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4 1.816.ABCDBCBACADCACBCCD 如图，在中，点 在线段上，那么V2644.16CCBACADCACCDADCBACBCCAACCDBC 因为，所以，所以，所以解析：VV4 cm9 cm2.直角三角形中，两直角边在斜边上的射影分别为和，求它的较短的直角边的长2904 cm9 cm4913 cm4 132 13 cmABCACBCDABADBDABACAD ABAC设中，则 由射影定理得， 所以解析：V3.356ABCDEBCDFACAE ACDEBFVPP如图，中，求的长度635101064.DEAEBCACBCBCBF依题意得，即，所以，所以解析：212.14cm. ABCDAE EBAEFCDF如图，平行四边形中， 若的面积等于，则的面积等于多少？VV22131 cm9 cm .AEFCDFAE CDAEFCDFVVVV显然，与为相似三角形又，且的面积为，所以的面积等于解析：25.DEBCEFDCADAF AB如图，求证：PP2.ADAEDEBCABACAFAEEFDCADACADAFADAF ABABAD因为，所以又因为，所以解，所以，即析：PP平行线分线段成比例平行线分线段成比例定理定理:.1ABCDDEBFCDPDCQPQ如图，中，求证【例】 【解析】因为四边形ABCD为平行四边形，所以FDBC，BEDQ， 所以 ， 因为 , 所以 ,即 ，即 .又因为DE=BF, 所以 , 所以 .CDBFCQBQ PEPBPDPQ PEPBPDPQ PEPDPQPBPDPQ EDBQPDPQ PDEDPQEQ PDBFPQBQ CDPDCQPQ 由于条件中有平行线，故考虑平行线分线段成比例定理及其推论，利用相等线段和等比性质，证明线段成比例.AABC.1D如图，已知是的内角平分线求证【式练习 】：变ABBDACCDCCEADBAE.CEAD.EBADCADACEBADCADEACEACAE.过点 作，交的延长线于点因为，所以因为，所以，所以，所以【证】明ABBDAECDABBDACCD 相似三角形的判定与相似三角形的判定与性质性质 .( ):;( )2.FCDABCDBCADACDEBCDEABEECADFABCFCDSBCDE12510如图，已知中，【例 】是边的中点，且，与相交于点 ，与相交于点求证若，求的长 【解析】(1)证明：因为DEBC，D是BC的中点，所以EB=EC，所以ABC=ECB. 又因为AD=AC，所以ADC=ACB.所以ABCFCD. (2)过点A作AMBC， 垂足为点M. 因为ABCFCD， BC=2CD，所以 2()4ABCFCDSBCSCD 又因为SFCD =5，所以SABC =20.因为SABC = BC AM , BC=10,所以 20= 10 AM , 所以 AM=4.又因为DEAM，所以 .因为 ,所以 , 所以 .1212DEBDAMBM 151,5222DMDCBMBDDM BDBC 55452DE 83DE 本题主要考查了三角形相似的判定与性质，解题的关键是找准满足定理的条件.第(1)问是利用“有两角对应相等的两个三角形相似”，找出两角对应相等；第(2)问是首先利用相似三角形的性质，再根据等腰三角形的性质及中点求出DE的长度. 【变式练习2】如图，AE、AF分别为ABC的内、外角平分线，O为EF的中点. 求证：OB OC=AB2 AC2.【解析】因为AE、AF分别为ABC的内、外角平分线，所以AEAF. 又因为O为EF的中点, 所以OEA=OAE. 因为OAE=CAE+OAC，OEA=ABE+BAE， 而BAE=CAE，所以OAC=ABE. 因为AOB为公共角, 所以OACOBA. 所以SOBA SOAC =AB2 AC2. 又因为OAB与OCA有一条公共边OA, 所以SOBA SOAC =OB OC， 所以OB OC=AB2 AC2.相似三角形的应用相似三角形的应用【例3】小明欲测量一座古塔的高度，他站在影子上前后移动，直到他本身影子的顶端正好与塔的影子的顶端重叠，此时他距离该塔18 m已知小明的身高是1.6 m，他的影子长度是2 m. 12图中与是否相似？为什么？