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第31课时 矩形、菱形一、矩形、菱形的性质与判定一、矩形、菱形的性质与判定 性质性质判定判定矩形矩形1.1.四个角都是四个角都是_;_;2.2.对角线对角线_._.1.1.一个角是一个角是_的的_.(_.(定义定义) )2.2.对角线对角线_的的_._.3.3.有有_个个_是直角的是直角的_形形. . 直角直角相等相等直角直角平行四边形平行四边形相等相等平行四边形平行四边形角角四边四边三三 性质性质判定判定菱菱形形1.1.四条边都相等；四条边都相等；2.2.两条对角线互相两条对角线互相_，并且每条对角线，并且每条对角线_一组对角一组对角. .1.1.一组一组_相等的相等的_.(_.(定义定义) )2.2.对角线互相对角线互相_的的_._.3. _3. _相等的相等的_._.垂直平垂直平分分平分平分邻边邻边平行平行四边形四边形垂直垂直平行四边形平行四边形四边四边四边形四边形二、直角三角形斜边的中线二、直角三角形斜边的中线直角三角形斜边的中线等于斜边的直角三角形斜边的中线等于斜边的_._.一半一半【核心点拨【核心点拨】矩形、菱形都是特殊的平行四边形，它们都具有平行四边形的矩形、菱形都是特殊的平行四边形，它们都具有平行四边形的性质，但又有它们独特的判定方法性质，但又有它们独特的判定方法. .【即时检验【即时检验】一、一、1.1.已知一个矩形的长为已知一个矩形的长为3 cm3 cm，宽为，宽为2 cm2 cm，则其对角线为，则其对角线为_ _ cm.cm.2.2.四边形四边形ABCDABCD是平行四边形，添加一个条件：是平行四边形，添加一个条件：_，可使它成为矩形，可使它成为矩形. .3.3.已知菱形的两条对角线的长分别为已知菱形的两条对角线的长分别为5 5和和6 6，则它的面积是，则它的面积是_4.4.ABCDABCD中，对角线中，对角线ACAC，BDBD相交于点相交于点O O，添加一个条件，能使，添加一个条件，能使ABCDABCD成为菱形你添加的条件是：成为菱形你添加的条件是：_. .13ABC=90ABC=90（或（或AC=BDAC=BD）AB=ADAB=AD（或（或ACBDACBD）1515二、在二、在RtRtABCABC中，中，D D为斜边为斜边ABAB的中点，的中点，AB=10AB=10，则，则CD=CD=_. . 5 5 矩形的性质与判定矩形的性质与判定【例【例1 1】（】（20112011青岛中考）在青岛中考）在ABCDABCD中，中，E E，F F分别是分别是ABAB，CDCD的中点，连接的中点，连接AFAF，CECE（1 1）求证：）求证：BECBECDFADFA；（2 2）连接）连接ACAC，当，当CA=CBCA=CB时，判断四边形时，判断四边形AECFAECF是什么特殊四边形？是什么特殊四边形？并证明你的结论并证明你的结论【思路点拨【思路点拨】（1 1）根据平行四边形的性质找三角形全等的条件，）根据平行四边形的性质找三角形全等的条件，证全等；证全等；（2 2）先证四边形）先证四边形AECFAECF是平行四边形，再探究是哪一种特殊的是平行四边形，再探究是哪一种特殊的四边形四边形【自主解答【自主解答】（1 1）四边形四边形ABCDABCD是平行四边形，是平行四边形，BC=ADBC=AD，B=DB=D，AB=CD.AB=CD.EE，F F分别是分别是ABAB，CDCD的中点，的中点，BE=DF=AE=CFBE=DF=AE=CF，BECBECDFA.DFA.（2 2）四边形）四边形AECFAECF是矩形是矩形证明：证明：四边形四边形ABCDABCD是平行四边形是平行四边形.ABCD.ABCD，即，即AECFAECF，又又AE=CFAE=CF，四边形四边形AECFAECF是平行四边形是平行四边形. .AC=BCAC=BC，E E是是ABAB的中点，的中点，CEABCEAB，AEC=90AEC=90，平行四边形平行四边形AECFAECF是矩形是矩形【归律总结【归律总结】矩形的判定方法矩形的判定方法1.1.若四边形（或可证）为平行四边形，则再证一角为直角或对若四边形（或可证）为平行四边形，则再证一角为直角或对角线相等；角线相等；2.2.若直角较多，可证三个角为直角若直角较多，可证三个角为直角. .【对点训练【对点训练】 1.1.