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第第八八篇立体几何与空间向量篇立体几何与空间向量( (必修必修2 2、选修、选修2-1)2-1)六年新课标全国卷试题分析六年新课标全国卷试题分析高考考点、示例分布图高考考点、示例分布图命题特点命题特点1.1.高考在本篇一般命制高考在本篇一般命制2 2道小题、道小题、1 1道大题道大题, ,分值占分值占2222分左右分左右. .2.2.三视图、简单几何体的表面积三视图、简单几何体的表面积与体积与体积, ,点、线、面位置关系的点、线、面位置关系的判定主要以选择题、填空题的形判定主要以选择题、填空题的形式出现式出现, ,空间向量和空间角主要空间向量和空间角主要以解答题的形式出现以解答题的形式出现. .3.3.本篇重点考查推理论证能力和本篇重点考查推理论证能力和空间想象能力空间想象能力, ,而且对数学运算而且对数学运算的要求有加强的趋势的要求有加强的趋势, ,转化与化转化与化归思想贯穿整个立体几何始终归思想贯穿整个立体几何始终. .第第1 1节空间几何体的结构、三视图和节空间几何体的结构、三视图和直观图直观图知识链条完善知识链条完善考点专项突破考点专项突破易混易错辨析易混易错辨析知识链条完善知识链条完善 把散落的知识连起来把散落的知识连起来【教材导读教材导读】 1.1.平行投影和中心投影的区别和联系平行投影和中心投影的区别和联系? ?提示提示: :中心投影与人们感官的视觉效果是一致的中心投影与人们感官的视觉效果是一致的, ,它常用来进行绘画它常用来进行绘画; ;平行投影中平行投影中, ,与投影面平行的平面图形留下的影子与投影面平行的平面图形留下的影子, ,与这个平面图形的与这个平面图形的形状和大小完全相同形状和大小完全相同. .提示提示: :不是不是, ,其余各面中相邻两面的公共边不一定都平行其余各面中相邻两面的公共边不一定都平行, ,如图几何体就不如图几何体就不是棱柱是棱柱. .3.3.几何体三视图中的实线与虚线如何区分几何体三视图中的实线与虚线如何区分? ?提示提示: :看得见的轮廓线和棱为实线看得见的轮廓线和棱为实线, ,看不见的为虚线看不见的为虚线. .4.4.怎样画物体的三视图和直观图怎样画物体的三视图和直观图? ?提示提示: :三视图是利用物体的三个正投影来表示空间几何体的方法三视图是利用物体的三个正投影来表示空间几何体的方法, ,利用利用平行投影画三视图平行投影画三视图; ;利用斜二测画法画几何体的直观图利用斜二测画法画几何体的直观图. .知识梳理知识梳理 1.1.多面体的结构特征多面体的结构特征多面体多面体结构特征结构特征棱柱棱柱有两个面互相有两个面互相 , ,其余各面都是四边形且每相邻两其余各面都是四边形且每相邻两个四边形的交线都个四边形的交线都 . .棱锥棱锥有一个面是有一个面是 , ,而其余各面都是有一个而其余各面都是有一个 的的三角形三角形棱台棱台棱锥被平行于棱锥被平行于 的平面所截的平面所截, , 和底面之间的和底面之间的部分叫做棱台部分叫做棱台平行平行平行且相等平行且相等多边形多边形公共顶点公共顶点底面底面截面截面2.2.旋转体的形成旋转体的形成几何体几何体旋转图形旋转图形旋转轴旋转轴圆柱圆柱矩形矩形 所在的直线所在的直线圆锥圆锥直角三角形直角三角形 所在的直线所在的直线圆台圆台直角梯形直角梯形 所在的直线所在的直线球球半圆半圆 所在的直线所在的直线矩形一边矩形一边一直角边一直角边直角腰直角腰直径直径3.3.