【备战2020】高考数学全套知识点

高考数学全套知识点1. 对于集合，一定要抓住集合的代表元素，及元素的“确定性、互异性、无序性”。如：集合 Ax|ylg x ， By| ylg x ， C(x, y)|ylg x ， A 、 B、 C 中 元 素各表示什么？2. 进行集合的交、并、补运算时，不要忘记集合本身和空集的特殊情况。注重借助于数轴和文氏图解集合问题。空集是一切集合的子集，是一切非空集合的真子集。如：集合 Ax|x22x30 ， Bx|ax1若BA ，则实数 a的值构成的集合为（答：， ， 1）1033. 注意下列性质：（ 1）集合 a1 ， a2 ， ， an 的所有子集的个数是 2 n ；（ 3）德摩根定律：CU ABCUACUB ，CU ABCUACUB4. 你会用补集思想解决问题吗？（排除法、间接法）的取值范围。5. 可以判断真假的语句叫做命题，逻辑连接词有“或”()，“且” ( ) 和 “非” ( ).若p q为真，当且仅当 p、 q均为真若p q为真，当且仅当 p、 q至少有一个为真若 p为真，当且仅当 p为假6. 命题的四种形式及其相互关系是什么？（互为逆否关系的命题是等价命题。）原命题与逆否命题同真、同假；逆命题与否命题同真同假。7. 对映射的概念了解吗？映射f： A B ，是否注意到A 中元素的任意性和B 中与之对应元素的唯一性，哪几种对应能构成映射？（一对一，多对一，允许B 中有元素无原象 ）8. 函数的三要素是什么？如何比较两个函数是否相同？（定义域、对应法则、值域）9. 求函数的定义域有哪些常见类型？10. 如何求复合函数的定义域？如：函数 f (x)的定义域是a， b ， ba0，则函数 F(x )f (x)f (x)的定义 域 是_。（答： a，a ）11. 求一个函数的解析式或一个函数的反函数时，注明函数的定义域了吗？12. 反函数存在的条件是什么？（一一对应函数）求反函数的步骤掌握了吗？（反解 x；互换x、y；注明定义域）1xx0如：求函数 f ( x)2x的反函数x0（答： f1x 1x 1x）( )xx013. 反函数的性质有哪些？互为反函数的图象关于直线yx 对称；保存了原来函数的单调性、奇函数性；14. 如何用定义证明函数的单调性？（取值、作差、判正负）如何判断复合函数的单调性？ ）15. 如何利用导数判断函数的单调性？在区间 a， b 内，若总有 f ( x)0则f ( x) 为增函数。（在个别点上导数等于零，不影响函数的单调性），反之也对，若f ( x )0呢？值是（）A.0B.1C.2D.3由已知 f ( x) 在1，) 上为增函数，则a1，即 a 33 a 的最大值为 3）16. 函数 f(x)具有奇偶性的必要（非充分）条件是什么？（ f(x) 定义域关于原点对称）若f (x)f ( x) 总成立f ( x) 为奇函数函数图象关于原点对称若 f (x)f ( x )总成立f ( x) 为偶函数函数图象关于y轴对称注意如下结论：（ 1）在公共定义域内： 两个奇函数的乘积是偶函数； 两个偶函数的乘积是偶函数； 一个偶函数与奇函数的乘积是奇函数。17. 你熟悉周期函数的定义吗？函数， T 是一个周期。）如：18. 你掌握常用的图象变换了吗？f ( x) 与f ( x) 的图象关于y轴 对称f ( x) 与f ( x)的图象关于 x轴 对称f ( x) 与f (x) 的图象关于 原点 对称f ( x) 与 f1 (x) 的图象关于 直线 yx 对称f ( x) 与f (2ax)的图象关于 直线xa 对称f ( x) 与f (2ax)的图象关于 点 (a， 0)对称将 y f ( x) 图象左移 a( a0) 个单位yf (xa)右移 a( a0) 个单位yf (xa)上移 b( b0)个单位yf (xa)b下移 b( b0)个单位yf (xa)b注意如下“翻折”变换：yy=log 2xO1x19. 你熟练掌握常用函数的图象和性质了吗？（ 1）一次函数： y kxb k0（ 2）反比例函数： ykk0 推广为 ykk0 是中心 O( a， b) 的双曲线。