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continue若在某区间(q jin)上每一点都连续 , 则称它在该区间(q jin)上连续(linx) , 或称它为该区间上的连续函数 .例如,在上连续 .( 有理整函数 )又如, 有理分式函数在其定义域内连续.在闭区间上的连续函数的集合记作只要都有第1页/共45页第一页，共46页。对自变量的增量对自变量的增量(zn lin)有函数(hnsh)的增量xOy0 xxxy左连续(linx)右连续当时, 有函数在点连续有下列等价命题: 第2页/共45页第二页，共46页。例例. 证明证明(zhngmng)函函数数在内连续(linx) .证: 即这说明(shumng)xysin在),(内连续 .同样可证: 函数在),(内连续 .第3页/共45页第三页，共46页。在在二、二、 函数函数(hnsh)的间断点的间断点(1) 函数(hnsh)(xf(2) 函数(hnsh)(xf0 x不存在;(3) 函数)(xf0 x)(lim0 xfxx存在 ,但不连续 :0 x设0 x在点)(xf的某去心邻域内有定义 ,则下列情形这样的点0 x之一, 函数 f (x) 在点虽有定义 , 但虽有定义 , 且称为间断点 . 在无定义 ;第4页/共45页第四页，共46页。间断间断(jindun)(jindun)点分类点分类: :第一类间断(jindun)点:及均存在(cnzi) ,若称0 x若称0 x第二类间断点:及)(0 xf中至少一个不存在 ,称0 x若其中有一个为振荡,称0 x若其中有一个为为可去间断点 .为跳跃间断点 .为无穷间断点 .为振荡间断点 .第5页/共45页第五页，共46页。为其无穷(wqing)间断点 .为其振荡(zhndng)间断点 .为可去间断(jindun)点 .例如例如:xytan2xyOxyxy1sinOxy1O第6页/共45页第六页，共46页。1显然(xinrn)为其可去间断(jindun)点 .(4)xOy211(5) 0,10,00,1)(xxxxxxfyxyO11为其跳跃(tioyu)间断点 .第7页/共45页第七页，共46页。P65 题题*8 提示提示(tsh): 作业(zuy) P65 4 ; 5 xyO第8页/共45页第八页，共46页。一、连续函数的运算(yn sun)法则 第九节第九节二、初等(chdng)函数的连续性 连续函数的运算(yn sun)与初等函数的连续性 第一章 第9页/共45页第九页，共46页。定理2. 连续(linx)单调递增函数的反函数也连续(linx)单调递增. 在其定义域内连续(linx)一、连续函数的运算一、连续函数的运算(yn sun)法则法则定理1. 在某点连续的有限个函数经有限次和 , 差 , 积 ,( 利用极限的四则运算法则证明)商(分母不为 0) 运算,结果仍是一个在该点连续的函数 .例如,例如,在上连续单调递增，其反函数(递减)(证明略)在1, 1上也连续单调(递减)11xOy22递增.第10页/共45页第十页，共46页。定理定理3. 连续函数连续函数(hnsh)的复合函数的复合函数(hnsh)是连续的是连续的.分析(fnx): 设函数于是(ysh)故复合函数且即第11页/共45页第十一页，共46页。例如例如(lr),是由连续函数链因此(ync)xy1sin在*Rx上连续(linx) .复合而成 ,xyO第12页/共45页第十二页，共46页。例例1 .设均在上连续(linx),证明(zhngmng)函数也在,ba上连续(linx).证:根据连续函数运算法则 ,可知也在,ba上连续 .第13页/共45页第十三页，共46页。二、初等二、初等(chdng)函数的连续性函数的连续性基本初等函数在定义(dngy)区间内连续连续函数经四则运算(s z yn sun)仍连续连续函数的复合函数连续一切初等函数在定义区间内连续例如,的连续区间为(端点为单侧连续)的连续区间为的定义域为因此它无连续点而第14页/共45页第十四页，共46页。