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第四节 指数、指数函数1.1.根式根式(1)(1)根式的概念根式的概念根式根式 符号符号表示表示 备注备注 如果一个实数如果一个实数x x满足满足_，那么，那么称称x x为为a a的的n n次实数方根次实数方根 n1n1且且nNnN* * 当当n n为奇数时，正数的为奇数时，正数的n n次实数方次实数方根是一个根是一个_数，负数的数，负数的n n次实数次实数方根是一个方根是一个_数数. . 零的零的n n次实数方根是次实数方根是_ _ 当当n n为偶数时，正数的为偶数时，正数的n n次实数方次实数方根有两个，它们互为根有两个，它们互为_. _. (a0) (a0) _没有偶次实数没有偶次实数方根方根 x xn n=a=a正正负负na零零相反数相反数na负数负数(2)(2)两个重要公式两个重要公式 (n(n为奇数且为奇数且nNnN* *),), (n (n为偶数且为偶数且nNnN* *).). =_(a =_(a必须使必须使 有意义有意义) )nn_aaa annaa ana2.2.分数指数幂的意义及有理数指数幂的运算性质分数指数幂的意义及有理数指数幂的运算性质(1)(1)意义意义 = _ (a0,m,n = _ (a0,m,n均为正整数均为正整数) )； =_= _(a0,m,n =_= _(a0,m,n均为正整数均为正整数).).mnamnamnamn1amn1a(2)(2)运算性质运算性质a ar raas s=_(a0,r=_(a0,r，sQsQ) )；(a(ar r) )s s=_(a0,r=_(a0,r，sQsQ) )；(ab)(ab)r r=_(a0,b0,rQ).=_(a0,b0,rQ).上述有理数指数幂的运算性质，对于无理数指数幂也适用上述有理数指数幂的运算性质，对于无理数指数幂也适用. .a ar+sr+sa arsrsa ar rb br r3.3.指数函数的图象与性质指数函数的图象与性质名名 称称 y=ay=ax x(a(a1) 1) y=ay=ax x(0a1) (0a0 x0时，时，_;_;当当x0 x0 x0时，时，_;_;当当x0 x1y10y10y10y10y1y1增函数增函数减函数减函数R R判断下面结论是否正确判断下面结论是否正确( (请在括号中打请在括号中打“”或或“”).”).(1) =-4.( )(1) =-4.( )(2) ( )(2) ( )(3)(3)函数函数y=ay=a-x-x是是R R上的增函数上的增函数.( ).( )(4)(4)函数函数y= (ay= (a1)1)的值域是的值域是(0(0，+).( )+).( )4442142111. 2x1a【解析【解析】(1)(1)错误错误. . 没有意义没有意义. .(2)(2)错误错误. .底数为负数时，指数不能约分底数为负数时，指数不能约分. .(3)(3)错误错误. .当当a a1 1时函数是时函数是R R上的减函数，当上的减函数，当0 0a a1 1时函数是时函数是R R上的增函数上的增函数. .(4)(4)错误错误. .因为因为x x2 2+11+11，所以，所以yaya，即值域为，即值域为a a，+).+).答案：答案：(1)(1) (2) (2) (3) (3) (4) (4)441.1.化简化简 -(-1)-(-1)0 0的结果为的结果为_._.【解析【解析】 -1=8-1=7.-1=8-1=7.答案：答案：7 716221160622212 2.2.化简化简 (x(x0 0，y y0)0)得得_._.【解析【解析】 =2x=2x2 2|y|=-2x|y|=-2x2 2y.y.答案：答案：-2x-2x2 2y y84416x y4844244416x y2xy3.3.当当a a0 0且且a1a1时，函数时，函数f(xf(x)=a)=ax-2x-2-3-3的图象必过定点的图象必过定点_._.【解析解析】由由a a0 0=1=1知，当知，当x-2=0 x-2=0，即，即x=2x=2时，函数时，函数f(xf(x) )的图象恒过的图象恒过定点定点. .此时，此时，f(2)=-2f(2)=-2，即图象必过定点，即图象必过定点(2(2，-2).-2).答案：答案：(2(2，-2)-2)4.4.指数函数指数函数y=(2-a)y=(2-a)x x在定义域内是减函数，则在定义域内是减函数，则a a的取值范围是的取值范围是_._.