xbxa（3）二次函数 y ax2bxc a0b24ac b2a x4a图象为抛物线2a应用：“三个二次” （二次函数、二次方程、二次不等式）的关系二次方程求闭区间m， n上的最值。求区间定（动） ，对称轴动（定）的最值问题。一元二次方程根的分布问题。0如：二次方程ax2bxc0的两根都大于kbk2af ( k )0由图象记性质！（注意底数的限定！ ）（ 6）“对勾函数” y xkk 0x利用它的单调性求最值与利用均值不等式求最值的区别是什么？20. 你在基本运算上常出现错误吗？log a Mlog a Mlog a N， log a n M1 log a MNn21. 如何解抽象函数问题？（赋值法、结构变换法）（ 2） xR，f ( x) 满足 f (xy )f (x )f ( y) ，证明 f ( x )是偶函数。22. 掌握求函数值域的常用方法了吗？（二次函数法（配方法） ，反函数法，换元法，均值定理法，判别式法，利用函数单调性法，导数法等。 ）如求下列函数的最值：23. 你记得弧度的定义吗？能写出圆心角为，半径为R 的弧长公式和扇形面积公式吗？24. 熟记三角函数的定义，单位圆中三角函数线的定义又如：求函数 y12 cosx 的定义域和值域。2（ 12 cosx） 12 sinx 02 sin x2 ，如图：225. 你能迅速画出正弦、余弦、正切函数的图象吗？并由图象写出单调区间、对称点、对称轴吗？ysin x的增区间为2k， 2k2kZ2减区间为2k， 2k3kZ22图象的对称点为 k， 0 ，对称轴为 xkk Z2ycosx的增区间为2k， 2kkZ减区间为2k， 2 k2kZ图象的对称点为k， 0 ，对称轴为xkkZ2ytan x 的增区间为k， kkZ2226. 正弦型函数 y = Asinx + 的图象和性质要熟记。 或yA cos x（1）振幅 |A |，周期 T2| |若 fx 0A ，则 xx0 为对称轴。若fx 00，则 x 0 ， 0为对称点，反之也对。（ 2 ）五点作图：令x依次为 0， ，3，2，求出 与，依点（ x，y）作22x y图象。（ 3）根据图象求解析式。（求A、 值）解条件组求、值正切型函数 yA tanx，T| |27. 在三角函数中求一个角时要注意两个方面先求出某一个三角函数值，再判定角的范围。28. 在解含有正、余弦函数的问题时，你注意（到）运用函数的有界性了吗？29. 熟练掌握三角函数图象变换了吗？（平移变换、伸缩变换）平移公式：（1）点 P（ x， y）a ( h， k )xxhP （ x ， y ），则yk平移至y（2）曲线 f (x，y)0沿向量 a( h，k )平移后的方程为 f (xh，yk)0如：函数y2 sin 2x1 的图象经过怎样的变换才能得到ysin x 的 图象？430. 熟练掌握同角三角函数关系和诱导公式了吗？“ k”化为的三角函数“奇变，偶不变，符号看象限”，“奇”、“偶”2指 k 取奇、偶数。如： cos 9tan7sin 2146又如：函数ysintan，则 y的值为coscotA. 正值或负值B. 负值C. 非负值D. 正值31. 熟练掌握两角和、差、倍、 降幂公式 及其逆向应用了吗？理解公式之间的联系：应用以上公式对三角函数式化简。（化简要求： 项数最少、 函数种类最少， 分母中不含三角函数，能求值，尽可能求值。）具体方法：（1）角的变换：如，222（ 2）名的变换：化弦或化切（ 3）次数的变换：升、降幂公式（ 4）形的变换：统一函数形式，注意运用代数运算。如：已知 sincos1， tan2 ，求 tan2 的值。1cos23（由已知得： sincoscos，12 sin22sin1tan2tantan21132 tan2tan tan21）1 tan813232. 正、余弦定理的各种表达形式你还记得吗？如何实现边、角转化，而解斜三角形？（应用：已知两边一夹角求第三边；已知三边求角。）aba2R sin A正弦定理：c2R sin Bsin Asin B2Rbsin C2R sin Cc（ 1）求角 C；（ 1）由已知式得： 1cos AB2 cos2 C11（ 2）由正弦定理及a2b21 c 2 得：233. 