例例2. 求求解:原式例3. 求解: 令则原式说明(shumng): 由此可见当时, 有x第15页/共45页第十五页，共46页。例例4. 求求解:原式elim0 x说明(shumng): 若则有第16页/共45页第十六页，共46页。练习练习(linx). 设设解:讨论复合(fh)函数的连续性 .故此时(c sh)连续;而故x = 1为第一类间断点 .在点 x = 1 不连续 , 第17页/共45页第十七页，共46页。第十节第十节一、最值定理(dngl) 二、介值定理(dngl) *三、一致(yzh)连续性 闭区间上连续函数的性质 第一章 第18页/共45页第十八页，共46页。注意: 若函数(hnsh)在开区间上连续,结论不一定(ydng)成立 .一、最值定理一、最值定理(dngl)定理1.在闭区间上连续的函数即: 设12则使值和最小值.或在闭区间内有间断 在该区间上一定有最大(证明略)点 ,xyab)(xfy O第19页/共45页第十九页，共46页。例如(lr),无最大值和最小值 22也无最大值和最小值 又如, xy11OxyO11第20页/共45页第二十页，共46页。12mM二、介值定理二、介值定理(dngl)由定理(dngl) 1 可知有证: 设, ,)(baCxf上有界 .定理(dngl)2. ( 零点定理(dngl) ), ,)(baCxf至少有一点且使( 证明略 )推论 在闭区间上连续的函数在该区间上有界. b xya)(xfy Oxyab)(xfy O第21页/共45页第二十一页，共46页。定理定理(dngl)3. ( 介值定理介值定理(dngl) )设 且则对 A 与 B 之间的任一数 C ,一点(y din)证: 作辅助(fzh)函数则且故由零点定理知, 至少有一点, ),(ba使即推论: 在闭区间上的连续函数使至少有必取得介于最小值与最大值之间的任何值 .xAbya)(xfy BO第22页/共45页第二十二页，共46页。O1x例例. 证明证明(zhngmng)方程方程一个(y )根 .证: 显然(xinrn)又故据零点定理, 至少存在一点使即说明:内必有方程的根 ;取的中点内必有方程的根 ;可用此法求近似根.二分法在区间内至少有则则4321第23页/共45页第二十三页，共46页。*三三. 一致一致(yzh)连续性连续性已知函数(hnsh)(xf在区间(q jin) I 上连续,即:一般情形,就引出了一致连续的概念 .定义:对任意的都有在 I 上一致连续 .显然:第24页/共45页第二十四页，共46页。例如例如(lr),但不一致(yzh)连续 .（证明(zhngmng)在最后一页）定理4.上一致连续.思考: P74 题 *7提示:设存在,作辅助函数显然第25页/共45页第二十五页，共46页。内容内容(nirng)小结小结1左连续(linx)右连续(linx)0 x第一类间断点可去间断点跳跃间断点左右极限都存在 第二类间断点无穷间断点振荡间断点左右极限至少有一个不存在在点间断的类型)(. 1xf0 x在点连续的等价形式第26页/共45页第二十六页，共46页。 内容内容(nirng)小小结结2. 基本初等(chdng)函数在定义区间内连续连续函数的四则运算(s z yn sun)结果仍连续连续函数的反函数连续连续函数的复合函数连续 初等函数在定义区间内连续说明: 分段函数在界点处是否连续需讨论其 左、右连续性.第27页/共45页第二十七页，共46页。内容内容(nirng)小结小结 3. 在上达到(d do)最大值与最小值;上可取(kq)最大与最小值之间的任何值;4. 当时,使必存在上有界;在,ba在,ba第28页/共45页第二十八页，共46页。练习练习(linx)1. 讨论(toln)函数x = 2 是第二类无穷(wqing)间断点 .间断点的类型.2. 设时提示:3. P65 题 3 为连续函数.答案: x = 1 是第一类可去间断点 ,第29页/共45页第二十九页，共46页。4. 续? 