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第2章 圆锥曲线与方程知识网络 整体构建要点归纳 主干梳理方法总结 思想构建栏目索引返回 知识网络 整体构建 要点归纳 主干梳理1.能够熟练使用直接法、待定系数法、定义法求椭圆方程；能够利用“坐标法”研究椭圆的基本性质；能够利用数形结合思想、分类讨论思想、参数法解决椭圆中的有关问题.2.能够根据所给的几何条件熟练地求出双曲线方程，并能灵活运用双曲线定义、参数间的关系，解决相关问题；准确理解参数a、b、c、e的关系、渐近线及其几何意义，并灵活运用.3.会根据方程形式或焦点位置判断抛物线的标准方程的类型；会根据抛物线的标准方程确定其几何性质，以及会由几何性质确定抛物线的方程.了解抛物线的一些实际应用.返回 方法总结 思想构建1.数形结合思想“数形结合”指的是在处理数学问题时，能够将抽象的数学语言与直观的几何图形有机结合起来思索，促使抽象思维和形象思维的和谐结合，通过对规范图形或示意图形的观察分析，化抽象为直观，化直观为精确，从而使问题得到解决.判断直线与圆锥曲线的位置关系、求最值等问题，可以结合图形，运用数形结合思想，化抽象为具体，使问题变得简单.解析答案例1双曲线 1(a0，b0)的左，右焦点分别为F1，F2，若P为双曲线上一点，且PF12PF2，则双曲线离心率的取值范围为_.解析如图所示，由PF12PF2知P在双曲线的右支上，则PF1PF22a，又PF12PF2，PF14a，PF22a，0F1PF2，且当点P是双曲线的顶点时，F1PF2，1cosF1PF20)上有A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)三点，F是它的焦点，若AF，BF，CF成等差数列，则下列说法正确的是_.(填序号)x1，x2，x3成等差数列y1，y2，y3成等差数列x1，x3，x2成等差数列y1，y3，y2成等差数列解析如图，过A，B，C分别作准线的垂线，垂足分别为A，B，C，由抛物线定义知：AFAA，BFBB，CFCC.2BFAFCF，2BBAACC.答案2.分类讨论思想分类讨论思想是指当所给的对象不能进行统一研究时，我们就需要对研究的对象进行分类，然后对每一类进行研究，得出每一类的结论，最后综合各类的结果得到整个问题的结果.如曲线方程中含有的参数的取值范围不同，对应的曲线也不同，这时要讨论字母的取值范围，有时焦点位置也要讨论，直线的斜率是否存在也需要讨论.解析答案c2a2b2，解析答案跟踪训练2求适合下列条件的椭圆的标准方程.(1)椭圆的长轴长是短轴长的2倍，且过点P(2，6)；由已知得a2b.由得a2148，b237或a252，b213.解析答案解当焦点在x轴上时，椭圆过点P(3,0)，a3.b2a2c23.当焦点在y轴上时，椭圆过点P(3,0)，b3.3.函数与方程思想圆锥曲线中的许多问题，若能运用函数与方程的思想去分析，则往往能较快地找到解题的突破口.用函数思想解决圆锥曲线中的有关定值、最值问题，最值问题是高中数学中常见的问题，在圆锥曲线问题中也不例外，而函数思想是解决最值问题最有利的武器.我们通常可用建立目标函数的方法解有关圆锥曲线的最值问题.方程思想是从分析问题的数量关系入手，通过联想与类比，将问题中的条件转化为方程或方程组，然后通过解方程或方程组使问题获解，方程思想是高中数学中最基本、最重要的思想方法之一，在高考中占有非常重要的地位.在求圆锥曲线方程、直线与圆锥曲线的位置关系的问题中经常利用方程或方程组来解决.解析答案解方法一设A(x1，y1)，B(x2，y2)，代入椭圆方程并作差，得a(x1x2)(x1x2)b(y1y2)(y1y2)0.直线xy10的斜率k1.|x2x1|2.联立ax2by21与xy10可得(ab)x22bxb10.解析答案且由已知得x1，x2是方程(ab)x22bxb10的两根，解析答案解析答案得(ab)x22bxb10.且直线AB的斜率k1，解析答案34.转化与化归思想将所研究的对象在一定条件下转化并归结为另一种研究对象的思想方法称之为转化与化归思想.一般将有待解决的问题进行转化，使之成为大家熟悉的或容易解决的问题模式.转化与化归思想在圆锥曲线中经常应用，如把直线与圆锥曲线的位置关系问题转化为方程组的解的个数问题，把求参数的取值范围问题转化为解不等式(组)问题，把陌生的问题转化为熟悉的问题，需要注意转化的等价性.解析答案例4已知点A(4，2)，F为抛物线y28x的焦点，点M在抛物线上移动，当MAMF取最小值时，点M的坐标为_.解析过点M作准线l的垂线，垂足为E，由抛物线定义知MFME.当点M在抛物线上移动时，MFMA的值在变化，显然M移到M，AMOx时，A，M，E共线，此时MEMA最小，解析答案(1)求点Q(x，y)的轨迹C的方程；解析答案(2)设曲线C与直线ykxm相交于不同的两点M、N，又点A(0，1)，当AMAN时，求实数m的取值范围.解析答案由于直线与椭圆有两个不同的交点，0，即m2m2，解得0m2，()当k0时，AMAN，APMN，m23k21即为m21，解得1m1.当k0时，m的取值范围是(1,1).课堂小结1.圆锥曲线的定义是圆锥曲线问题的根本，利用圆锥曲线的定义解题是考查圆锥曲线的一个重要命题点.2.圆锥曲线的标准方程是用代数方法研究圆锥曲线的几何性质的基础，对圆锥曲线标准方程的考查方式有两种：一是在解答题中作为试题的入口进行考查；二是在填空题中结合圆锥曲线的简单几何性质进行考查.3.虽然考纲中没有直接要求关于直线与圆锥曲线相结合的知识，但直线与圆锥曲线是密不可分的，如双曲线的渐近线、抛物线的准线，圆锥曲线的对称轴等都是直线.考试不但不回避直线与圆锥曲线，而且在试题中进行重点考查，考查方式既可以是填空题，也可以是解答题.返回4.对圆锥曲线的考查是综合性的，这种综合性体现在圆锥曲线、直线、圆、平面向量、不等式等知识的相互交汇，对圆锥曲线的综合考查主要是在解答题中进行，一般以椭圆或者抛物线为依托，全面考查圆锥曲线与方程的求法、直线与圆锥曲线的位置关系，考查函数、方程、不等式、平面向量等在解决问题中的综合运用.
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