空间几何体的三视图空间几何体的三视图(1)(1)三视图的形成与名称三视图的形成与名称形成形成: :空间几何体的三视图是用平行投影得到的空间几何体的三视图是用平行投影得到的, ,在这种投影之下在这种投影之下, ,与投影面平行的平面图形留下的影子与投影面平行的平面图形留下的影子, ,与平面图形的与平面图形的 和和 是是完全相同的完全相同的; ;名称名称: :三视图包括三视图包括 、 、 . .(2)(2)三视图的画法三视图的画法在画三视图时在画三视图时, ,重叠的线只画一条重叠的线只画一条, ,挡住的线要画成挡住的线要画成 ; ;三视图的正视图、侧视图、俯视图分别是从几何体的三视图的正视图、侧视图、俯视图分别是从几何体的 方、方、 方、方、 方观察几何体画出的轮廓线方观察几何体画出的轮廓线. .形状形状大小大小正视图正视图侧视图侧视图俯视图俯视图虚线虚线正前正前左前左前正上正上4.4.空间几何体的直观图的画法空间几何体的直观图的画法空间几何体的直观图常用空间几何体的直观图常用 画法来画画法来画, ,基本步骤是基本步骤是(1)(1)画几何体的底面画几何体的底面在已知图形中取互相垂直的在已知图形中取互相垂直的x x轴、轴、y y轴轴, ,两轴相交于点两轴相交于点O,O,画直观图时画直观图时, ,把把它们画成对应的它们画成对应的xx轴、轴、yy轴轴, ,两轴相交于点两轴相交于点O,O,且使且使xOyxOy= = , ,已知图形中平行于已知图形中平行于x x轴、轴、y y轴的线段轴的线段, ,在直观图中在直观图中平行于平行于xx轴、轴、yy轴轴. .已知图形中平行于已知图形中平行于x x轴的线段轴的线段, ,在直观图中长在直观图中长度度 , ,平行于平行于y y轴的线段轴的线段, ,长度变为长度变为 . .(2)(2)画几何体的高画几何体的高在已知图形中过在已知图形中过O O点作点作z z轴垂直于轴垂直于xOyxOy平面平面, ,在直观图中对应的在直观图中对应的zz轴轴, ,也也垂直于垂直于xOyxOy平面平面, ,已知图形中平行于已知图形中平行于z z轴的线段轴的线段, ,在直观图中仍平在直观图中仍平行于行于zz轴且长度轴且长度 . .斜二测斜二测4545( (或或135135) )原来的一半原来的一半不变不变保持不变保持不变【重要结论重要结论】 1.1.几何体的三视图中几何体的三视图中, ,正视图和侧视图的高相等正视图和侧视图的高相等, ,正视图和俯视图的正视图和俯视图的长相等长相等, ,侧视图与俯视图的宽相等侧视图与俯视图的宽相等, ,简记为正侧等高简记为正侧等高, ,正俯等长正俯等长, ,侧俯侧俯等宽等宽. .夯基自测夯基自测1.1.下列结论正确的是下列结论正确的是( ( ) )(A)(A)各个面都是三角形的几何体是三棱锥各个面都是三角形的几何体是三棱锥(B)(B)以三角形的一条边所在直线为旋转轴以三角形的一条边所在直线为旋转轴, ,其余两边旋转形成的曲面所其余两边旋转形成的曲面所围成的几何体叫圆锥围成的几何体叫圆锥(C)(C)棱锥的侧棱长与底面多边形的边长相等棱锥的侧棱长与底面多边形的边长相等, ,则此棱锥可能是六棱锥则此棱锥可能是六棱锥(D)(D)圆锥的顶点与底面圆周上的任意一点的连线都是母线圆锥的顶点与底面圆周上的任意一点的连线都是母线D D2.2.如图如图, ,长方体长方体ABCDABCD- -ABCDABCD中被截去一部分中被截去一部分, ,其中其中EHAD.EHAD.剩下的几何体是剩下的几何体是( ( ) )(A)(A)棱台棱台 (B)(B)四棱柱四棱柱(C)(C)五棱柱五棱柱 (D)(D)简单组合体简单组合体C C3.3.若某几何体的三视图如图所示若某几何体的三视图如图所示, ,则这个几何体的直观图可以是则这个几何体的直观图可以是( () )D D解析解析: :A A中正视图、俯视图不对中正视图、俯视图不对, ,故故A A错错; ;B B中正视图、侧视图不对中正视图、侧视图不对, ,故故B B错错; ;C C中侧视图、俯视图不对中侧视图、俯视图不对, ,故故C C错误错误. .