【解析【解析】由题意知，由题意知，0 02-a2-a1 1，即，即1 1a a2.2.答案：答案：(1(1，2)2)5.5.函数函数y= y= 的值域是的值域是_._.【解析【解析】1-xR,y1-xR,y0.0.答案：答案：(0(0，+)+)1 x1( )2考向考向 1 1 指数幂的化简与求值指数幂的化简与求值 【典例【典例1 1】化简：化简：(1) (1) (2) (2) 【思路点拨【思路点拨】将根式化为分数指数幂，负分数指数幂化为正分将根式化为分数指数幂，负分数指数幂化为正分数指数幂，底数为小数的化成分数，然后运用幂的运算性质进数指数幂，底数为小数的化成分数，然后运用幂的运算性质进行计算行计算. .3223111143342a baba0b0 .(a b ) ab ， 1111010.253324730.00813 ( ) 81(3 )10 0.027 .88【规范解答【规范解答】(1)(1)原式原式= =(2)(2)原式原式1213233211233a b a bab ab（）3 111111212 6333abab . 1114114233()3 13( ) 10211313233112310110 () ()()1030.10103331033【拓展提升【拓展提升】指数幂的一般运算原则指数幂的一般运算原则有括号的先算括号里的有括号的先算括号里的, ,无括号的先做指数运算无括号的先做指数运算, ,先乘除后加减先乘除后加减, ,负指数幂化成正指数幂的倒数负指数幂化成正指数幂的倒数, ,底数是负数底数是负数, ,先确定符号先确定符号, ,底数底数是小数是小数, ,先化成分数先化成分数, ,底数是带分数的底数是带分数的, ,先化成假分数先化成假分数, ,若是根式若是根式, ,应化为分数指数幂，尽可能用幂的形式表示应化为分数指数幂，尽可能用幂的形式表示, ,运用指数幂的运运用指数幂的运算性质来解答算性质来解答. .【提醒【提醒】运算结果不能同时含有根号和分数指数，也不能既有运算结果不能同时含有根号和分数指数，也不能既有分母又含有负指数分母又含有负指数. .【变式训练【变式训练】(1)(1)计算：计算： (2)(2)计算：计算：(3)(3)已知已知【解析【解析】(1)(1)原式原式= = (2)(2)原式原式= =933713332aaaa.331122221122mmmm4.mm，求1713931333222a aaa（）（）113232aaaa1.1123227257110009 （） （）（）10549145.33 112032170.027221 .79 （） （） （）（）(3) =4,m+m(3) =4,m+m-1-1+2=16,+2=16,m+mm+m-1-1=14,=14,=m+m=m+m-1-1+1=14+1=15.+1=14+1=15.1122mm33111222211112222mmmmmm1mmmm()()考向考向 2 2 指数函数图象的应用指数函数图象的应用【典例【典例2 2】已知函数已知函数y=y=(1)(1)作出图象作出图象. .(2)(2)由图象指出其单调区间由图象指出其单调区间. .(3)(3)由图象指出当由图象指出当x x取什么值时函数有最值取什么值时函数有最值. .【思路点拨【思路点拨】将函数写成分段函数的形式，作出函数的图象，将函数写成分段函数的形式，作出函数的图象，由图象可求单调区间及最值由图象可求单调区间及最值. .x 11( ).3【规范解答【规范解答】(1)(1)由已知可得由已知可得, ,其图象由两部分组成：其图象由两部分组成：一部分是：一部分是：y=( )y=( )x x(x0)(x0)图象如图所示：图象如图所示：x 1x 1x 11,x11y333,x1. （ ），（ ）13x 11xx 111y( )x13y3 (x0)y3x1 . 向左平移个单位向左平移个单位；另一部分是：(2)(2)函数在函数在(-(-，-1-1上是增函数，在上是增函数，在-1-1，+)+)上是减函数上是减函数. .(3)(3)当当x=-1x=-1时，函数时，函数y= y= 取最大值取最大值1 1，无最小值，无最小值. .x 11( )3【拓展提升【拓展提升】1.1.应用指数函数图象研究指数型函数的性质应用指数函数图象研究指数型函数的性质对指数型函数的性质对指数型函数的性质( (单调性、最值、大小比较、零点等单调性、最值、大小比较、零点等) )的求的求解往往利用相应指数函数的图象解往往利用相应指数函数的图象, ,通过平移、对称变换得到其通过平移、对称变换得到其图象图象, ,然后数形结合使问题得解然后数形结合使问题得解. .2.2.