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第2讲数列的求和问题专题四数列、推理与证明栏目索引 高考真题体验1 1 热点分类突破2 2 高考押题精练3 3 高考真题体验1.(2016课标全国甲)Sn为等差数列an的前n项和，且a11，S728.记bnlg an，其中x表示不超过x的最大整数，如0.90，lg 991.(1)求b1，b11，b101；解解设an的公差为d，据已知有721d28，解得d1.所以an的通项公式为ann.b1lg 10，b11lg 111，b101lg 1012.解析答案(2)求数列bn的前1 000项和.所以数列bn的前1 000项和为1902900311 893.解析答案2.(2016山东)已知数列an的前n项和Sn3n28n，bn是等差数列，且anbnbn1.(1)求数列bn的通项公式；解解由题意知，当n2时，anSnSn16n5，当n1时，a1S111，所以an6n5.设数列bn的公差为d.可解得b14，d3，所以bn3n1.解析答案又Tnc1c2cn，得Tn3222323(n1)2n1，2Tn3223324(n1)2n2.两式作差，得Tn322223242n1(n1)2n2所以Tn3n2n2.解析答案考情考向分析返回高考对数列求和的考查主要以解答题的形式出现，通过分组转化、错位相减、裂项相消等方法求一般数列的和，体现转化与化归的思想.热点一分组转化求和有些数列，既不是等差数列，也不是等比数列，若将数列通项拆开或变形，可转化为几个等差、等比数列或常见的数列，即先分别求和，然后再合并.热点分类突破例1等比数列an中，a1，a2，a3分别是下表第一、二、三行中的某一个数，且a1，a2，a3中的任何两个数不在下表的同一列.第一列第二列第三列第一行3210第二行6414第三行9818(1)求数列an的通项公式；解解当a13时，不合题意；当a12时，当且仅当a26，a318时，符合题意；当a110时，不合题意.因此a12，a26，a318，所以公比q3.故an23n1 (nN*).解析答案(2)若数列bn满足：bnan(1)nln an，求数列bn的前n项和Sn.解析答案思维升华解解因为bnan(1)nln an23n1(1)nln(23n1)23n1(1)nln 2(n1)ln 323n1(1)n(ln 2ln 3)(1)nnln 3，所以Sn2(133n1)111(1)n(ln 2ln 3)123(1)nnln 3.当n为偶数时，解析答案思维升华当n为奇数时，思维升华思维升华在处理一般数列求和时，一定要注意使用转化思想.把一般的数列求和转化为等差数列或等比数列进行求和，在求和时要分析清楚哪些项构成等差数列，哪些项构成等比数列，清晰正确地求解.在利用分组求和法求和时，由于数列的各项是正负交替的，所以一般需要对项数n进行讨论，最后再验证是否可以合并为一个公式.跟踪演练1(2015湖南)设数列an的前n项和为Sn，已知a11，a22，且an23SnSn13，nN*.(1)证明：an23an；证明证明由条件，对任意nN*，有an23SnSn13，因而对任意nN*，n2，有an13Sn1Sn3.两式相减，得an2an13anan1，即an23an，n2.又a11，a22，所以a33S1S233a1(a1a2)33a1，故对一切nN*，an23an.解析答案(2)求Sn.解析答案于是数列a2n1是首项a11，公比为3等比数列；数列a2n是首项a22，公比为3的等比数列.因此a2n13n1，a2n23n1.于是S2na1a2a2n(a1a3a2n1)(a2a4a2n)(133n1)2(133n1)解析答案综上所述，3223(5 31),23(31)2nnnnSn，.是奇数是偶数热点二错位相减法求和错位相减法是在推导等比数列的前n项和公式时所用的方法，这种方法主要用于求数列anbn的前n项和，其中an，bn分别是等差数列和等比数列.例2已知数列an的前n项和为Sn，且有a12,3Sn5anan13Sn1(n2).(1)求数列an的通项公式；解解3Sn3Sn15anan1(n2)，解析答案(2)若bn(2n1)an，求数列bn的前n项和Tn.解解bn(2n1)22n，Tn121320521(2n1)22n，Tn12(2n3)22n.解析答案思维升华思维升华(1)错位相减法适用于求数列anbn的前n项和，其中an为等差数列，bn为等比数列；(2)所谓“错位”，就是要找“同类项”相减.要注意的是相减后得到部分，求等比数列的和，此时一定要查清其项数.(3)为保证结果正确，可对得到的和取n1,2进行验证.跟踪演练2已知正项数列an的前n项和Sn满足：4Sn(an1)(an3)(nN*).(1)求an；解析答案化简得，(anan1)(anan12)0，an是正项数列，anan10，anan120，对任意n2，nN*都有anan12，解得a13或a11(舍去)，an是首项为3，公差为2的等差数列，an32(n1)2n1.(2)若bn2nan，求数列bn的前n项和Tn.解解由已知及(1)知，bn(2n1)2n，Tn321522723(2n1)2n1(2n1)2n，2Tn322523724(2n1)2n(2n1)2n1，得，Tn3212(2223242n)(2n1)2n12(2n1)2n1.解析答案热点三裂项相消法求和(1)求数列an的通项公式；解析答案解解设等差数列an的公差为d，a12，d2，此时an22(n1)2n.解析答案思维升华Tnb1b2b3bn为满足题意，必须使2253，思维升华思维升华(1)裂项相消法的基本思想就是把通项an分拆成anbnkbn(k1，kN*)的形式，从而达到在求和时某些项相消的目的，在解题时要善于根据这个基本思想变换数列an的通项公式，使之符合裂项相消的条件.(2)常用的裂项公式A.8 B.9 C.10 D.11解析答案解析解析设数列an的首项为a1，公差为d，m9.A.最小值63 B.最大值63 C.最小值31 D.最大值31解析答案返回(log22log23)(log23log24)log2(n1)log2(n2)故使Sn0)，且4a3是a1与2a2的等差中项.(1)求an的通项公式；押题依据押题依据错位相减法求和是高考的重点和热点，本题先利用an，Sn的关系求an，也是高考出题的常见形式.返回解析答案解解(1)当n1时，S1a(S1a11)，所以a1a，当n2时，Sna(Snan1)，Sn1a(Sn1an11)，故an是首项a1a，公比为a的等比数列，所以anaan1an.故a2a2，a3a3.由4a3是a1与2a2的等差中项，可得8a3a12a2，即8a3a2a2，解析答案因为a0，整理得8a22a10，即(2a1)(4a1)0，所以Tn32522723(2n1)2n1(2n1)2n， 2Tn322523724(2n1)2n(2n1)2n1，解析答案由，得Tn322(22232n)(2n1)2n122n2(2n1)2n12(2n1)2n1，所以Tn2(2n1)2n1.返回
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