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专题二函数命题观察高考定位(对应学生用书第4页)1(2017江苏高考)设f (x)是定义在R上且周期为1的函数，在区间0,1)上，f (x)其中集合D，则方程f (x)lg x0的解的个数是_8由于f (x)0,1)，则只需考虑1x10的情况在此范围内，当xQ且xZ时，设x，p，qN*，p2且p，q互质，若lg xQ，则由lg x(0,1)，可设lg x，m，nN*，m2且m，n互质，因此10，则10nm，此时左边为整数，右边为非整数，矛盾，因此lg xQ，因此lg x不可能与每个周期内xD对应的部分相等，只需考虑lg x与每个周期xD部分的交点画出函数草图图中交点除(1,0)外其他交点横坐标均为无理数，属于每个周期xD部分，且x1处(lg x)1，则在x1附近仅有一个交点，因此方程解的个数为8.2(2016江苏高考)函数y的定义域是_. 【导学号：56394007】3,1要使函数有意义，需32xx20，即x22x30，得(x1)(x3)0，即3x1，故所求函数的定义域为3,13(2016江苏高考)设f (x)是定义在R上且周期为2的函数，在区间1,1)上，f (x)其中aR.若f f ，则f (5a)的值是_因为函数f (x)的周期为2，结合在1,1)上f (x)的解析式，得f f f a，f f f .由f f ，得a，解得a.所以f (5a)f (3)f (41)f (1)1.4(2013江苏高考)已知f (x)是定义在R上的奇函数，当x0时，f (x)x24x，则不等式f (x)x的解集用区间表示为_(5,0)(5，)设x0，则x0，于是f (x)(x)24(x)x24x，由于f (x)是R上的奇函数，所以f (x)x24x，即f (x)x24x，且f (0)0，于是f (x)当x0时，由x24xx得x5；当x0时，由x24xx得5x0，故不等式的解集为(5,0)(5，)5(2015江苏高考)已知函数f (x)|ln x|，g(x)则方程|f (x)g(x)|1实根的个数为_4当0x1时，方程为ln x1，解得x.当1x2时，f (x)g(x)ln x2x2单调递减，值域为(ln 22,1)，方程f (x)g(x)1无解，方程f (x)g(x)1恰有一解当x2时，f (x)g(x)ln xx26单调递增，值域为ln 22，)，方程 f (x)g(x)1恰有一解，方程f (x)g(x)1恰有一解综上所述，原方程有4个实根命题规律(1)以填空题形式呈现，考查对数函数、含无理式的函数的定义域；函数的图象与性质；函数的奇偶性 、周期性与分段函数结合，考查函数的求值与计算；以二次函数的图象与性质为主，结合函数的性质综合考查分析与解决问题的能力；考查数形结合解决问题的能力等(2)在大题中以导数为工具研究讨论函数的性质、不等式求解等综合问题函数是高考数学考查的重点内容之一，函数的观点和思想方法贯穿整个高中数学的全过程，包括解决几何问题在近几年的高考试卷中，填空题、解答题中每年都有函数试题，而且常考常新以基本函数为背景的应用题和综合题是高考命题的新趋势主干整合归纳拓展(对应学生用书第4页)第1步 核心知识再整合1函数的性质(1)函数的奇偶性：定义：一般地，如果对于函数f (x)的定义域内任意一个x，都有f (x)f (x)，那么函数f (x)叫做偶函数；如果都有f (x)f (x), 那么函数f (x)叫做奇函数，函数具有奇偶性，则定义域关于原点对称图象特征：函数f (x)是偶函数图象关于y轴对称；函数f (x)是奇函数图象关于原点对称奇函数在其定义域内关于原点对称的两个区间上的单调性相同，且如果在x0处有定义，有f (0)0，即其图象过原点(0,0)，偶函数在其定义域内关于原点对称的两个区间上的单调性相反，且f (x)f (x)f (|x|)，这样就可以把研究整个函数具有的性质问题转化到只研究部分(一半)区间上，是简化问题的途径，切记！(2)函数的单调性：定义法：对于定义域内某一个区间D内任意的x1，x2，且x1x2，若f (x1)f (x2)f (x)在D上单调递增；若f (x1)f (x2)f (x)在D上单调递减导数法：若函数在某个区间D可导，如果f (x)0，那么函数f (x)在区间D内单调递增；如果f (x)0，那么函数f (x)在区间D内单调递减图象法：先作出函数的图象，再根据图象的上升或下降，从而确定单调区间F(x)f (x)g(x)，若f (x)，g(x)都是增函数，则F(x)在其公共定义域内是增函数；若f (x)，g(x)都是减函数，则F(x)在其公共定义域内是减函数F(x)f (x)g(x)，若f (x)是增函数，g(x)是减函数，则F(x)在其公共定义域内是增函数；若f (x)是减函数，g(x)是增函数，则F(x)在其公共定义域内是减函数同时要充分利用函数的奇偶性、函数的周期性、函数图象的直观性分析转化，函数的单调性往往与不等式的解、方程的解等问题交汇，要注意这些知识的综合运用(3)周期性：若f (xa)f (x)(a0)，则函数f (x)是周期函数，且T2a；若f (xa)，则函数f (x)是周期函数，且T2a；若f (xa)，则函数f (x)是周期函数，且T2a.