利用图象解指数型方程、不等式利用图象解指数型方程、不等式一些指数型方程、不等式问题的求解一些指数型方程、不等式问题的求解, ,往往利用相应指数型函往往利用相应指数型函数图象数形结合求解数图象数形结合求解. .【变式训练【变式训练】k k为何值时为何值时, ,方程方程|3|3x x-1|=k-1|=k无解？有一解？有两解？无解？有一解？有两解？【解析【解析】函数函数y=|3y=|3x x-1|-1|的图象是由函数的图象是由函数y=3y=3x x的图象向下平移一的图象向下平移一个单位后个单位后, ,再把位于再把位于x x轴下方的图象沿轴下方的图象沿x x轴翻折到轴翻折到x x轴上方得到的轴上方得到的, ,函数图象如图所示函数图象如图所示. .当当k k0 0时时, ,直线直线y=ky=k与函数与函数y=|3y=|3x x-1|-1|的图象无交点的图象无交点, ,即方程无解；即方程无解；当当k=0k=0或或k1k1时时, ,直线直线y=ky=k与函数与函数y=|3y=|3x x-1|-1|的图象有惟一的交点的图象有惟一的交点, ,所以方程有一解；所以方程有一解；当当0 0k k1 1时时, ,直线直线y=ky=k与函数与函数y=|3y=|3x x-1|-1|的图象有两个不同的交的图象有两个不同的交点点, ,所以方程有两解所以方程有两解. .考向考向 3 3 指数函数性质的应用指数函数性质的应用【典例【典例3 3】(1)(1)函数函数y= y= 的定义域为的定义域为_，值域为，值域为_._.(2)(2)已知已知f(xf(x)= (a)= (a0 0且且a1).a1).讨论讨论f(xf(x) )的奇偶性的奇偶性. .求求a a的取值范围，使的取值范围，使f(xf(x) )0 0在定义域上恒成立在定义域上恒成立. .【思路点拨【思路点拨】(1)(1)解答本题主要利用指数函数的单调性结合二解答本题主要利用指数函数的单调性结合二次函数的性质求解次函数的性质求解. .(2)(2)先求函数的定义域，再判断奇偶性，对于恒成立问题，可先求函数的定义域，再判断奇偶性，对于恒成立问题，可借助函数的奇偶性，只讨论借助函数的奇偶性，只讨论x x0 0的情况的情况. .23 2x x1( )23x11xa12（）【规范解答【规范解答】(1)(1)函数函数y= y= 的定义域为的定义域为R R，令令t=3+2x-xt=3+2x-x2 2, ,则则t=-(x-1)t=-(x-1)2 2+4,+4,由由xRxR得得t(-,4t(-,4, ,因为因为y= y= 在在(-,4(-,4上是减函数，上是减函数，所以所以y= y= ,+).,+).答案：答案：R R ,+),+)23 2x x1( )2t1( )2t1( )2116116(2)(2)由于由于a ax x-10,-10,则则a ax x1,1,得得x0,x0,所以函数所以函数f(xf(x) )的定义域为的定义域为x|x0,xR.x|x0,xR.对于定义域内任意对于定义域内任意x x，有，有f(xf(x) )是偶函数是偶函数. .x33xx3x3x11a1fx()xxa121 a2111xa1211xfx .a12 （） ()（）（）()（）（ ）由由知知f(xf(x) )为偶函数，为偶函数，只需讨论只需讨论x x0 0时的情况时的情况. .当当x x0 0时，要使时，要使f(xf(x) )0 0，即即即即a ax x-1-10 0，a ax x1 1，a ax xa a0 0. .又又xx0 0，aa1.1.因此因此a a1 1时，时，f(xf(x) )0 0在定义域上恒成立在定义域上恒成立. .3x11x0a12（） ，xxx11a100a122 a1即 ，即 ，【互动探究【互动探究】本例题本例题(1)(1)中求函数的单调区间中求函数的单调区间. .【解析【解析】令令u=3+2x-xu=3+2x-x2 2，y=y=又当又当x(-,1)x(-,1)时时,u,u为增函数，当为增函数，当xx1,+)1,+)时，时，u u为减函为减函数，数，又又0 10 1，故，故y= y= 在在(-,1)(-,1)上为减函数，在上为减函数，在1,+)1,+)上为增函数上为增函数. .u1( ) ,21223 2x x1( )2【拓展提升【拓展提升】利用指数函数的性质可求解的问题及方法利用指数函数的性质可求解的问题及方法(1)(1)应用指数函数的单调性可以比较同底数幂值的大小应用指数函数的单调性可以比较同底数幂值的大小. .