高中数学：第3章 三角函数的应用 素材（苏教版必修4）

12 有一个人，无论你到哪里都舍不下对你的牵挂，她愿把自己的一生无私地奉献给你；有一种爱，它让你肆意地索取和享用，却不要你任何的回报这一个人叫“母亲”，这一种爱叫“母爱”. 走进附中，走近北大走进附中，走近北大.3 三角函数能够模拟许多周期现象，因此在解三角函数能够模拟许多周期现象，因此在解决实际问题中有着广泛的应用决实际问题中有着广泛的应用.1 .在下图中，点在下图中，点O为做简谐运动的物体的平衡位置，为做简谐运动的物体的平衡位置，取向右的方向为物体位移的正方向，若已知振幅取向右的方向为物体位移的正方向，若已知振幅为为3cm，周期为周期为3s，且物体向右运动到，且物体向右运动到距离平衡位距离平衡位置最远时开始计时置最远时开始计时.(1)求物体对平衡位置的位移求物体对平衡位置的位移x(cm)和时间和时间t(s)之间的之间的函数关系；函数关系；(2)求该物体在求该物体在t=5s时的位置时的位置.解解 (1)设设x和和t之间的函数关系为之间的函数关系为: x=Asin(t+)(0，02). 1.3.4 三角函数的应用三角函数的应用O4即即 当当t=0时，有时，有 x=3sin=3，即即sin=1.又又02，故故可可得得 = ，2所求的函数关系为所求的函数关系为: :22x = 3sin(t +)x = 3cost.323(2)令令t=5，得得x=3cos =1.5，该该该该物物体体在在t=5s 时时的的位位置置在在点点O的的左左侧侧且且距距O点点1.5cm处处.1 03则由则由22T = 3 =.3 由题设知振幅为由题设知振幅为3cm，所以所以A=3，且物体向右运动到距离平衡位置最远时开始计时且物体向右运动到距离平衡位置最远时开始计时.5OPP023 2. 一半径为一半径为3m的水轮如图所示，水轮圆心的水轮如图所示，水轮圆心O 距离距离水面水面2m，已知水轮每分钟转动，已知水轮每分钟转动4圈，如果当水轮上圈，如果当水轮上点点P 从水中浮现时从水中浮现时(图中点图中点P0)开始计算时间开始计算时间.(1)将点将点P距离水面的高度距离水面的高度z(m)表示时间表示时间t(s) 的函数的函数;(2)点点P第一次达到最高点大约要多长时间？第一次达到最高点大约要多长时间？xy解解 (1)不不妨妨设设水水轮轮沿沿逆逆时时针针方方向向旋旋转，转，如如图图所所示，示，建建立立平平面面直直角角坐坐标标系系. 设设角角 ( 0)是是以以Ox为为始始边，边，OP0为为终终边边的的角角.2由由OP在在ts内所转过内所转过的角的角为为 ，可知以，可知以Ox为始边，为始边， OP为终边为终边的角为的角为42 2 ()t= t6 01 52 t+1 5 ，6则则2z3sin(t + )2.15 当当t = 0时时，z =0，可得可得2sin.3 因为因为 ，所以，所以0.73， 02故所求函数关系式为故所求函数关系式为2z = 3sin(t0.73)+2.15(2)令令 得得2z3sin(t0.73)2515 ，2sin(t0.73)1.152t0.73152，取取解得解得t5.5.答答 点点P第一次达到最高点大约需要第一次达到最高点大约需要5.5s.2t +15故故P点纵坐标为点纵坐标为3sin( )，7 3. 