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北师大版 九年级（下）2 3030,45,45,60,600 0角的三角函数值角的三角函数值锐角三角函数定义w正弦正弦, ,余弦余弦, ,正切正切: : 回顾与思考回顾与思考bABCac,sincaA ,coscbA ,tanbaA ,sincbB ,coscaB ,tanabB w由感性知识上升到理性知识由感性知识上升到理性知识: :w在在RtRtABCABC中中, ,sinAsinA和和cosBcosB有什么关系有什么关系? ? 互余两角之间的三角函数关系w直角三角形直角三角形两锐角互余两锐角互余: :A+B=90A+B=900 0. . 回顾与思考回顾与思考bABCacsinAsinA= =cosBcosB或或cosAcosA= =sinBsinB. .,sincaA,coscbA,sincbB ,coscaB w一个锐角的正弦一个锐角的正弦, ,等于它的余角的余弦等于它的余角的余弦( (或一个锐角的余弦等于它的余角的正弦或一个锐角的余弦等于它的余角的正弦); );互余两角之间的三角函数关系w结合图形结合图形, ,将将sinAsinA= =cosBcosB或或cosAcosA= =sinBsinB用文字语言用文字语言叙述出来叙述出来: : 回顾与思考回顾与思考bABCac,sincaA,coscbA,sincbB ,coscaB w一个锐角的正弦一个锐角的正弦, ,等于它的余角的余弦等于它的余角的余弦( (或一个锐角的余或一个锐角的余弦等于它的余角的正弦弦等于它的余角的正弦); );互余两角之间的三角函数关系w一般地一般地,的余角为的余角为90900 0-,-,即即和和90900 0- -角互为余角角互为余角. . 回顾与思考回顾与思考:因此更一般地有,cos90sin0,sin90cos0本领大不大 悟心来当家w如图如图, ,观察一副三角板观察一副三角板: :w它们其中有几个锐角它们其中有几个锐角? ?分别是多少度分别是多少度? ? 想一想想一想w(1)sin(1)sin300等于多少等于多少? ?300600450450w(2)cos(2)cos300等于多少等于多少? ?w(3)tan(3)tan300等于多少等于多少? ?w请与同伴交流你是怎么想的请与同伴交流你是怎么想的? ?又是怎么做的又是怎么做的? ?1w不仿设两个三角形最短的边长为单位不仿设两个三角形最短的边长为单位1,1,易得易得: :11232知识在于积累w(5)sin(5)sin450,sin,sin600等于多少等于多少? ? 做一做做一做w(6)cos(6)cos450,cos,cos600等于多少等于多少? ?w(7)tan(7)tan450,tan,tan600等于多少等于多少? ?w根据上面的计算根据上面的计算, ,完成下表完成下表: w老师期望老师期望: :w你能对伴随九个学年的这副三角尺所具有的功你能对伴随九个学年的这副三角尺所具有的功能来个重新认识和评价能来个重新认识和评价. .300600450450111232洞察力与内秀特殊角的三角函数值表 做一做做一做w要能记要能记住有多住有多好好三角函数锐角正弦sin余弦cos正切tan3004506002123332222123213w这张表还可以看出许多这张表还可以看出许多知识之间的内在联系呢知识之间的内在联系呢? ?行家看“门道”w例例1 1 计算计算: :w(1)sin(1)sin300+cos+cos450;(2) sin;(2) sin2 2600+cos+cos2 2600+tan+tan450. . 例题欣赏例题欣赏w老师提示老师提示: :SinSin2 2600表示表示(sin(sin600) )2 2, ,coscos2 2600表示表示(cos(cos600) )2 2, ,其其余类推余类推. .w解解: (1)sin: (1)sin300+cos+cos450(2) sin(2) sin2 2600+cos+cos2 2600-tan-tan4502221.221121232214143. 0知识的运用(1)sin(1)sin600-cos-cos450; ; (2)cos(2)cos600+tan+tan600; ; 随堂练习随堂练习w计算计算: : .45cos260sin45sin223000w老师期望老师期望: :只要勇敢地走向黑板来展示自己只要勇敢地走向黑板来展示自己, ,就是就是英雄英雄! ! .45cos260cos30sin224020202223232122231862 真知在实践中诞生w例例2 2 如图如图: :一个小孩荡秋千一个小孩荡秋千, ,秋千链秋千链子的长度为子的长度为2.5m,2.5m,当秋千向两边摆动当秋千向两边摆动时时, ,摆角恰好为摆角恰好为600, ,且两边摆动的角且两边摆动的角度相同度相同, ,求它摆至最高位置时与其摆求它摆至最高位置时与其摆至最低位置时的高度之差至最低位置时的高度之差( (结果精确结果精确到到0.01m).0.01m). 