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（1 1） 从运算从运算(yn sun)(yn sun)与逆与逆运算运算(yn sun)(yn sun)看看 初等数学中加法与减法、乘法与除法、初等数学中加法与减法、乘法与除法、乘方乘方(chngfng)与开方、指数与对数等，都是互逆的与开方、指数与对数等，都是互逆的运算。运算。 微分微分(wi fn)是一种运算：求一个函数的导函数。是一种运算：求一个函数的导函数。微分微分(wi fn)运算的逆运算是什么？运算的逆运算是什么？问题：问题：一、原函数的概念一、原函数的概念第1页/共50页第一页，共51页。（2 2） 从物理从物理(wl)(wl)问问题看题看第2页/共50页第二页，共51页。（3 3） 从几何从几何(j h)(j h)问问题看题看第3页/共50页第三页，共51页。定义定义(dngy) 原函数的定义原函数的定义(dngy)(dngy)第4页/共50页第四页，共51页。例例第5页/共50页第五页，共51页。第6页/共50页第六页，共51页。 什么样的函数存在原函数呢？ 原函数是不是只有(zhyu)一个呢？第7页/共50页第七页，共51页。原函数存在原函数存在(cnzi)(cnzi)定理：定理：简言之：连续函数一定简言之：连续函数一定(ydng)(ydng)有原有原函数函数. .问题问题(wnt)(wnt)：(1) (1) 原函数是否原函数是否唯一唯一？(2) (2) 若不唯一它们之间若不唯一它们之间有什么联系有什么联系？第8页/共50页第八页，共51页。例例 1. sincosxx 12. ln xx （ 为任意为任意(rny)(rny)常数）常数）第9页/共50页第九页，共51页。关于关于(guny)原函数原函数的说明：的说明：（1 1）若）若 ，则对于任意常数，则对于任意常数 )()(xfxF C（2 2）若）若 和和 都是都是 的原函数，的原函数，)(xF)(xG)(xf则则（ 为任意常数）为任意常数）证证（ 为任意常数）为任意常数）同一函数的原函数不仅不唯一同一函数的原函数不仅不唯一(wi y)，而且有无穷多个。，而且有无穷多个。第10页/共50页第十页，共51页。问题问题(wnt(wnt)： 如何表示如何表示(biosh)(biosh)这种求原函数这种求原函数的运算？的运算？即如何表示即如何表示(biosh) (biosh) ？ 注：注：求函数求函数 f（x）的原函数，的原函数，实质上就是实质上就是(jish)问它是由什么函数求导得来的，问它是由什么函数求导得来的，而若求得而若求得f（x）得一个原函数得一个原函数F（x），其全体），其全体原函数应为原函数应为第11页/共50页第十一页，共51页。二、不定积分二、不定积分(b dn j fn)的定义：的定义：定义定义(dngy)第12页/共50页第十二页，共51页。任意常数任意常数积分号积分号被积函数被积函数被积表达式被积表达式积分变量积分变量原函数原函数不不定定积积分分(b(b ddn n j j ffn)n)不定积分不定积分(b dn j fn)(b dn j fn)和和原函数的关系：原函数的关系：不定积分不定积分(b dn j fn)=(b dn j fn)=原函原函数数+ +任意常数任意常数原函数是不定积分其中之一。原函数是不定积分其中之一。第13页/共50页第十三页，共51页。 的原函数的图形的原函数的图形(txng)(txng)称为称为 的的积分曲线。积分曲线。三、不三、不 定定 积积 分分 的的 几几 何何 意意 义义第14页/共50页第十四页，共51页。例例1 1 求求解解解解例例2 2 求求.112 dxx例例不定积分不定积分= =原函数原函数+ +任意任意(rny)(rny)常常数数第15页/共50页第十五页，共51页。例例不定积分不定积分(b dn j fn)=(b dn j fn)=原函数原函数+ +任意常数任意常数第16页/共50页第十六页，共51页。例例3 3 求积分求积分(jfn)(jfn)解解xdx 第17页/共50页第十七页，共51页。 例4 设曲线通过点(1，2)，且其上任(shng rn)一点处的切线斜率等于这点横坐标的两倍，求此曲线的方程 解解 设所求的曲线设所求的曲线(qxin)(qxin)方程为方程为y yf(x)f(x)，所以所以(suy)曲线方程为曲线方程为yx 2C因所求曲线通过点因所求曲线通过点(1(1，2)2)，故，故2 1 C， C 1于是所求曲线方程为于是所求曲线方程为y x 2 1按题设按题设已知切线如何求函数的曲线？已知切线如何求函数的曲线？yxo)2, 1 (因为因为2x dx x 2C ，第18页/共50页第十八页，共51页。l不定积分不定积分(b dn j fn)的求法：的求法：利用回忆微分法利用回忆微分法和函数的求导公式和函数的求导公式(gngsh)求不定积分求不定积分第19页/共50页第十九页，共51页。实例实例(shl)四、基四、基 本本 积积 分分 公公 式式逆逆运运算算第20页/共50页第二十页，共51页。启示启示(qsh(qsh)能否能否(nn fu)(nn fu)根据求导公式得出积根据求导公式得出积分公式？分公式？结论结论(jil(jiln)n)既然积分运算和微分运算是既然积分运算和微分运算是互逆互逆的，因此的，因此可以根据求导公式得出积分公式可以根据求导公式得出积分公式. .积分积分回忆微分回忆微分第21页/共50页第二十一页，共51页。见书见书145-146145-146页页基基本本(j(jbbn)n)积积分分表表第22页/共50页第二十二页，共51页。基基本本(j(jbbn)n)积积分分表表第23页/共50页第二十三页，共51页。