用反三角函数表示角时要注意角的范围。反正弦： arcsin x， x1，122反余弦： arccosx0，x1，1反正切： arctan x，2， xR234. 不等式的性质有哪些？答案： C35. 利用均值不等式：ab2a2b2，；a b；求最值时，你是否注2ab a b R2 ab ab2意到“ a， bR ”且“等号成立”时的条件，积(ab 或和ab 其中之一为定 值？（一正、)()二定、三相等）注意如下结论：当且仅当 ab时等号成立。如：若 x0， 23x4 的最大值为x当且仅当 3x4 ，又 x0， x2 3 时， y max243）x3（ 2 x22 y2 2 x 2 y2 21 ，最小值为 2 2）36. 不等式证明的基本方法都掌握了吗？（比较法、分析法、综合法、数学归纳法等）并注意简单放缩法的应用。37.解分式不等式f (x)a a 0 的一般步骤是什么？g(x)（移项通分，分子分母因式分解，x 的系数变为1，穿轴法解得结果。 ）38.用“穿轴法”解高次不等式“奇穿，偶切”，从最大根的右上方开始39. 解含有参数的不等式要注意对字母参数的讨论40. 对含有两个绝对值的不等式如何去解？（找零点，分段讨论，去掉绝对值符号，最后取各段的并集。）例如：解不等式 |x3| x111（解集为x|x）41. 会用不等式 |a| |b| |ab| | a| | b|证明较简单的不等问题如：设 f (x )x2x13，实数 a满足 | xa|1证明：（按不等号方向放缩）42. 不等式恒成立问题，常用的处理方式是什么？（可转化为最值问题，或“”问题）如： af (x )恒成立af ( x) 的最小值af ( x) 恒成立af ( x) 的最大值af ( x) 能成立af ( x) 的最小值例如：对于一切实数 x，若 x3x2a恒成立，则 a的取值范围是（设 ux3x2 ，它表示数轴上到两定点2和 3距离之和43. 等差数列的定义与性质定义： an 1a nd ( d为常数 )， a na1n1 d等差中项： x， A ， y成等差数列2Axy前 n项和 Sna1annn n1d2na12性质： a n是等差数列（ 2 ）数列a2 n 1 ， a 2 n ， ka nb 仍为等差数列；（ 3）若三个数成等差数列，可设为ad， a， ad；（ 4）若 a n ， bn 是等差数列 Sn ， Tn 为前 n项和，则 a mS2 m 1；b mT2 m 1（ 5） a n 为等差数列S n an2bn（ a， b为常数，是关于n的常数项为0 的二次函数）Sn 的最值可求二次函数Snan2bn的最值；或者求出an 中的正、负分界项，即：当a10，d0，解不等式组an0 可得 Sn 达到最大值时的 n值。an 10当 a10， d，由 a n0 可得Sn达到最小值时的值。00na n 1如：等差数列an ， Sn18， anan 1 a n 2 3， S31，则 n44. 等比数列的定义与性质等比中项： x、G、y成等比数列G 2xy，或 Gxyna1 (q1)前 n项和： Sna1 1q n（要注意 ! ）(q1)1q性质：a n 是等比数列（ 2） Sn ， S2 nSn ， S3 nS2 n 仍为等比数列45.由 Sn 求 an 时应注意什么？（ n1时， a1S1， n2时， a nSnSn 1）46. 你熟悉求数列通项公式的常用方法吗？例如：（ 1）求差（商）法如： an 满足 1 a112a21n an2n 51222解：n 2时， 1a11a21an 12n 1 5222 22n 1练习数列 an 满足 SnSn 15 an 1 ，a14，求 an3（注意到 an 1 Sn 1 Sn 代入得：Sn 14Sn又 S1 4 ， Sn是等比数列，Sn4nn 2时， an SnSn 13 4 n 1（ 2）叠乘法例如：数列 an 中， a13， an1n ，求 anann1解：（ 3）等差型递推公式由anan 1f (n) ，a1a0 ，求 an ，用迭加法n2时， a 2a1f (2 )a 3a2f (3)两边相加，得： anan 1f ( n)练习数列 an ， a11，a n3n 1a n 1n2 ，求 an（ 4）等比型递推公式anca n 1d c、 d为常数，c0， c1， d0可转化为等比数列，设anxc an 1x and是首项为d， 为公比的等比数列1a1ccc1练习数列 an满足 a19 ， 3an 1a n 4，求 ann 1（an 841）3（ 5）倒数法例如： a11， an 12an，求 ana n 2由已知得：1an 211an 12an2an1为等差数列，1，公差为 1ana11247. 