+B=-CA+B=-C得得sin(A+Bsin(A+B)=sin C,)=sin C,则则sin(A+B)sin(Asin(A+B)sin(A-B)=sin-B)=sin2 2C C可化为可化为sin(A-B)=sin(A+B)sin(A-B)=sin(A+B)sin Acos B-sin Acos B-cos Asin B=sin Acos B+cos Asincos Asin B=sin Acos B+cos Asin B, B,整理得整理得cos Asincos Asin B=0. B=0.因为因为0A,0A,所以所以A= ,A= ,即此三角形为直角三角形即此三角形为直角三角形. .故选故选B.B.2考点三考点三 用正、余弦定理解决实际问题用正、余弦定理解决实际问题【例【例4 4】 导学号导学号 18702206 18702206 如图如图, ,一辆汽车在一条水平的公路上向正西一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶行驶, ,到到A A处时测得公路北侧一山顶处时测得公路北侧一山顶D D在西偏北在西偏北3030的方向上的方向上, ,行驶行驶600 m600 m后到达后到达B B处处, ,测得此山顶在西偏北测得此山顶在西偏北7575的方向上的方向上, ,仰角为仰角为3030, ,则此山的高则此山的高度度CD=CD=m.m. 利用正、余弦定理解决实际问题的一般步骤利用正、余弦定理解决实际问题的一般步骤(1)(1)分析分析理解题意理解题意, ,分清已知与未知分清已知与未知, ,画出示意图画出示意图; ;(2)(2)建模建模根据已知条件与求解目标根据已知条件与求解目标, ,把已知量与求解量尽量集中在把已知量与求解量尽量集中在相关的三角形中相关的三角形中, ,建立一个解斜三角形的数学模型建立一个解斜三角形的数学模型; ;(3)(3)求解求解利用正弦定理或余弦定理有序地解三角形利用正弦定理或余弦定理有序地解三角形, ,求得数学模型求得数学模型的解的解; ;(4)(4)检验检验检验上述所求的解是否符合实际意义检验上述所求的解是否符合实际意义, ,从而得出实际问题从而得出实际问题的解的解. .反思归纳反思归纳 【即时训练】【即时训练】(2016(2016合肥一模合肥一模) )如图如图, ,嵩山上原有一条笔直的山路嵩山上原有一条笔直的山路BC,BC,现在现在又新架设了一条索道又新架设了一条索道AC,AC,小李在山脚小李在山脚B B处看索道处看索道AC,AC,发现张角发现张角ABC=120ABC=120; ;从从B B处攀登处攀登400400米到达米到达D D处处, ,回头看索道回头看索道AC,AC,发现张角发现张角ADC=150ADC=150; ;从从D D处再攀处再攀登登800800米可到达米可到达C C处处, ,则索道则索道ACAC的长为的长为米米.备选例题备选例题(2)(2)求求coscos C. C.利用正、余弦定理解三角形利用正、余弦定理解三角形解题规范夯实解题规范夯实 把典型问题的解决程序化把典型问题的解决程序化 审题指导审题指导答题模板答题模板: :解三角形问题一般可以用以下几步解答解三角形问题一般可以用以下几步解答: :第一步第一步: :利用正弦定理、余弦定理进行边角互化利用正弦定理、余弦定理进行边角互化; ;第二步第二步: :三角恒等变换、化简、消元三角恒等变换、化简、消元, ,从而向已知角从而向已知角( (边边) )转化转化; ;第三步第三步: :结合已知代入求值结合已知代入求值; ;第四步第四步: :反思回顾反思回顾, ,查看关键点、易错点查看关键点、易错点, ,公式是否有错误公式是否有错误, ,检查、确认检查、确认答案答案. .
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