（20122012南通中考）如图，矩形南通中考）如图，矩形ABCDABCD的对角线的对角线ACAC8 cm8 cm，AODAOD120120，则，则ABAB的长为的长为( )( )(A) cm (B)2 cm(A) cm (B)2 cm(C) cm (D)4 cm(C) cm (D)4 cm32 3【解析【解析】选选D D在矩形在矩形ABCDABCD中，中，AOD=120AOD=120，AOB=180AOB=180-120-120=60=60，AOBAOB是等边三角形，是等边三角形，AB=AO=4 cmAB=AO=4 cm1AOBOAC4 cm.22.2.（20112011铜仁中考）已知：如图，在铜仁中考）已知：如图，在ABCABC中，中，BAC=90BAC=90，DEDE，DFDF是是ABCABC的中位线，连接的中位线，连接EFEF，AD.AD.求证：求证：EF=AD.EF=AD.【证明【证明】DE,DFDE,DF是是ABCABC的中位线，的中位线，DEABDEAB，DFAC,DFAC,四边形四边形AEDFAEDF是平行四边形是平行四边形. .又又BAC=90BAC=90，平行四边形平行四边形AEDFAEDF是矩形，是矩形，EF=AD. EF=AD. 【技巧点拨【技巧点拨】矩形中的两类特殊图形矩形中的两类特殊图形1.1.等腰三角形等腰三角形矩形的对角线相等且互相平分，可以得到矩形的对角线相等且互相平分，可以得到4 4个等腰三角形个等腰三角形. .2.2.等边三角形和含有等边三角形和含有3030的直角三角形的直角三角形( (对角线的夹角为对角线的夹角为6060时时) )(1)(1)有有2 2个等边三角形个等边三角形. .(2)(2)有有4 4个个3030角的直角三角形角的直角三角形. . 菱形的性质与判定菱形的性质与判定【例【例2 2】（】（1111分）（分）（20112011肇庆中考）如图，矩形肇庆中考）如图，矩形ABCDABCD的对角的对角线相交于点线相交于点O O，DEACDEAC，CEBD.CEBD.（1 1）求证：四边形）求证：四边形OCEDOCED是菱形；是菱形；（2 2）若）若ACB=30ACB=30，菱形，菱形OCEDOCED的面积为的面积为 求求ACAC的长的长8 3，【规范解答【规范解答】（1 1）DEOCDEOC，CEODCEOD，四边形四边形OCEDOCED是是_2 2分分四边形四边形ABCDABCD是矩形，是矩形， _，四边形四边形OCEDOCED是菱形是菱形4 4分分平行四边形平行四边形AO=OC=BO=ODAO=OC=BO=OD（2 2）ACB=30ACB=30，DCO=DCO=_-30-30= =_. .又又_，OCDOCD是等边三角形是等边三角形. .6 6分分连接连接OEOE交交DCDC于点于点F F，四边形四边形OCEDOCED是菱形，是菱形，所以所以DCDC_，COE=30COE=30，设，设CD=xCD=x（x0 x0），），则则OE=OE=_. .8 8分分由菱形由菱形OCEDOCED的面积为的面积为 得得 即即 _= = 解得解得x=x=_._.1010分分 AC=AC=_2=2=_. . 1111分分90906060OD= OCOD= OCOEOE3x8 3，1CD OE832，3x8 3，4 41x24 48 8【自主归纳【自主归纳】 1.1.菱形判定的两种方法菱形判定的两种方法（1 1）要判定一个四边形是菱形，可以先说明它是）要判定一个四边形是菱形，可以先说明它是_，再说明它的一组再说明它的一组_相等或相等或_垂直；垂直；（2 2）证明它的）证明它的_都相等都相等. .2.2.计算菱形面积的两种方法计算菱形面积的两种方法（1 1）菱形的面积等于）菱形的面积等于_；（2 2）菱形的面积等于）菱形的面积等于_乘积的乘积的_. .平行四边形平行四边形邻边邻边对角线对角线四条边四条边底乘以高底乘以高一半一半两条对角线两条对角线【对点训练【对点训练】3.(20123.(2012成都中考成都中考) )如图如图, ,在菱形在菱形ABCDABCD中，对角线中，对角线ACAC，BDBD交于点交于点O O，下列说法错误的是，下列说法错误的是( )( )(A)ABDC (B)AC=BD (A)ABDC (B)AC=BD (C)ACBD (D)OA=OC(C)ACBD (D)OA=OC【解析【解析】选选B.B.根据菱形的性质：对边平行，对角线互相垂直且根据菱形的性质：对边平行，对角线互相垂直且平分，可知平分，可知B B错误错误. .【对点训练【对点训练】4.(20124.(2012宜宾中考宜宾中考) )如图，在菱形如图，在菱形ABCDABCD中，中，AB=5AB=5，BCD=120BCD=120，则则ABCABC的周长等于的周长等于( )( )(A)20(A)20(B)15(B)15(C)10(C)10(D)5(D)5【解析【解析】选选B.B.