求古塔的高度BDEBACAC 1BDEBAC.DEBCBCBED=BCA=9.B=BBDEBAC.21.BE=2 mBC=2+18=2 mDE1.6 mAC=16 m.AC16 m.ACBCACBEDEAC002021 6因为，所以又因为，所以由知因为，【解析，所以，所以，即】古塔的高度是 实际生活中有很多类似的测量题，解题的关键是将实际问题转化为数学模型，利用相似三角形知识求解后再回到实际问题中4.8 m4 m2 m3某路灯的高度是，一同学由路灯的正下方向前步行，发现自己的影子长，求这个同【变式练习 】学的身高DEAC如图，表示该同学的身高，表示路灯【解析】的高度DE/AC.BE=2 mBC=2+4=6 mAC=4.8 m64.8DE=1.6 m21.6 m.BCACBEDEDE因为，所以又因为，所以，所以，即这个同学的身高是【解析】直角三角形射影定理直角三角形射影定理的应用的应用 334Rt ABCACBCDABDDEACEDFACAEBCFBCBF90如图，在中，于点，于点 ，于点 ，求证:=【例 】：222222423423 BDBF BC .,ACAD ABBCBD AB ADAE ACBCADBDACACADAE ACACAEBF BCBFBCBDBC由直角三角形射影定理，知，所以所以所以【解析】 题目符合直角三角形射影定理的条件，选择合适的直角三角形是解决问题的关键. 【变式练习4】如图，已知BD、CE是ABC的两条高，过点D的直线交BC和BA的延长线于G、H ， 交 C E 于 F ， 且 H = B C F . 求 证 ：GD2=GF GH. 【变式练习4】因为CEAB，所以H+HFE=90.又因为BCF=H, HFE=CFG，所以BCF+CFG=90.所以FGGC，所以BGHFGC.所以 , 即BG GC=GF GH. 又因为DG2=BG GC(直角三角形射影定理)，所以DG2=GF GH.BCGHGFGC 1. ABC中，AD是角平分线，AB=5，AC=4，BC=7，求BD的长度.7547353599设 ，则 因为为角平分线，所以，所以，解得 所以的长度为【解析】BDxDCxADABBDxACDCxxBD 2.如图，E是 ABCD的边BC的中点，若BD=9,求BF的长度. 【解析】因为BEAD, 所以 . 设BF=x, 则 FD=9-x, , 所以 ，解得 x=3. 所以 BF 的长度为3.1122BEBCAD 192xx BFBEFDAD 2Rt.3.(2011)ABCCDABCEBCDABEAEAD ABV已知中，为斜边上的高，平分，交徐州期中卷于点求证：22.ABCCDABACAD ABBACDCEBCDDCEECBACEACDDCEAECBECBACEAECACAEAEAD AB V因为为直角三角形，且，所以，因为为的平分线，所以因为，所以，：所以所以解析/ / /144.ADEEFCDABCABDEBCACEEFABBCFSSBFED如图，已知点 是中边上的一点，且交于点 ，且交于点 ，又， ，求四边形的面积.141213194.ADEEFCADEABCADEEFCSSAE ECAE ACSSBFED由题意易知又，所以，所以，所以四边形的面【】积是解析 5.如图，在ABC中，AB=AC， BDAC，点D是垂足. 求证： BC2=2CD AC. 【解析】过点A作AEBC，垂足为E， 则CE=BE= BC. 由BDAC，AEBC, 得AEC=BDC=90. 又因为C=C， 所以AECBDC, 所以 ，所以 , 即BC2=2CD AC.12ECACDCBC 12BCACCDBC 1利用平行线等分线段定理解题时要注意弄清题目所给的条件常见的题型中，多与三角形的中位线、梯形的中位线相联系，因此取中点、作平行线是常用技巧另外，要注意灵活运用三角形、平行四边形、等腰梯形的有关定理及性质 2.相似三角形的性质把相似三角形的高、对应中线、对应角的平分线，以及周长、面积都与相似三角形的对应边的比(相似比)联系起来.利用相似三角形的性质可得到线段的比例、线段的平方比或角相等，有时还可用来计算三角形的面积、周长和边长. 3.运用直角三角形射影定理时，要注意其成立的条件，要结合图形去记忆定理.当所给条件具备定理的条件时，可直接运用定理，有时也可通过作垂线使之满足定理的条件，再运用定理.在处理一些综合问题时，常常与三角形的相似相联系，要注意它们的综合运用.
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