便是欣赏便是欣赏w老师提示老师提示:w将实际问题数学化将实际问题数学化.真知在实践中诞生w实际问题数学化实际问题数学化: 便是欣赏便是欣赏咋办w最高位置与最低位置的高度差约为最高位置与最低位置的高度差约为0.34m.0.34m., 5 . 2,30602100OAOBAOBACOBDw解解: :如图如图, ,根据题意可知根据题意可知, ,30cos0OBOCAC=OA-OC=2.5-2.1650.34(m). AC=OA-OC=2.5-2.1650.34(m). ).(165. 2235 . 230cos0mOBOC2.5w老师期望老师期望: :wsinsin2 2A+cos+cos2 2A=1=1它反映了同角之间的三角函数它反映了同角之间的三角函数的关系的关系, ,且它更具有灵活变换的特点且它更具有灵活变换的特点, ,若能予以若能予以掌握掌握, ,则将有益于智力开发则将有益于智力开发. .八仙过海,尽显才能w2.2.某商场有一自动扶梯某商场有一自动扶梯, ,其倾斜角为其倾斜角为300, ,高为高为7m,7m,扶梯的长度是多少扶梯的长度是多少? ?随堂练习随堂练习w3.3.如图如图, ,在在RtRtABCABC中中, ,C=90C=90, ,wA,B ,CA,B ,C的对边分别是的对边分别是a,b,ca,b,c. .w求证求证:sin:sin2 2A+cos+cos2 2A=1=1bABCacw灵活变换灵活变换: :同角之间的三角函数的关系同角之间的三角函数的关系w3.3.如图如图, ,在在RtRtABCABC中中, ,C=90C=900 0,A,B,C,A,B,C的对的对边分别是边分别是a,b,ca,b,c. .w求证求证:sin:sin2 2A+cos+cos2 2A=1=1随堂练习随堂练习bABCac,cos,sin:222cbacbAcaA证明2222cossincbcaAA222cba 22cc. 1. 1cossin22AA即.cos1sin22AA.sin1cos22AA.cos1sin2AA或.sin1cos2AA或同角之间的三角函数的关系同角之间的三角函数的关系w3.3.如图如图, ,在在RtRtABCABC中中, ,C=90C=900 0,A,B,C,A,B,C的对的对边分别是边分别是a,b,ca,b,c. .w求证求证: :随堂练习随堂练习bABCac,tan:baA 证明.tancossinAbacbcaAA.cossintanAAA,cos,sincbAcaA同角之间的三角函数的关系同角之间的三角函数的关系w平方和关系平方和关系: :随堂练习随堂练习bABCc. 1cossin22AA.cos1sin22AA.cos1sin2AA或.sin1cos22AA.sin1cos2AA或商的关系商的关系: :.cossintanAAA 直角三角形中的边角关系小结 拓展w 看图说话看图说话: :w 直角三角形三边的关系直角三角形三边的关系: :w a a2 2+b+b2 2=c=c2 2. .w 直角三角形两锐角的关系直角三角形两锐角的关系: :w A+B=90A+B=900 0. .w 直角三角形直角三角形边与角边与角之间的关系之间的关系: :w 特殊角特殊角30300 0,45,450 0,60,600 0角的三角函数值角的三角函数值: :w 互余两角互余两角之间的三角函数关系之间的三角函数关系: :w 同角同角之间的三角函数关系之间的三角函数关系: :bABCac300600450450111232习题w1.1.计算计算; ;w(1)tan45(1)tan450-sin30-sin300; ;w(2)cos(2)cos600+sin45+sin450-tan3-tan300; ; .45cos260sin330tan630002w2.2.如图如图, ,河岸河岸AD,BCAD,BC互相平行互相平行, ,桥桥ABAB垂直于两岸垂直于两岸. .桥长桥长12m,12m,在在C C处看桥两处看桥两端端A,B,A,B,夹角夹角BCA=60BCA=600. .w求求B,CB,C间的距离间的距离( (结果精确到结果精确到1m).1m).BCAD216322332221mBC7w3.3.如图如图, ,身高身高1.5m1.5m的小丽用一个两锐角分别是的小丽用一个两锐角分别是30300和和60600 的三角尺测量一棵树的高度的三角尺测量一棵树的高度. .已知她与已知她与树之间的距离为树之间的距离为5m,5m,那么这棵树大约有多高那么这棵树大约有多高? ?m6 . 4树高约结束寄语结束寄语在数学领域中在数学领域中, ,重视学习的过程比重视学重视学习的过程比重视学习的结果更为重要习的结果更为重要. .
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