你熟悉求数列前 n 项和的常用方法吗？例如：（ 1）裂项法： 把数列各项拆成两项或多项之和，使之出现成对互为相反数的项。andn1k1 ak ak1解：练习11111 2 31 21 2 3n（ 2）错位相减法：若a n 为等差数列，b n 为等比数列，求数列a n b n （差比数列）前n项和，可由 S nqSn 求 S n ，其中 q为 b n 的公比。（ 3）倒序相加法：把数列的各项顺序倒写，再与原来顺序的数列相加。Sna1a2a n 1an 相加Sna nan 1a2a1练习21（由 f (x)f1x 2xx211x1 x2121 x 21 x21x原式f (1)f (2) f 1f ( 3)f 1f (4) f 123448. 你知道储蓄、贷款问题吗？零存整取储蓄（单利）本利和计算模型：若每期存入本金 p 元，每期利率为 r， n 期后，本利和为：若按复利，如贷款问题按揭贷款的每期还款计算模型（按揭贷款分期等额归还本息的借款种类）若贷款（向银行借款）p 元，采用分期等额还款方式，从借款日算起，一期（如一年）后为第一次还款日，如此下去，第n 次还清。如果每期利率为r（按复利），那么每期应还x 元，满足p贷款数，r利率， n还款期数49. 解排列、组合问题的依据是：分类相加，分步相乘，有序排列，无序组合。（mi 为各类办法中的方法数）分步计数原理：Nm1 m2mn（ mi 为各步骤中的方法数）（ 2）排列：从n 个不同元素中，任取m（ m n）个元素，按照一定的顺序 排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列，所有排列的个数记为A mn .（ 3）组合：从n 个不同元素中任取m（ m n）个元素并组成一组，叫做从n 个不规定： C 0n1（ 4）组合数性质：50. 解排列与组合问题的规律是：相邻问题捆绑法；相间隔问题插空法；定位问题优先法；多元问题分类法；至多至少问题间接法；相同元素分组可采用隔板法，数量不大时可以逐一排出结果。如：学号为1， 2， 3， 4 的四名学生的考试成绩则这四位同学考试成绩的所有可能情况是（）A. 24B. 15C. 12D. 10解析：可分成两类：（1）中间两个分数不相等，（ 2）中间两个分数相等相同两数分别取90， 91，92，对应的排列可以数出来，分别有3， 4， 3 种，有10种。共有 5 1015（种）情况51. 二项式定理C nr 为二项式系数（区别于该项的系数）性质：（ 1）对称性： CnrCnn rr0， 1， 2， ， n（ 2）系数和： Cn0C1nC nn2n（ 3）最值： n 为偶数时， n 1 为奇数，中间一项的二项式系数最大且为第nn1 项，二项式系数为Cn2 ；n为奇数时， (n1) 为偶数，中间两项的二项式2n 1n 1系数最大即第n1 项及第 n 1 1项，其二项式系数为 C n2C n 222如：在二项式11（用数字 表示）x 1 的展开式中，系数最小的项系数为共有 12项，中间两项系数的绝对值最大，且为第12或第 7项62由C11rx11 r ( 1)r ，取 r5即第 6项系数为负值为最小：又如： 12004a0a1 xa2 x2a 2004 x 2004 xR ，则2 xa0 a1a0a2a0a3a0a2004令 x 1，得： a0 a2a2004 1原式2003a0a0a1a20042003112004）52. 你对随机事件之间的关系熟悉吗？