基基本本(j(jbbn)n)积积分分表表第24页/共50页第二十四页，共51页。l利用利用(lyng)积分基本公式求不定积分积分基本公式求不定积分例例5 5 求积分求积分(jfn)(jfn)解解根据积分根据积分(jfn)(jfn)公式（公式（3 3）第25页/共50页第二十五页，共51页。五、五、 不不 定定 积积 分分 的的 性性 质质第26页/共50页第二十六页，共51页。（此性质可推广（此性质可推广(tugung)到有限多个函数之和到有限多个函数之和的情况）的情况）不定积分不定积分(b dn j fn)(b dn j fn)的线性性质的线性性质性性质质四四：第27页/共50页第二十七页，共51页。 例例6 6 x(x2-5)dx (25x -521x )dx例例7 7 23) 1(xx -dx 第28页/共50页第二十八页，共51页。e x -3sin x C 例例8 8(e x -3cos x)dx 例例9 92x ex dx 例例1010 241xxdx第29页/共50页第二十九页，共51页。 tan x - x C - 4cot x C 例例 11 11 tan 2 x dx (sec 2x-1)dx例例12 12 sin 22x dx 21(1-cos x)dx例例13 13 2cos2sin122xxdx 22sin1xdx第30页/共50页第三十页，共51页。例例14.14. 求求解解: 原式原式 说明：说明：1 1分项积分后，我们只写一个分项积分后，我们只写一个C C 2. 2. 检验结果是否正确检验结果是否正确(zhngqu)(zhngqu)，只要将结果，只要将结果求求 导，看它的导数是否等于被积函数。导，看它的导数是否等于被积函数。 第31页/共50页第三十一页，共51页。例例15 15 求积分求积分(jfn)(jfn)解解例例16 16 求积分求积分(jfn)(jfn)解解第32页/共50页第三十二页，共51页。例例17 17 求积分求积分(jfn)(jfn)解：解：第33页/共50页第三十三页，共51页。例例18 18 求积分求积分(jfn)(jfn)解解说明说明(shum(shumng)ng)：以上几例中的被积函数都需要进行以上几例中的被积函数都需要进行恒等变形，才能使用恒等变形，才能使用(shyng)(shyng)基本基本积分表积分表. .第34页/共50页第三十四页，共51页。练练 习习第35页/共50页第三十五页，共51页。答答 案案第36页/共50页第三十六页，共51页。第37页/共50页第三十七页，共51页。练练 习习第38页/共50页第三十八页，共51页。答答 案案第39页/共50页第三十九页，共51页。答答 案案第40页/共50页第四十页，共51页。练练 习习第41页/共50页第四十一页，共51页。答答 案案第42页/共50页第四十二页，共51页。答答 案案第43页/共50页第四十三页，共51页。思思 考考 题题符号符号(fho)(fho)函数函数在在 内是否内是否(sh fu)(sh fu)存在原函数？为什么？存在原函数？为什么？第44页/共50页第四十四页，共51页。思思 考考 题题 解解 答答不存在不存在(cnzi).(cnzi).假设有原函数假设有原函数)(xF故假设故假设(jish)(jish)错误错误所以所以 在在 内不存在原函数内不存在原函数. .)(xf结论结论(ji(jiln)ln)每一个含有第一类间断点的函数都没每一个含有第一类间断点的函数都没有原函数有原函数. .第45页/共50页第四十五页，共51页。内 容 小 结1. 不定积分不定积分(b dn j fn)的概念的概念 原函数与不定积分原函数与不定积分(b dn j fn)的定义的定义 不定积分不定积分(b dn j fn)的性质的性质 基本积分表基本积分表 2. 直接积分法直接积分法:利用恒等变形利用恒等变形, 及及 基本积分公式进行积分基本积分公式进行积分 .常用恒等变形方法常用恒等变形方法分项积分分项积分加项减项加项减项利用三角公式利用三角公式 , 代数公式代数公式 ,积分性质积分性质第46页/共50页第四十六页，共51页。 对于规则的图形（正方形、矩形、圆等）对于规则的图形（正方形、矩形、圆等） 的面积及规则形状（正方体、圆柱的面积及规则形状（正方体、圆柱(yunzh)(yunzh)、圆锥、圆锥 等）的体积，这些问题我们在中学已经学等）的体积，这些问题我们在中学已经学 过。通过对积分的学习，我们就可以求不过。通过对积分的学习，我们就可以求不 规则图形的面积、不规则物体的体积。规则图形的面积、不规则物体的体积。第47页/共50页第四十七页，共51页。xf(x)abx.111111111. 曲边梯形曲边梯形(txng)： y=f(x)，x=a,x=b,y=0 绕绕 x 轴旋转轴旋转V =求旋转体体积(tj)第48页/共50页第四十八页，共51页。例例不定积分不定积分= =原函数原函数+ +任意任意(rny)(rny)常数常数第49页/共50页第四十九页，共51页。感谢您的欣赏(xnshng)！第50页/共50页第五十页，共51页。NoImage内容(nirng)总结（1） 从运算与逆运算看。初等数学中加法(jif)与减法、乘法与除法、。乘方与开方、指数与对数等，都是互逆的运算。微分是一种运算：求一个函数的导函数。第1页/共50页。（ 为任意常数）。而若求得f（x）得一个原函数F（x），其全体。例4 设曲线通过点(1，2)，且其上任一点处的。切线斜率等于这点横坐标的两倍，求此曲线的方程。解 设所求的曲线方程为yf(x)，。因所求曲线通过点(1，2)，故。21C， C1第五十一页，共51页。
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