(2)(2)与指数函数有关的指数型函数的定义域、值域与指数函数有关的指数型函数的定义域、值域( (最值最值) )、单、单调性、奇偶性的求解方法调性、奇偶性的求解方法, ,与前面所讲一般函数的求解方法一与前面所讲一般函数的求解方法一致致, ,只需根据条件灵活选择即可只需根据条件灵活选择即可. .【变式备选【变式备选】(1)(1)函数函数f(xf(x)= )= 的单调递减区间为的单调递减区间为_，值域为值域为_._.【解析【解析】令令g(xg(x)=-x)=-x2 2-4x+3=-(x+2)-4x+3=-(x+2)2 2+7,+7,由于由于g(xg(x) )在在(-,-2)(-,-2)上上单调递增单调递增, ,在在(-2,+)(-2,+)上单调递减上单调递减, ,而而y= y= 在在R R上为单调递减上为单调递减, ,所以所以f(xf(x) )在在(-,-2)(-,-2)上单调递减上单调递减. .又又g(xg(x)=-(x+2)=-(x+2)2 2+77, +77, f(x)f(x)答案：答案：(-,-2) 3(-,-2) 3-7-7,+),+)2x4x 31( )3t1( )3771( )3 .3(2)(2)已知函数已知函数f(xf(x)= (a)= (a0 0且且a1)a1)，求求f(xf(x) )的定义域的定义域. .讨论讨论f(xf(x) )的奇偶性的奇偶性. .讨论讨论f(xf(x) )的单调性的单调性. .【解析【解析】f(xf(x) )的定义域是的定义域是R.R.f(-x)= =-f(x)f(-x)= =-f(x)，f(xf(x) )是奇函数是奇函数. .xxa1a1xxxxa11 aa11af(xf(x)=)=设设x x1 1,x,x2 2是是R R上任意两个实数上任意两个实数, ,且且x x1 1x x2 2, ,则则f(xf(x1 1)-f(x)-f(x2 2)=)=xx1 1x x2 2,当当a a1 1时时, , 0,0,从而从而f(xf(x1 1)-f(x)-f(x2 2) )0,0,即即f(xf(x1 1) )f(xf(x2 2),f(x),f(x)为为R R上的增函数上的增函数. .当当0 0a a1 1时时, , 0,0,从而从而f(xf(x1 1)-f(x)-f(x2 2) )0,0,即即f(xf(x1 1) )f(xf(x2 2),f(x),f(x)为为R R上的减函数上的减函数. .xxxa1221,a1a1 （）122112xxxxxx2 aa22.a1a1a1 a121xxaa1212xxxxa1 0,a1 0,aa0,12xxaa1212xxxxa1 0,a1 0,aa0,【易错误区【易错误区】忽略对指数函数的底数的讨论致误忽略对指数函数的底数的讨论致误【典例【典例】(2012(2012山东高考山东高考) )若函数若函数f(x)=af(x)=ax x(a(a0 0，a1)a1)在在-1-1，2 2上的最大值为上的最大值为4 4，最小值为，最小值为m m，且函数，且函数g(xg(x)= )= 在在0 0，+)+)上是增函数，则上是增函数，则a=_.a=_.【误区警示误区警示】本题易出现的错误主要有两个方面本题易出现的错误主要有两个方面: :(1)(1)误以为误以为a a1,1,未进行分类讨论从而求得错误答案未进行分类讨论从而求得错误答案. .(2)(2)对条件对条件“g(xg(x) )在在0 0，+)+)上是增函数上是增函数”不会使用，求得不会使用，求得结果后未进行检验得到两个答案结果后未进行检验得到两个答案. .14mx【规范解答【规范解答】若若a a1 1，有，有a a2 2=4=4，a a-1-1=m=m，此时，此时a=2a=2，m= m= ，此时，此时g(xg(x)= )= 为减函数，不合题意为减函数，不合题意. .若若0 0a a1 1，有，有a a-1-1=4=4，a a2 2=m=m，故故a= a= ，m= m= ，检验知符合题意，检验知符合题意. .答案：答案： 12x1411614【思考点评【思考点评】1.1.指数函数的底数不确定时应分类讨论指数函数的底数不确定时应分类讨论指数函数的底数不确定时，单调性不明确，从而无法确定其最指数函数的底数不确定时，单调性不明确，从而无法确定其最值，故应分值，故应分a a1 1和和0 0a a1 1两种情况讨论两种情况讨论. .2.2.