（1）必然事件，P)1，不可能事件， P( )0（2 ）包含关系： AB ，“ A 发生必导致 B发生”称 B包含 A。A B（ 3）事件的和（并）： A B或 A B“ A与 B至少有一个发生”叫做 A与 B 的 和（并）。（ 4 ）事件的积（交）：A B 或AB“ A与 B同时发生”叫做A 与 B的积。（ 5）互斥事件（互不相容事件）：“ A 与 B 不能同时发生”叫做A 、 B 互斥。（ 6）对立事件（互逆事件）：“A 不发生”叫做 A 发生的对立（逆）事件，AAA， AA（ 7）独立事件： A 发生与否对 B 发生的概率没有影响，这样的两个事件叫做相互独立事件。A 与B独立， A与 B，A与B，A与 B也相互独立。53. 对某一事件概率的求法：分清所求的是： （ 1）等可能事件的概率（常采用排列组合的方法，即P(A )A 包含的等可能结果m一次试验的等可能结果的总数n（ 2）若 A 、B互斥，则 P A B P(A ) P(B)（3）若 A、B相互独立，则 P A BPA PB（ 4）P(A ) 1 P(A )（ 5）如果在一次试验中A 发生的概率是p，那么在n 次独立重复试验中A 恰好发生如：设 10 件产品中有4 件次品， 6 件正品，求下列事件的概率。（ 1）从中任取2 件都是次品；（ 2）从中任取5 件恰有 2 件次品；（ 3）从中有放回地任取3 件至少有2 件次品；解析： 有放回地抽取3 次（每次抽1 件）， n 103而至少有 2 件次品为“恰有2 次品”和“三件都是次品”C32 42 6 4344P3312510（ 4）从中依次取 5 件恰有 2 件次品。解析： 一件一件抽取（有顺序）分清（ 1）、（ 2）是组合问题， （ 3）是可重复排列问题， （4）是无重复排列问题。54. 抽样方法主要有：简单随机抽样（抽签法、随机数表法）常常用于总体个数较少时，它的特征是从总体中逐个抽取；系统抽样，常用于总体个数较多时，它的主要特征是均衡成若干部分，每部分只取一个；分层抽样，主要特征是分层按比例抽样，主要用于总体中有明显差异，它们的共同特征是每个个体被抽到的概率相等，体现了抽样的客观性和平等性。55. 对总体分布的估计用样本的频率作为总体的概率，用样本的期望（平均值）和方差去估计总体的期望和方差。要熟悉样本频率直方图的作法：（ 2）决定组距和组数；（ 3）决定分点；（ 4）列频率分布表；（ 5）画频率直方图。频率其中，频率小长方形的面积组距组距样本平均值： x1 x1x 2x nn样本方差： S21x12x 222xxx n xn如：从 10 名女生与5 名男生中选6 名学生参加比赛， 如果按性别分层随机抽样，则组成此参赛队的概率为_ 。56. 你对向量的有关概念清楚吗？（ 1）向量既有大小又有方向的量。（ 2 ）向量的模有向线段的长度，|a|（3）单位向量 |a 0|a1， a 0|a|（4）零向量 0， 00|（ ）相等的向量长度相等a b5方向相同在此规定下向量可以在平面（或空间）平行移动而不改变。（ 6）并线向量（平行向量）方向相同或相反的向量。规定零向量与任意向量平行。b a (b0 )存在唯一实数，使 ba（ 7）向量的加、减法如图：（ 8）平面向量基本定理（向量的分解定理）的一组基底。（ 9）向量的坐标表示i ， j 是一对互相垂直的单位向量，则有且只有一对实数x， y，使得ax iy j ，称 ( x，y )为向量 a 的坐标，记作：ax ，y ，即为向量的坐标表示。57. 平面向量的数量积（1） a b|a| b|cos 叫做向量 a 与 b 的数量积（或内积）。数量积的几何意义：a b 等于 | a| 与 b 在 a 的方向上的射影 | b|cos 的乘积。（ 2）数量积的运算法则注意：数量积不满足结合律( a b) ca (b c)（ 3）重要性质：设ax 1， y1 ， bx 2 ， y 2 a ba b| a|b|或 a b|a|b|ab （ b0， 惟一确定）练习（1）已知正方形 ABCD ，边长为 1， ABa ， BCb ， ACc ，则答案：（ 2）若向量 ax，1 ， b4， x ，当 x时 a 与 b 共线且方向相同答案： 2（ 3）已知 a 、 b 均为单位向量，它们的夹角为60o ，那么 |a3b|答案：58. 