海水受日月的引力，在一定的时候发生涨落的海水受日月的引力，在一定的时候发生涨落的现象叫现象叫潮汐潮汐，一般的早潮叫，一般的早潮叫潮潮，晚潮叫，晚潮叫汐汐，在通，在通常情况下，船在涨潮时候驶进航道，靠近船坞；常情况下，船在涨潮时候驶进航道，靠近船坞；卸货后落潮时返回海洋，下面给出了某港在某季卸货后落潮时返回海洋，下面给出了某港在某季节每天几个时刻的水深节每天几个时刻的水深. (1)选用一个三角函数来近似描述这个港口的水深选用一个三角函数来近似描述这个港口的水深与时间的函数关系，并给出在整点时的水深的近与时间的函数关系，并给出在整点时的水深的近似值似值;时刻时刻水深水深/m时刻时刻水深水深/m时刻时刻水深水深/m0:005.09:002.518:005.03:007.512:005.021:002.56:005.015:007.524:005.08(2) 一条货船的吃水深度一条货船的吃水深度(船底与水面的距离船底与水面的距离)为为4m，安全条例规定至少要有安全条例规定至少要有1.5m的安全间隙的安全间隙(船底与海船底与海底的距离底的距离)，该船何时能进入港口？，该船何时能进入港口？(3) 若船的吃水深度为若船的吃水深度为4m，安全间隙为，安全间隙为1.5m的的 ，该船在该船在2：00开始卸货，吃水深度以每小时开始卸货，吃水深度以每小时0.3m的的速度减少，那么该船在什么时间必须停止卸货，速度减少，那么该船在什么时间必须停止卸货，将船驶向较深的水域？将船驶向较深的水域？分析分析 (1)考察数据，可选用正弦函数，再利用待定考察数据，可选用正弦函数，再利用待定系数法求解；系数法求解； (2)在涉及三角不等式时，可利用图象求解在涉及三角不等式时，可利用图象求解. 解解 (1)可设所求函数为可设所求函数为f(x)=Asinx+k，由已知数由已知数据求得据求得A=2.5，k=5，T=12，故故f(x)=2.5sin( x)+5.62 =T6，xyO241261839152152.57.59在整点时的水深近似为在整点时的水深近似为:1:00；5:00；13:00；17:00为为 6.3m；2:00；4:00；14：00；16:00为为 7.2m；7:00；11:00；19:00；23:00为为 3.7m；8:00；10:00；20:00；22:00为为 2.8m；(2) 由由2.5sin( x)+55.5，得得6s in 0 .26x画画出出y=sin( x)的的图图象象，(如如图图所所示示)由由图图象象可可得得65101520 xyO1-1y=sin( x)6y=0.2 0.4 x5.6， 或或 12.4x17.6.TT105101520 xyO1-1y=sin( x)6y=0.12x+0.44故该船在故该船在0：24至至5：36和和12：24至至17：36期间可期间可以进港以进港.(3) 若若2x24, x时刻吃水深度为时刻吃水深度为h(x)=40.3(x2)，由由f(x)h(x)+1.5，得得sin x 0 .4 40 .1 2 x .6 画画出出y=sin 和和y=0.440.12x的的图图象象(如如图图)，6x 由图象可知当由图象可知当x=6.7时，即时，即6：42时，该船必须停时，该船必须停止卸货，将船驶向较深的水域止卸货，将船驶向较深的水域.11 (04年湖北卷年湖北卷)设设y=f(t)是某港口的水的深度是某港口的水的深度y(cm)关于时间关于时间t(h)的函数的函数，其中其中0t24 ，下表是该港口下表是该港口某一天从某一天从0时至时至24时记录的时间时记录的时间t与水深与水深y的关系：的关系：t03691215182124y1215.112.19.111.914.911.98.912.1A经长时间观察，函数经长时间观察，函数y=f(t)的图像可以近似地看作的图像可以近似地看作成函数成函数y=Asin(x+)+k的图像，下面函数中，最的图像，下面函数中，最能近似表示表中数据间的对应关系的函数是能近似表示表中数据间的对应关系的函数是 ( )6 A. y=3sin t+12 ，t0，24 B. y=3sin( t+ )+12，t0 ，24 C. y=3sin t+12，t0 ，24 D. y=3sin( t + )+12 ，t0，24612122要有挖山不要有挖山不止的精神！止的精神！12