函数的奇偶性、对称性、周期性，知二断一例：f (x)是奇函数，且最小正周期是2，则f (x2)f (x)f (x)，所以f (x)关于(1,0)对称f (x)是偶函数，且图象关于x1对称，则f (2x)f (x)f (x)，所以f (x)周期是2.2函数图象(1)函数图象的画法：描点法作函数图象，应注意在定义域内依据函数的性质，选取关键的一部分点连接而成图象变换法，包括有平移变换、伸缩变换、对称翻折变换f (x)f (xa)，f (x)f (x)k，f (x) f (x)(0，1)，f (x)Af (x)(A0，A1)，f (|x|)的图象的画法：先画x0时yf (x)，再将其关于y轴对称，得y轴左侧的图象 .|f (x)|的图象画法：先画yf (x)的图象，然后位于x轴上方的图象不变，位于x轴下方的图象关于x轴翻折上去f (ax)f (ax)yf (x)的图象关于xa对称；f (ax)f (ax)yf (x)的图象关于(a,0)点对称yf (x)的图象关于x轴对称的函数图象解析式为yf (x)；关于y轴对称的函数解析式为yf (x)；关于原点对称的函数解析式为yf (x)(2)熟记基本初等函数的图象，以及形如yx的图象：图213指数函数、对数函数、幂函数的图象和性质幂函数yx图象永远过(1,1)，且当0时，在x(0，)上单调递增；当0时，在x(0，)上单调递减4函数与方程(1)方程f (x)0有实根函数yf (x)的图象与x轴有交点函数yf (x)有零点(2)如果函数yf (x)在区间a，b上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f (a)f (b)0，那么，函数yf (x)在区间(a，b)内有零点，即存在c(a，b)，使得f (c)0，这个c也就是方程f (x)0的根(3)若函数yf (x)在区间(a，b)上有f (a)f (b)0，若能找到一个自变量c(a，b)，且f (a)f (c)0或f (c)f (b)0，则函数yf (x)在区间(a，b)上有零点(4)函数yf (x)的零点就是f (x)0的根，所以可通过解方程得零点，或者通过变形转化为两个熟悉函数图象的交点横坐标(5)函数的零点就是函数yf (x)的图象与x轴有交点的横坐标，所以往往利用导数结合极值和单调性画出函数大致图象，并结合零点存在性定理判断零点所在的区间第2步 高频考点细突破函数定义域及其表示【例1】(江苏省南通市如东县、徐州市丰县2017届高三10月联考)函数f (x)lg(x1)的定义域是_. 【导学号：56394008】解析由题意得x1且x1，所以定义域是(1,1)(1，)答案(1,1)(1，)【例2】(江苏省如东高级中学2017届高三上学期第二次学情调研)设函数f (x)则f (2)f (log212)_.解析因为f (2)1log243，f (log212)6，所以f (2)f (log212)9，故应填答案9.答案9规律方法(1)若已知解析式求函数定义域，只需列出使解析式有意义的不等式(组)即可(2)对于复合函数求定义域问题，若已知f (x)的定义域a，b，则复合函数f (g(x)的定义域由不等式ag(x)b得到(3)对于分段函数，知道自变量求函数值或者知道函数值求自变量的问题，应依据已知条件准确找出利用哪一段求解举一反三1(泰州中学20162017年度第一学期第一次质量检测)函数f (x)的定义域为_(0，由题意得12log6x0log6x0x6，即定义域为(0，2(江苏省南通市如东高中2017届高三上学期第二次调研)已知函数f (x)当x(，m时，f (x)的取值范围为16，)，则实数m的取值范围是_2,8x0时，f (x)12xx3，f (x)3(x2)(x2)，x2时，函数单调递减，2x0时，函数单调递增，当x2时，图象在y轴左侧的函数取到极小值16，当x8时，y2x16，当x(，m时，f (x)的取值范围为16，)，则实数m的取值范围是2,8故答案为：2,8函数的性质【例3】(江苏省如东高级中学2017届高三上学期第二次学情调研)已知函数f (x)在定义域2a,3上为偶函数，在0,3上单调递减，并且f f (m22m2)，则m的取值范围是_解析由偶函数的定义可得2a30，则a5，因为m210，m22m2(m1)210，且f (m21)f (m21)，f (m22m2)f (m22m2)，所以m21m22m23，解之得1m.