任意三角形外接圆半径、内切圆半径的求法及通用公式

.一、任意三角形外接圆半径设三角形各边边长分别为a,b,c外接圆半径为R，（如右图所示）222R则 cos()abccoscossinsincb2ab（余弦定理）bb2bR2而 cos2， sin4aRR2RaR2a 22a4cos， sinRR2Ra2b2c22 b 22a2即有：b aR4R42ab2R 2RRR即有： a2b 2c2ab(4R 2b 2 )(4R2a2 )ab2R2所以： ab2R 2 ( a 2b2c 2 )(4R 2b 2 )(4R2a2 )ab即有： ( ab)24R 2 ( a 2b2c 2 )4R 4 ( a 2b2c2) 216R 44(a 2b 2 )R 2a 2b 2ab所以： c 2R24(a 2b2c2 )2 ，即： a 2b2 c2R2 4a 2 b 2( a2b2c 2 ) 2 ab所以： Rabc(a b c)( a b c)(a c b)(b c a)而三角形面积：4S( abc)(abc)( acb)(b ca) （海伦公式）所以，有：Rabc4S 另一求法，可用正弦定理，即：所以：ab 2c 2a 2sin A2R，而 cos A2bcaaaabcR2b 2222 222222 sin A(cos A)2 12 1 (ca ) 24b c(bca )2bc.二、任意三角形内切圆的半径设三角形各边边长分别为a,b,cyy内切圆半径为r，（如右图所示）cRb因为内切圆的圆心为各角的角平分线的交点，所以，会有zrxxzaabcxyb ，解得 x2zaxyzc显然： rx tan，而 tansin 21(cos2) 21cos21cos2而由余弦定理有：cos2a 2b2c 22aba 2b 2c 224(ab) 2(a2b2c 2 )2所以： tan1(2ab)1a 222(abc)(a bc)bc2ab即有 : rab c4(ab) 2(a 2b2c 2 ) 24(ab) 2(a2b2c2 ) 22(abc)(abc)2(abc)即： r(abc)(ab c)(acb)(bca)4S2S2(abc)2(abc)a b c