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第一课时二次函数与图形面积问题第一课时二次函数与图形面积问题知识准备知识准备1.1.矩形的两边为矩形的两边为a,ba,b，则它的面积是，则它的面积是 。2.2.三角形的底为三角形的底为a,a,底边上的高为底边上的高为h h，面积是，面积是 。3.在解决最值问题时，主要利用二次函数的在解决最值问题时，主要利用二次函数的哪些性质？哪些性质？（1 1）利用二次函数图象的）利用二次函数图象的 来解决最来解决最值问题；值问题；（2 2）利用二次函数在某个范围内的）利用二次函数在某个范围内的 来解来解决决最值问题。最值问题。(1)(1)求求y y与与x x的函数关系式的函数关系式及自变量的取值范围；及自变量的取值范围； (2)(2)怎样围才能使菜园的面积最大？怎样围才能使菜园的面积最大？最大面积是多少？最大面积是多少？如图，用长如图，用长6060米的篱笆围成一个一面靠墙米的篱笆围成一个一面靠墙的长方形的菜园，设菜园的宽为的长方形的菜园，设菜园的宽为x x米，面米，面 积为积为y y平方米。平方米。ABCD探究探究1y0 x459013518022527036912 152124 27 3o-118 (1) (1) 请用长请用长6060米的篱笆设计一个矩形的菜园。米的篱笆设计一个矩形的菜园。(2)(2)怎样设计才能使矩形菜园的面积最大？怎样设计才能使矩形菜园的面积最大？ABCDxy(0 x10)范例范例例例1、如图，在一面靠墙的空地上用长、如图，在一面靠墙的空地上用长为为24 m的篱笆，围成中间隔有两道篱笆的篱笆，围成中间隔有两道篱笆的长方形花圃。设花圃的宽的长方形花圃。设花圃的宽AB为为x m，面积为面积为S m2。(1)求求S与与x的函数关系式及自变量的取的函数关系式及自变量的取值范围；值范围；ABCD范例范例例例1、如图，在一面靠墙的空地上用长、如图，在一面靠墙的空地上用长为为24m的篱笆，围成中间隔有两道篱笆的篱笆，围成中间隔有两道篱笆的长方形花圃。设花圃的宽的长方形花圃。设花圃的宽AB为为xm，面积为面积为Sm2。(2)当当x取何值时，所围成花圃的面积最取何值时，所围成花圃的面积最大？最大值是多少？大？最大值是多少？ABCD范例范例例例1、如图，在一面靠墙的空地上用长、如图，在一面靠墙的空地上用长为为24m的篱笆，围成中间隔有两道篱笆的篱笆，围成中间隔有两道篱笆的长方形花圃。设花圃的宽的长方形花圃。设花圃的宽AB为为xm，面积为面积为Sm2。(3)若墙的最大可用长度为若墙的最大可用长度为8m，求围成，求围成的花圃的最大面积。的花圃的最大面积。ABCD何时窗户通过的光线最多w某建筑物的窗户如图所示某建筑物的窗户如图所示, ,它的上半部是半它的上半部是半圆圆, ,下半部是矩形下半部是矩形, ,制造窗框的材料总长制造窗框的材料总长( (图中图中所有的黑线的长度和所有的黑线的长度和) )为为15m.15m.当当x x等于多少时等于多少时, ,窗户通过的光线最多窗户通过的光线最多( (结果精确到结果精确到0.01m)?0.01m)?此此时时, ,窗户的面积是多少窗户的面积是多少? ?xxy .1574.1:xxy由解.4715,xxy得xx215272 24715222.222xxxxxxyS窗户面积.02. 45622544,07. 114152:2abacyabx最大值时当或用公式.562251415272x范例范例例例2、如图，在矩形、如图，在矩形ABCD中，中，AB=6cm，BC=12cm，点，点P从从A开始向开始向B以以1cm/s的的速度移动，点速度移动，点Q从从B开始向开始向C以以2cm/s的的速度移动。如果速度移动。如果P、Q分别从分别从A、B同时同时出发，设出发，设PBQ的面积为的面积为S(cm2)，移动时间为，移动时间为t(s)。(1)求求S与与t的函数关系；的函数关系；ABCDPQ范例范例例例2、如图，在矩形、如图，在矩形ABCD中，中，AB=6cm，BC=12cm，点，点P从从A开始向开始向B以以1cm/s的的速度移动，点速度移动，点Q从从B开始向开始向C以以2cm/s的的速度移动。如果速度移动。如果P、Q分别从分别从A、B同时同时出发，设出发，设PBQ的面积为的面积为S(cm2)，移动时间为，移动时间为t(s)。(2)当移动时间为多少时，当移动时间为多少时，PBQ的面积最大？是的面积最大？是多少？多少？ABCDPQ1.1.某工厂为了存放材料，需要围一个周长某工厂为了存放材料，需要围一个周长160160米的米的矩形场地，问矩形的长和宽各取多少米，才能使矩形场地，问矩形的长和宽各取多少米，才能使存放场地的面积最大。