根据函数的单调性确定其最值根据函数的单调性确定其最值根据函数的单调性求最值是求函数最值的常用方法之一，熟练根据函数的单调性求最值是求函数最值的常用方法之一，熟练掌握基本初等函数的单调性及复合函数的单调性是求解的基础掌握基本初等函数的单调性及复合函数的单调性是求解的基础. . 1.(20131.(2013徐州模拟徐州模拟) )设设xR,f(xxR,f(x)= )= 若不等式若不等式f(x)+f(2x)f(x)+f(2x)kk对于任意实数对于任意实数xRxR恒成立，则实数恒成立，则实数k k的取值范围是的取值范围是_._.【解析【解析】f(x)+f(2x)kf(x)+f(2x)k，即，即 ，令，令t= t= 则则0t10t1，原不等式化为原不等式化为t+tt+t2 2kk，令，令y=t+ty=t+t2 2= =02.02.答案：答案：k2k2x1( )2，x2x11( )( )k22x1( )2，211(t),242.(20132.(2013济南模拟济南模拟) )设设y y1 1=4=40.90.9,y,y2 2=8=80.480.48,y,y3 3=( )=( )-1.5-1.5, ,则则y y1 1,y,y2 2,y,y3 3的大小关系为的大小关系为_._.【解析【解析】y y1 1=2=21.81.8,y,y2 2=2=21.441.44,y,y3 3=2=21.51.5，1.81.81.51.51.441.44，2 21.81.82 21.51.52 21.441.44,y,y1 1y y3 3y y2 2. .答案：答案：y y1 1y y3 3y y2 2123.(20133.(2013扬州模拟扬州模拟) )设设a1a1，若对任意的，若对任意的xxa,2aa,2a，都有，都有yya,aa,a2 2，满足，满足logloga ax+logx+loga ay y=3=3，则，则a a的取值范围是的取值范围是_._.【解析【解析】由由logloga ax+logx+loga ay y=3=3，得，得xyxy=a=a3 3,y=,y=函数函数y= y= 在在a,2aa,2a上为减函数上为减函数. . =a =a2 2, a,a2., a,a2.答案：答案：2 2，+)+)3a,x3ax3aa3a2a4.(20124.(2012上海高考上海高考) )方程方程4 4x x-2-2x+1x+1-3=0-3=0的解是的解是_._.【解析解析】方法一：原方程方法一：原方程4 4x x-2-2x+1x+1-3=0-3=0可化为可化为(2(2x x) )2 2-2-22 2x x-3=0-3=0，即即(2(2x x-3)(2-3)(2x x+1)=0+1)=0，由于，由于2 2x x0 0，xRxR，2 2x x-3=0-3=0，即，即x=logx=log2 23.3.方法二：令方法二：令t=2t=2x x，则，则t t0 0，原方程可化为，原方程可化为t t2 2-2t-3=0-2t-3=0，解得解得t=3t=3或或t=-1(t=-1(舍去舍去) )，即，即2 2x x=3=3，x=logx=log2 23.3.答案：答案：x=logx=log2 23 31.1.已知函数已知函数f(xf(x) )是定义在是定义在R R上的奇函数，当上的奇函数，当x x0 0时，时，f(xf(x)=)=1-21-2-x-x，则不等式，则不等式f(xf(x) ) 的解集是的解集是_._.【解析【解析】当当x x0 0时，时，f(xf(x)=1-2)=1-2-x-x0 0，又又f(xf(x) )是是R R上的奇函数，上的奇函数，所以所以f(xf(x) ) 的解集和的解集和f(xf(x) ) (x(x0)0)的解集关于原点对的解集关于原点对称，由称，由1-21-2-x-x 得得2 2-x-x =2=2-1-1，即，即x x1 1，则，则f(xf(x) ) 的解集的解集是是(-(-，-1).-1).答案：答案：(-(-，-1)-1)1212121212122.2.若关于若关于x x的方程的方程a a2x2x+(1+ )a+(1+ )ax x+1=0(a+1=0(a0 0且且a1)a1)有解，则有解，则m m的取值范围是的取值范围是_._.【解析【解析】由由a ax x0 0知知 解得解得 mm0.0.答案：答案： ，0)0)1m22m102mm140m ，1313
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