故选故选D.D.答案答案: :4.(20154.(2015东北三校第一次联考东北三校第一次联考) )利用斜二测画法可以得到利用斜二测画法可以得到: :三角形的直观图是三角形三角形的直观图是三角形; ;平行四边形的直观图是平行四边形平行四边形的直观图是平行四边形; ;正方形的直观图是正方形正方形的直观图是正方形; ;菱形的直观图是菱形菱形的直观图是菱形. .以上结论正确的是以上结论正确的是. . 解析解析: :四棱柱与圆柱的正视图不可能为三角形四棱柱与圆柱的正视图不可能为三角形, ,三棱锥、四棱锥、三棱柱、三棱锥、四棱锥、三棱柱、圆锥的正视图都有可能是三角形圆锥的正视图都有可能是三角形. .答案答案: :5.5.一个几何体的正视图为一个三角形一个几何体的正视图为一个三角形, ,则这个几何体可能是下列几何体则这个几何体可能是下列几何体中的中的 ( (填入所有可能的几何体的编号填入所有可能的几何体的编号).). 三棱锥三棱锥; ;四棱锥四棱锥; ;三棱柱三棱柱; ;四棱柱四棱柱; ;圆锥圆锥; ;圆柱圆柱. .考点专项突破考点专项突破 在讲练中理解知识在讲练中理解知识考点一考点一 空间几何体的结构特征空间几何体的结构特征【例例1 1】 以下命题以下命题: :以直角三角形的一边为轴旋转一周所得的旋转体是圆锥以直角三角形的一边为轴旋转一周所得的旋转体是圆锥; ;以直角梯形的一腰为轴旋转一周所得的旋转体是圆台以直角梯形的一腰为轴旋转一周所得的旋转体是圆台; ;圆柱、圆锥、圆台的底面都是圆圆柱、圆锥、圆台的底面都是圆; ;一个平面截圆锥一个平面截圆锥, ,得到一个圆锥和一个圆台得到一个圆锥和一个圆台. .其中正确命题的个数为其中正确命题的个数为( () )(A)0(A)0(B)1(B)1(C)2(C)2(D)3(D)3解析解析: :错误错误. .当以斜边为旋转轴时当以斜边为旋转轴时, ,其余两边旋转形成的面所围成的几其余两边旋转形成的面所围成的几何体不是圆锥何体不是圆锥; ;以直角梯形中垂直底的腰为轴旋转一周所得旋转体是圆台以直角梯形中垂直底的腰为轴旋转一周所得旋转体是圆台, ,否则不是否则不是, ,故错误故错误; ;正确正确; ;一个平行于底面的平面截圆锥一个平行于底面的平面截圆锥, ,才得到一个圆锥和一个圆台才得到一个圆锥和一个圆台, ,故错故错误误. .故选故选B.B.反思归纳反思归纳 解决与空间几何体结构特征有关问题的技巧解决与空间几何体结构特征有关问题的技巧(1)(1)要想真正把握几何体的结构特征要想真正把握几何体的结构特征, ,必须多角度、全面地去分析必须多角度、全面地去分析, ,多观察多观察实物实物, ,提高空间想象能力提高空间想象能力; ;(2)(2)紧扣结构特征是判断的关键紧扣结构特征是判断的关键, ,熟悉空间几何体的结构特征熟悉空间几何体的结构特征, ,依据条件构依据条件构建几何模型建几何模型, ,在条件不变的情况下在条件不变的情况下, ,变换模型中的线面关系或增加线、面变换模型中的线面关系或增加线、面等基本元素等基本元素, ,然后再依据题意判定然后再依据题意判定; ;(3)(3)通过反例对结构特征进行辨析通过反例对结构特征进行辨析, ,即要说明一个命题是错误的即要说明一个命题是错误的, ,只要举出只要举出一个反例即可一个反例即可. .【即时训练即时训练】 (1) (1)用任意一个平面截一个几何体用任意一个平面截一个几何体, ,各个截面都是圆面各个截面都是圆面, ,则这个几何体一定是则这个几何体一定是( () )(A)(A)圆柱圆柱 (B)(B)圆锥圆锥(C)(C)球体球体 (D)(D)圆柱、圆锥、球体的组合体圆柱、圆锥、球体的组合体解析解析: :(1)(1)截面是任意的且都是圆面截面是任意的且都是圆面, ,则该几何体为球体则该几何体为球体. .