存放场地的面积最大。2.2.窗的形状是矩形上面加一个半圆。窗的周长等窗的形状是矩形上面加一个半圆。窗的周长等于于6cm6cm，要使窗能透过最多的光线，它的尺寸应，要使窗能透过最多的光线，它的尺寸应该如何设计？该如何设计？( (计算麻烦计算麻烦) )BCDAO3、如图，正方形、如图，正方形ABCD的边长是的边长是4，E是是AB上一点，上一点，F是是AD延长线上一点，延长线上一点，BE=DF。四边形。四边形AEGF是矩形，则矩是矩形，则矩形形AEGF的面积的面积y随随BE的长的长x的变化而的变化而变化，变化，y与与x之间可之间可以用怎样的函数来以用怎样的函数来表示？表示？DABCEGF4、如图是一块三角形废料，、如图是一块三角形废料，A=30，C=90，AB=12。用这块废料剪出一。用这块废料剪出一个长方形个长方形CDEF，其中，点，其中，点D、E、F分分别在别在AC、AB、BC上。要使剪出的长方上。要使剪出的长方形形CDEF的面积最大，点的面积最大，点E应选在何处？应选在何处？BAFCDE课堂小结课堂小结在解答有关二次函数求几何图形的最大在解答有关二次函数求几何图形的最大（小）面积的问题时，应遵循以下规律：（小）面积的问题时，应遵循以下规律：（1 1）利用几何图形的面积（或体积）公式得到）利用几何图形的面积（或体积）公式得到关于面积（或体积）的二次函数关系式；关于面积（或体积）的二次函数关系式；（2 2）由已得到的二次函数关系式求解问题；）由已得到的二次函数关系式求解问题； (3)(3)结合实际问题中自变量的取值范围得出实际结合实际问题中自变量的取值范围得出实际问题的答案。问题的答案。课外作业课外作业1、如图，、如图，ABC中，中，B=90，AB=6cm，BC=12cm，点，点P从从A开始沿开始沿AB边边向向B以以1cm/s的速度移动；点的速度移动；点Q从从B开始开始沿沿BC边向边向C以以2cm/s的速度移动。如果的速度移动。如果P、Q同时出发，问经过几秒钟同时出发，问经过几秒钟,PQB的面积最大？最大面积的面积最大？最大面积是多少？是多少？BPQAC2.2.在矩形在矩形ABCDABCD中，中，ABAB6cm6cm，BCBC12cm12cm，点，点P P从点从点A A出发，出发，沿沿ABAB边向点边向点B B以以1cm/1cm/秒的速度移动，同时，点秒的速度移动，同时，点Q Q从点从点B B出出发沿发沿BCBC边向点边向点C C以以2cm/2cm/秒的速度移动。如果秒的速度移动。如果P P、Q Q两点在两点在分别到达分别到达B B、C C两点后就停止移动，回答下列问题：两点后就停止移动，回答下列问题：（1 1）运动开始后第几秒时，）运动开始后第几秒时，PBQPBQ的面积等于的面积等于8cm8cm2 2（2 2）设运动开始后第）设运动开始后第t t秒时，秒时，五边形五边形APQCDAPQCD的面积为的面积为ScmScm2 2，写出写出S S与与t t的函数关系式，的函数关系式，并指出自变量并指出自变量t t的取值范围；的取值范围；t t为何值时为何值时S S最小？求出最小？求出S S的最小值。的最小值。QPCBAD3.二次函数二次函数y=ax +bx+c的图象的一部分如图所示，的图象的一部分如图所示，已知它的顶点已知它的顶点M在第二象限，且经过点在第二象限，且经过点A（1，0）和）和点点B（0，1）。）。（1）请判断实数）请判断实数a的取值范围，并说明理由；的取值范围，并说明理由；2xy1B1AO54（2）设此二次函数的图象）设此二次函数的图象与与x轴的另一个交点为轴的另一个交点为C， 当当AMC的面积为的面积为ABC的的 倍时，求倍时，求a的值。的值。-1a04.4.如图，在平面直角坐标系中，四边形如图，在平面直角坐标系中，四边形OABCOABC为菱形，点为菱形，点C C的坐标为的坐标为(4,0)(4,0)，AOC=60AOC=60，垂直于，垂直于x x轴的直线轴的直线l l从从y y轴出发，沿轴出发，沿x x轴正方向以每秒轴正方向以每秒1 1个单位长度的速度运动，个单位长度的速度运动，设直线设直线l l与菱形与菱形OABCOABC的两边分别交于点的两边分别交于点M M、N(N(点点M M在点在点N N的的上方上方).(1)求求A、B两点的坐标；两点的坐标；（2)设设OMN的面积为的面积为S，直线，直线l运动时间为运动时间为t秒秒(0t6)，试求，试求S 与与t的函数表达式；的函数表达式；(3)在题在题(2)的条件下，的条件下，t为何值时，为何值时，S的面积最大？的面积最大？最大面积是多少？最大面积是多少？
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