故应填1m.答案【例4】(江苏省泰州中学2017届高三上学期第二次月考)已知奇函数f (x)的图象关于直线x2对称，当x0,2时，f (x)2x，则f (9)_.解析图象关于直线x2对称，f (4x)f (x)，f (x)是奇函数，f (x)f (x)，f (4x)f (x)，即f (4x)f (x)，故f (x8)f (x4)4f (x4)f (x)，进而f (x8)f (x)，f (x)是以8为周期的周期函数f (9)f (1)2.答案2规律方法(1)判断函数的单调性的一般思路：对于填空题，若能画出图象，一般用数形结合法；而对于由基本初等函数通过加、减运算或复合而成的函数，常转化为基本初等函数单调性的判断问题；对于解析式较复杂的，用导数法或定义法(2)对于函数的奇偶性的判断，首先要看函数的定义域是否关于原点对称，其次再看f (x)与f (x)的关系(3)重视对函数概念和基本性质的理解，包括定义域、值域(最值)、对应法则、对称性(包括奇偶性)、单调性、周期性、图象变换、基本初等函数(载体)，研究函数的性质要注意分析函数解析式的特征，同时要注意图象(形)的作用，善于从形的角度研究函数的性质举一反三(泰州中学20162017年度第一学期第一次质量检测文科)已知函数f (x)是奇函数，当x0时，f (x)x23asin，且f (3)6，则a_.5f (3)6f (3)6，所以f (3)93asin6a5.指数函数、对数函数、幂函数【例5】(泰州中学20162017年度第一学期第一次质量检测文科)已知幂函数yf (x)的图象经过点，则f 的值为_. 【导学号：56394009】解析设yf (x)x，则4，因此f 2.答案2【例6】(泰州中学20162017年度第一学期第一次质量检测)函数f (x)loga(x1)1(a1且a1)恒过定点_解析因为loga10，所以恒过定点(2,1)答案(2,1)规律方法(1)对数函数的定义域为x|x0，指数函数的值域y|y0(2)熟练掌握指数、对数的运算性质以及指对互化；熟练掌握指数函数、对数函数的图象和性质，当底数的范围不确定时要分类讨论(3)注意利用指数函数、对数函数、幂函数的图象，灵活运用数形结合思想解题举一反三(泰州中学20162017年度第一学期第一次质量检测)函数f (x)x22(a1)x2在区间1,4上为单调函数，则a的取值范围是_(，05，)由题意得函数f (x)x22(a1)x2的对称轴为xa1，函数f (x)x22(a1)x2在区间1,4上为单调函数，所以a14或a11a5或a0，实数a的取值范围为(，05，)函数的零点【例7】(泰州中学20162017年度第一学期第一次质量检测文科)定义在R上的奇函数f (x)，当x0时，f (x)则函数F(x)f (x)的所有零点之和为_解析由图知，共五个零点，从左到右交点横坐标依次设为x1，x2，x3，x4，x5，满足x1x26，x3，x4x56，因此所有零点之和为.答案规律方法(1)求f (x)的零点值时，直接令f (x)0解方程，当f (x)为分段函数时，要分段列方程组求解；(2)已知f (x)在区间a，b上单调且有零点时，利用f (a)f (b)0讨论；(3)求f (x)的零点个数时，一般用数形结合法；讨论函数yf (x)与yg(x)的图象交点个数，即方程f (x)g(x)的解的个数，一般用数形结合法(4)已知零点存在情况求参数的值或取值范围时，利用方程思想和数形结合思想，构造关于参数的方程或不等式求解举一反三(2017江苏省盐城市高考数学二模)若函数f (x)x2mcos xm23m8有唯一零点，则满足条件的实数m组成的集合为_2由题意，函数为偶函数，在x0处有定义且存在唯一零点，所以唯一零点为0，则02mcos 0m23m80，m4或2，m4代回原式，令函数等于0分离得两个函数画图存在有多个零点，不符题意，仅m2存在唯一零点故答案为2函数模型及其应用【例8】(江苏省泰州中学2017届高三摸底考试)某企业投入81万元经销某产品，经销时间共60个月，市场调研表明，该企业在经销这个产品期间第x个月的利润函数f (x)(单位：万元)为了获得更多的利润，企业将每月获得的利润再投入到次月的经营中记第x个月的利润率为g(x)，例如g(3).