故选故选C.C.(2)(2)给出下列几个命题给出下列几个命题: :各侧面都是全等四边形的棱柱一定是正棱柱各侧面都是全等四边形的棱柱一定是正棱柱; ;对角面是全等矩形对角面是全等矩形的六面体一定是长方体的六面体一定是长方体; ;长方体一定是正四棱柱长方体一定是正四棱柱, ,其中正确的命题其中正确的命题个数是个数是( () )(A)0(A)0(B)1(B)1(C)2(C)2(D)3(D)3解析解析: : (2) (2)直平行六面体底面是菱形直平行六面体底面是菱形, ,满足条件但不是正棱柱满足条件但不是正棱柱; ;底面是等腰梯形的直棱柱底面是等腰梯形的直棱柱, ,满足条件但不是长方体满足条件但不是长方体; ;显然错误显然错误. .故故选选A.A.考点二考点二空间几何体的三视图空间几何体的三视图( (高频考点高频考点) )考查角度考查角度1:1:根据几何体的结构特征确认其三视图根据几何体的结构特征确认其三视图. .高考扫描高考扫描: :20132013高考新课标全国卷高考新课标全国卷【例例2 2】 (2014 (2014高考江西卷高考江西卷) )一几何体的直观图如图一几何体的直观图如图, ,下列给出的四个俯下列给出的四个俯视图中正确的是视图中正确的是( () )解析解析: :由直观图可知由直观图可知, ,该几何体由一个长方体和一个五面体组成该几何体由一个长方体和一个五面体组成. .从从上往下看上往下看, ,外层轮廓线是一个矩形外层轮廓线是一个矩形, ,矩形内部有一条线段连接的两个矩形内部有一条线段连接的两个三角形三角形. .故选故选B.B.反思归纳反思归纳 根据几何体确认三视图的方法根据几何体确认三视图的方法(1)(1)由实物图画三视图或判断选择三视图由实物图画三视图或判断选择三视图, ,按照按照“正侧一样高正侧一样高, ,正俯正俯一样长一样长, ,俯侧一样宽俯侧一样宽”的特点确认的特点确认. .(2)(2)对于简单组合体的三视图对于简单组合体的三视图, ,首先要确认正视、侧视、俯视的方向首先要确认正视、侧视、俯视的方向, ,其次要注意组合体由哪些几何体组成其次要注意组合体由哪些几何体组成, ,弄清它们的组成方式弄清它们的组成方式, ,特别应特别应注意它们的交线的位置注意它们的交线的位置, ,区分好实线和虚线的不同区分好实线和虚线的不同. .考查角度考查角度2:2:根据三视图还原几何体的直观图根据三视图还原几何体的直观图. .高考扫描高考扫描: :20142014高考新课标全国卷高考新课标全国卷【例例3 3】 (2014 (2014高考新课标全国卷高考新课标全国卷)如图如图, ,网格纸的各小格都是正方形网格纸的各小格都是正方形, ,粗实线画出的是一个几何体的三视图粗实线画出的是一个几何体的三视图, ,则这个几何体是则这个几何体是( () )(A)(A)三棱锥三棱锥(B)(B)三棱柱三棱柱(C)(C)四棱锥四棱锥(D)(D)四棱柱四棱柱反思归纳反思归纳 根据三视图还原几何体的策略根据三视图还原几何体的策略(1)(1)对柱、锥、台、球的三视图要熟悉对柱、锥、台、球的三视图要熟悉; ;(2)(2)明确三视图的形成原理明确三视图的形成原理, ,并能结合空间想象将三视图还原为直观图并能结合空间想象将三视图还原为直观图; ;(3)(3)遵循遵循“长对正、高平齐、宽相等长对正、高平齐、宽相等”的原则的原则. .考查角度考查角度3:3:已知几何体的三视图中的某两视图已知几何体的三视图中的某两视图, ,确定另外一种视图确定另外一种视图. .