根据菱形的性质及根据菱形的性质及BCD=120BCD=120，可得，可得B=60B=60，从而可得从而可得ABCABC为等边三角形，又为等边三角形，又AB=5AB=5，所以，所以ABCABC的周长为的周长为15.15.【变式训练【变式训练】（20112011聊城中考）已知一个菱形的周长是聊城中考）已知一个菱形的周长是20 cm20 cm，两条对角线的比是，两条对角线的比是4343，则这个菱形的面积是，则这个菱形的面积是( )( )(A)12 cm(A)12 cm2 2(B) 24 cm(B) 24 cm2 2(C) 48 cm(C) 48 cm2 2(D) 96 cm(D) 96 cm2 2【解析【解析】选选B.B.菱形的周长是菱形的周长是20 cm20 cm，故边长为，故边长为5 cm.5 cm.又两条对角线又两条对角线的比是的比是4343，不妨设两条对角线长分别为，不妨设两条对角线长分别为4k cm,3k cm4k cm,3k cm，因菱形，因菱形的对角线互相垂直平分，由勾股定理可得（的对角线互相垂直平分，由勾股定理可得（2k2k）2 2（1.5k1.5k）2 2=5=52 2，解得，解得k=2k=2，所以菱形的两条对角线的长分别为，所以菱形的两条对角线的长分别为8 8和和6 6，因而菱，因而菱形的面积为形的面积为 8 86=246=24（cmcm2 2）. .125.(20125.(2012恩施中考恩施中考) )如图，在如图，在ABCABC中，中，ADBCADBC于于D D，点，点D D，E E，F F分别是分别是BC,AB,ACBC,AB,AC的中点的中点. .求证求证: :四边形四边形AEDFAEDF是菱形是菱形. .【证明【证明】点点D D，E E，F F分别是分别是BC,AB,ACBC,AB,AC的中点的中点.DEAC.DEAC，DFAB,DFAB,四边形四边形AEDFAEDF是平行四边形是平行四边形. .又又ADBCADBC，BD=DC,AB=AC,AE=AF,BD=DC,AB=AC,AE=AF,四边形四边形AEDFAEDF是菱形是菱形. .【技巧点拨【技巧点拨】菱形中的两类特殊图形菱形中的两类特殊图形1.1.等腰三角形和直角三角形等腰三角形和直角三角形(1)(1)因四条边相等，由边、对角线构成因四条边相等，由边、对角线构成4 4个等腰三角形个等腰三角形. .(2)(2)因对角线互相垂直平分，则存在因对角线互相垂直平分，则存在4 4个全等的直角三角形个全等的直角三角形. .2.2.等边三角形和直角三角形等边三角形和直角三角形( (一内角为一内角为120120时，连接对角线时，连接对角线) )(1)4(1)4个含个含3030角的直角三角形角的直角三角形. .(2)(2)两个等边三角形两个等边三角形. . 直角三角形的性质直角三角形的性质【例【例3 3】如图，在】如图，在ABCABC中，中，CFABCFAB于于F F，BEACBEAC于于E E，D D为为BCBC的的中点，请判断中点，请判断DEFDEF的形状的形状. .【思路点拨【思路点拨】 已知已知 BCFBCF、BCEBCE为直角三角形为直角三角形 结论结论【自主解答【自主解答】CFABCFAB于于F F，BEACBEAC于于E E，BCFBCF、BCEBCE为直角三角形为直角三角形. .DD为为BCBC的中点，的中点， DEFDEF为等腰三角形为等腰三角形. .1FDEDBC,21FDEDBC2DBC 为的中点【归律总结【归律总结】直角三角形的性质直角三角形的性质1.1.直角三角形的两锐角互余直角三角形的两锐角互余. .2.2.直角三角形斜边的中线等于斜边的一半直角三角形斜边的中线等于斜边的一半. .3.303.30的直角三角形中较短直角边为斜边的一半的直角三角形中较短直角边为斜边的一半. .4.4.勾股定理勾股定理. .【对点训练【对点训练】6.6.（20112011盐城中考）如图，在盐城中考）如图，在ABCABC中，中，AB=ACAB=AC，ADBCADBC，垂足为，垂足为D D，E E是是ACAC的中点的中点. .若若DE=5DE=5，则，则ABAB的长为的长为_._.【解析【解析】ADDCADDC，AE=CEAE=CE， AC=10. AC=10.又又AB=ACAB=AC，AB=10.AB=10.答案：答案：10101DEAC2，【技巧点拨【技巧点拨】直角三角形的判定直角三角形的判定1.1.判断有一个角为直角判断有一个角为直角. .2.2.勾股定理的逆定理勾股定理的逆定理. .3.3.如果一个三角形一边的中线等于这边的一半，则它是直角三如果一个三角形一边的中线等于这边的一半，则它是直角三角形角形. .
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