反例, 1,1)(xf x 为有理数 x 为无理数处处(chch)间断,处处(chch)连续 .反之是否(sh fu)成立? 作业P69 3 (5) , (6) , (7) ; 4 (4) ，(6) ; 6提示:“反之” 不成立 .第30页/共45页第三十页，共46页。1. 任给一张面积(min j)为 A 的纸片(如图),证明(zhngmng)必可将它思考思考(sko)一刀剪为面积相等的两片.提示:建立坐标系如图.xOy则面积函数因故由介值定理可知:第31页/共45页第三十一页，共46页。则证明(zhngmng)至少存在使提示(tsh): 令则易证2. 设设一点(y din)第32页/共45页第三十二页，共46页。3. 确定确定(qudng)函数函数间断(jindun)点的类型.解: 间断(jindun)点为无穷间断点; xx1故为跳跃间断点. 第33页/共45页第三十三页，共46页。例如例如(lr),xxf1)(, 1,0(C但不一致(yzh)连续 .因为(yn wi)取点则 可以任意小但这说明xxf1)(在( 0 , 1 上不一致连续 .思考: P74 题 *7提示:设)(, )(bfaf存在,作辅助函数)(xFaxaf, )(bxaxf, )(bxbf, )(,)(baCxF显然第34页/共45页第三十四页，共46页。二、 连续(linx)与间断 一、 函数(hnsh) 三、 极限(jxin) 习题课习题课函数与极限 第一章 第35页/共45页第三十五页，共46页。思考思考(sko)与练习与练习1. 下列(xili)各组函数是否相同 ? 为什么? 相同(xin tn)相同相同第36页/共45页第三十六页，共46页。2. 已知已知, 求解:)( f3. 设求解:第37页/共45页第三十七页，共46页。4. 设函数(hnsh)在 x = 0 连续(linx) , 则 a = , b = .提示(tsh):第38页/共45页第三十八页，共46页。有无穷(wqing)间断点0 x及可去间断(jindun)点解:为无穷(wqing)间断点,所以为可去间断点 ,极限存在5. 设函数设函数试确定常数 a 及 b .第39页/共45页第三十九页，共46页。6. 无穷小无穷小常用(chn yn)等价无穷小: 两个重要(zhngyo)极限 xxxxx1sinlim) 1 (01)11 (lim)2(0或10lim(1)e注: 代表相同的表达式第40页/共45页第四十页，共46页。6. 求极限求极限(jxin)：提示(tsh): 无穷小有界第41页/共45页第四十一页，共46页。Oxy7. 确定确定(qudng)常数常数 a , b , 使使解: 原式可变形(bin xng)为故于是(ysh)而第42页/共45页第四十二页，共46页。8. 求的间断点, 并判别(pnbi)其类型.解: x = 1 为第一类可去间断(jindun)点 x = 1 为第二类无穷(wqing)间断点 x = 0 为第一类跳跃间断点第43页/共45页第四十三页，共46页。 作业(zuy) P75 9 (2) , (3) , (6) ; 10; 139. 求解: 令则利用(lyng)夹逼准则可知第44页/共45页第四十四页，共46页。感谢您的观赏(gunshng)第45页/共45页第四十五页，共46页。NoImage内容(nirng)总结continue。( 有理整函数 )。上的连续函数的集合记作。第1页/共45页。第3页/共45页。虽有定义 , 且。第4页/共45页。商(分母不为 0) 运算,。在1, 1上也连续单调。例2. 求。说明: 由此可见当。注意: 若函数在开区间上连续,。由定理 1 可知(k zh)有。证: 作辅助函数。故由零点定理知, 至少有一点。例. 证明方程。在区间 I 上连续,。说明: 分段函数在界点处是否连续需讨论其。解: 间断点第四十六页，共46页。
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