(1)求g(10)；(2)求第x个月的当月利润率；(3)求该企业经销此产品期间，哪一个月的当月利润率最大，并求出该月的当月利润率解(1)依题意得f (1)f (2)f (3)f (9)1，g(10).(2)当x1时，g(1).当1x20时，f (1)f (2)f (x1)f (x)1，则g(x)，而x1也符合上式，故当1x20时，g(x).当21x60时，g(x)，所以第x个月的当月利润率为g(x)(3)当1x20时，g(x)是减函数，此时g(x)的最大值为g(1).当21x60时，g(x).，当x40时，g(x)有最大值为.即该企业经销此产品期间，第40个月的当月利润率最大，其当月利润率为.规律方法(1)给出图象的题目要注意从图象中提取信息，这类题目常常是先求解析式，再讨论有关函数的性质或求最值、解不等式等(2)实际应用问题，要注意将背景中涉及题目解答的部分先行翻译为数学解题语言，并将条件和结论与学过的数学知识方法挂靠，依据相关知识与方法解决举一反三(2017江苏省苏、锡、常、镇四市高考数学二模)某科研小组研究发现：一棵水蜜桃树的产量(单位：百千克)与肥料费用x(单位：百元)满足如下关系：4，且投入的肥料费用不超过5百元此外，还需要投入其他成本2x(如投入的人工费用等)百元已知这种水蜜桃的市场价格为16元/千克(即16百元/百千克)，且市场需求始终供不应求记该棵水蜜桃树获得的利润为L(x)(单位：百元)(1)求利润函数 L(x)的关系式，并写出定义域；(2)当投入的肥料费用为多少时，该水蜜桃树获得的利润最大？最大利润是多少？解(1)L(x)16x2x643x(0x5)(单位百元)(2)法一：L(x)67672343，当且仅当x3时取等号当投入的肥料费用为300元时，该水蜜桃树获得的利润最大，最大利润是4 300元法二：L(x)3，令：L(x)0，解得x3.可得x(0,3)时，L(x)0，函数L(x)单调递增；x(3,5时，L(x)0，函数L(x)单调递减当x3时，函数L(x)取得极大值即最大值当投入的肥料费用为300元时，该水蜜桃树获得的利润最大，最大利润是4 300元第3步 高考易错明辨析1混淆对称性与周期性出错若函数f (x)对一切实数x都有f f ，且f (1)4，求f (3)错解函数f (x)对一切实数x都有f f ，函数是周期函数，且周期T2，f (3)f (1)4.错解分析(1)条件“f f ”不是周期性，而是对称性，应是函数关于x1对称(2)若函数f (x)对一切实数x都有f (xa)f (bx)，则其图象关于x对称，若函数f (x)对一切实数x都有f (xa)f (xb)(ab)，则yf (x)是周期函数，且其中一个周期为Tab.正解函数f (x)对一切实数x都有f f ，即f (t)f (2t)，tR，恒成立，函数yf (x)的图象关于x1对称，f (3)f (1)4.2不能正确理解定义域与在某区间上有意义若函数f (x)在区间3，)上有意义，求实数a的取值范围错解由题意，不等式ax20的解集是3，)，于是x3是方程ax20的根，代入求得a.错解分析分不清“函数f (x)的定义域是3，)”与“函数f (x)在区间3，)上有意义”而致误若f (x)在M上有意义，则M是函数f (x)定义域的子集正解因为函数f (x)在区间3，)上有意义，所以，不等式ax20对x3，)恒成立，即a对x3，)恒成立，而，即a.专家预测巩固提升(对应学生用书第8页)1设x，yR，且满足则xy_. 【导学号：56394010】4设f (x)x32xsin x，xR，所以f (x)x32xsin xf (x)，则f (x)为奇函数，又f (x)3x22cos x0，即函数f (x)在R上单调递增，由题意可知，f (x2)2，f (y2)2，所以f (x2)f (y2)220，即f (x2)f (y2)f (2y)，因为函数f (t)单调递增，所以x22y，即xy4，故答案为4.2(改编题)设函数f (x)(aR，e为自然对数的底数)若曲线ysin x上存在一点(x0，y0)，使得f (f (y0)y0，则a的取值范围是_1，e由题设可知y0sin x01,1且f (y0).因为ysin x存在点P(x0，y0)使得f (f (y0)y0，所以存在y00,1使得f (y0)y0，即f (x)x在0,1上有解，也即exxx2a在0,1上有解令h(x)exxx2，x0,1，则当x0,1时，h(x)ex12x0，故h(0)h(x)h(1)，即1ae，故应填答案1，e 12
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