线段的定比分点设P1 x 1 ， y1 ，P2 x2 ，y 2 ，分点 P x，y ，设 P1、P2 是直线 l 上两点， P点在l 上且不同于 P1、P2 ，若存在一实数，使 P1PPP2 ，则叫做 P分有向线段P1 P2 所成的比（0，P在线段 P1 P2 内，0，P在 P1 P2 外），且如： ABC，A x1 ，y1 ，B x2 ，y2 ，C x3 ，y3则 ABC 重心 G的坐标是x1 x 2 x 3 ， y1y2 y 333 . 你能分清三角形的重心、垂心、外心、内心及其性质吗？59. 立体几何中平行、垂直关系证明的思路清楚吗？平行垂直的证明主要利用线面关系的转化：线线线面面面判定线线线面面面性质线线线面面面线面平行的判定：ab， b面 ， aa面ab线面平行的性质：三垂线定理（及逆定理）：PA面， AO 为PO在内射影， a面，则线面垂直：面面垂直：a面， a面面面，l，a， a laa面， b面ab面a，面 a60. 三类角的定义及求法（ 1）异面直线所成的角， 0 90（ 2）直线与平面所成的角，0 90（ 3）二面角：二面角l的平面角， 0o180o（三垂线定理法：A作或证AB 于 B，作 BO棱于 O，连 AO ，则 AO 棱 l， AOB 为所求。）三类角的求法：找出或作出有关的角。证明其符合定义，并指出所求作的角。计算大小（解直角三角形，或用余弦定理）。练习（ 1）如图， OA 为的斜线OB 为其在内射影，OC 为内过O 点任一直线。（ 为线面成角，AOC =， BOC =）（ 2）如图，正四棱柱 ABCD A 1B1C1D 1 中对角线 BD 1 8， BD 1 与侧面 B1BCC1 所成的为 30。求 BD 1 和底面 ABCD 所成的角；求异面直线 BD 1 和 AD 所成的角；求二面角 C1 BD 1 B 1 的大小。（ 3）如图ABCD为菱形， DAB 60， PD面 ABCD ，且 PD AD ，求面PAB与面 PCD 所成的锐二面角的大小。（ AB DC，P 为面 PAB 与面 PCD 的公共点，作 PF AB ，则 PF 为面 PCD 与面 PAB的交线 ）61. 空间有几种距离？如何求距离？点与点，点与线，点与面，线与线，线与面，面与面间距离。将空间距离转化为两点的距离，构造三角形，解三角形求线段的长（如：三垂线定理法，或者用等积转化法）。如：正方形ABCD A 1B 1C1D1 中，棱长为a，则：（ 1）点 C 到面 AB 1C1 的距离为 _；（ 2）点 B 到面 ACB 1 的距离为 _ ；（ 3）直线 A 1D 1 到面 AB 1C1 的距离为 _；（ 4）面 AB 1C 与面 A 1DC1 的距离为 _；（ 5）点 B 到直线 A1 C1 的距离为 _。62. 你是否准确理解正棱柱、正棱锥的定义并掌握它们的性质？正棱柱底面为正多边形的直棱柱正棱锥底面是正多边形，顶点在底面的射影是底面的中心。正棱锥的计算集中在四个直角三角形中：RtSOB， RtSOE， RtBOE和 RtSBE它们各包含哪些元素？S正棱锥侧1 C h （ C底面周长， h 为斜高）2V锥1 底面积高363. 球有哪些性质？（1）球心和截面圆心的连线垂直于截面rR 2d 2（ 2）球面上两点的距离是经过这两点的大圆的劣弧长。为此，要找球心角！（ 3）如图，为纬度角，它是线面成角；为经度角，它是面面成角。（4）S球4 R2，V球4 R 33（ 5）球内接长方体的对角线是球的直径。正四面体的外接球半径R 与内切球半径 r之比为 R： r 3： 1。如：一正四面体的棱长均为2 ，四个顶点都在同一球面上，则此球的表面积 为（ ）A . 3B. 4C. 33D. 6答案： A64. 熟记下列公式了吗？（1） l 直线的倾斜角0， ktany2y 1，x 1 x 2x2x 12P1 x 1 ， y1， P2 x 2 ， y 2是 l 上两点，直线 l 的方向向量a 1， k（ 2）直线方程：点斜式： yy 0k xx 0（ k存在）斜截式： ykxb