高考扫描高考扫描: :20112011高考新课标全国卷高考新课标全国卷【例例4 4】 如图如图, ,一个三棱柱的正视图和侧视图分别是矩形和正三角形一个三棱柱的正视图和侧视图分别是矩形和正三角形, ,则这个三棱柱的俯视图为则这个三棱柱的俯视图为( () )反思归纳反思归纳 三视图问题的常见类型及解题策略三视图问题的常见类型及解题策略(1)(1)由几何体的直观图求三视图由几何体的直观图求三视图. .注意正视图、侧视图和俯视图的观察方注意正视图、侧视图和俯视图的观察方向向, ,注意看到的部分用实线注意看到的部分用实线, ,不能看到的部分用虚线表示不能看到的部分用虚线表示. .(2)(2)由几何体的部分视图画出剩余的视图由几何体的部分视图画出剩余的视图. .先根据已知的一部分视图先根据已知的一部分视图, ,还还原、推测直观图的可能形式原、推测直观图的可能形式, ,然后再找其剩下部分视图的可能形式然后再找其剩下部分视图的可能形式. .当然当然作为选择题作为选择题, ,也可将选项逐项代入也可将选项逐项代入, ,再看看给出的部分三视图是否符合再看看给出的部分三视图是否符合. .(3)(3)由几何体的三视图还原几何体的形状由几何体的三视图还原几何体的形状. .要熟悉柱、锥、台、球的三视要熟悉柱、锥、台、球的三视图图, ,明确三视图的形成原理明确三视图的形成原理, ,结合空间想象将三视图还原为实物图结合空间想象将三视图还原为实物图. .空间几何体的直观图空间几何体的直观图考点三考点三 【例例5 5】 (2016 (2016福州模拟福州模拟) )用斜二测画法画一个水平放置的平面图形的用斜二测画法画一个水平放置的平面图形的直观图为如图所示的一个正方形直观图为如图所示的一个正方形, ,则原来的图形是则原来的图形是( () )反思归纳反思归纳 用用斜二测画法画直观图的技巧斜二测画法画直观图的技巧在原图形中与在原图形中与x x轴或轴或y y轴平行的线段在直观图中与轴平行的线段在直观图中与xx轴或轴或yy轴平行轴平行, ,原原图中不与坐标轴平行的直线段可以先画出线段的端点再连线图中不与坐标轴平行的直线段可以先画出线段的端点再连线, ,原图中的原图中的曲线段可以通过取一些关键点曲线段可以通过取一些关键点, ,作出在直观图中的相应点后作出在直观图中的相应点后, ,用平滑的曲用平滑的曲线连接而画出线连接而画出. .备选例题备选例题 易混易错辨析易混易错辨析 用心练就一双慧眼用心练就一双慧眼忽略三视图中的虚实线而致误忽略三视图中的虚实线而致误【典例典例】 (2014 (2014高考湖北卷高考湖北卷) )在如图所示的空间直角坐标系在如图所示的空间直角坐标系O O- -xyzxyz中中, ,一个一个四面体的顶点坐标分别是四面体的顶点坐标分别是(0,0,2),(2,2,0),(1,2,1),(2,2,2).(0,0,2),(2,2,0),(1,2,1),(2,2,2).给出编号给出编号为的四个图为的四个图, ,则该四面体的正视图和俯视图分别为则该四面体的正视图和俯视图分别为( () )(A)(A)和和(B)(B)和和 (C)(C)和和(D)(D)和和易错提醒易错提醒: : (1) (1)此题在解答时此题在解答时, ,很容易根据已知正视图是个直角三很容易根据已知正视图是个直角三角形而选择角形而选择A,A,忽略了从前往后看忽略了从前往后看, ,看不到棱看不到棱AC,AC,正视图中应该是虚线正视图中应该是虚线. .(2)(2)俯视图是个钝角三角形俯视图是个钝角三角形, ,不能凭借感觉去选不能凭借感觉去选C,C,以为俯视图是直角以为俯视图是直角三角形而出现错误三角形而出现错误. .
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