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第7讲 一次函数、反比例函数及二次函数考纲要求考点分布考情风向标1. 会运用函数图象理解和研究函数的性质2结合二次函数的图象，了解函数的零点与方程根的联系，判断一元二次方程根的存在性及根的个数2011 年新课标卷第 12题以两曲线的交点个数为背景，考查二次函数、对数函数的图象及函数的周期性、图象变换等性质；2014 年大纲卷第 15 题二次函数的最值本节复习时，应从“数”与“形”两个角度来把握二次函数的图象和性质，重点解决二次函数在闭区间上的最值问题，此类问题经常与其他知识结合命题，应注重分类讨论思想与数形结合思想的综合应用反比例函数y 的定义域为(，0)(0，)，当k01一次函数一次函数 ykxb，当 k0 时，在实数集 R 上是增函数；当 k0 时，在实数集 R 上是减函数2反比例函数kx时，函数在(，0)，(0，)上都是减函数；当 k0 时，函数在(，0)，(0，)上都是增函数3二次函数解析式的三种形式f(x)a(xh)2k(a0)(1)一般式：f(x)ax2bxc(a0)(2)顶点式：_，顶点为(h，k)(3)两根式：f(x)a(xx1)(xx2)(a0)，x1，x2为二次函数图象与 x 轴的两个交点的横坐标4二次函数的图象及性质解析式f(x)ax2bxc(a0)f(x)ax2bxc(a0)图象开口向上向下顶点对称性函数的图象关于x 对称定义域(，)2ba解析式f(x)ax2 bxc(a0)f(x)ax2 bxc(a0)值域单调性在 x 上单调递减；在 x 上单调递增在 x 上单调递增；在 x 上单调递减(续表)1若一次函数 ykxb 在(，)上是减函数，则点)(k，b)在直角坐标平面的(A上半平面B下半平面C左半平面D右半平面C2函数 f(x)2x26x1 在区间1,1上的最小值是()A9B72C3D1C3若函数 f(x)x22(a1)x2 在区间1,2上是单调函数，则实数 a 的取值范围是_.bxax2bxc 在(，0)上的单调性为_.(，10，)单调递增4函数 yax 和 y 在(0，)上都是减函数，则 y考点 1 二次函数的图象及应用例 1：(1)如图 2-7-1 是二次函数 yax2bxc 图象的一部分，图象过点 A(3,0)，对称轴为 x1.给出下面四个结论：b24ac；2ab1；abc0；5ab.其中正确的是()图 2-7-1ACBDx1，即 1,2ab0，解析：因为图象与 x 轴交于两点，所以 b2 4ac 0 ，即b24ac，正确；对称轴为b2a错误；结合图象，当 x1 时，y0，即 abc0，错误；由对称轴为 x1 知，b2a.又函数图象开口向下，所以a0，所以 5a2a，即 5ab，正确答案：B(2) 设 abc 0 ，二次函数 f(x) ax2 bx c 的图象可能是()ABCD解析：在 A 中，a0，b2a0，b0，c0，abc0，错误；在 B 中，a0，b2a0，b0，c0，abc0，错误；在 C 中，a0，b2a0，b0，c0，abc0，错误；在 Db2a答案：D中，a0， 0，b0，c0，abc0.故选D.【互动探究】1 若 二 次 函 数 f(x) ax2bxc满足 f(x1) f(x2)， 则f(x1x2)()C考点 2 含参数问题的讨论解得 a2 或 a3(舍去)对称轴t 在变化，因此要讨论对称轴相对于该区间的位置关【规律方法】“区间固定对称轴动”以及“对称轴固定区间动”是二次函数中分类讨论的最基本的两种题型，应该引起同学们足够的重视本例中的二次函数是区间 t1,1固定，2a例 3：已知二次函数 f(x)x216xq3.(1)若函数在区间1,1上存在零点，求实数 q 的取值范围；(2)问是否存在常数 t(t0)，当 xt,10时，f(x)的值域为区间 D，且区间 D 的长度为 12t(视区间a，b的长度为 ba)解：(1)f(x)x216xq3 的对称轴是 x8，f(x)在区间1,1上是减函数函数在区间1,1上存在零点，则必有：f(1)0，f(1)0，即116q30，116q30.20q12，即 q 的取值范围是20,12(2)0t10，f(x)在区间0,8上是减函数，在区间8,10上是增函数，且对称轴是 x8.当0t8，8t108，即 0t6 时，在区间t,10上，f(t)最大，f(8)最小，f(t)f(8)12t，即 t215t520.当0t8，8t108，即 6t8 时，在区间t,10上，f(10)最大，f(8)最小，f(10)f(8)12t.解得 t8.当 8t10 时，在区间t,10上，f(10)最大，f(t)最小，f(10)f(t)12t.即 t217t720.解得 t8(舍去)或 t9，t9.【规律方法】本题(2)中的二次函数是“对称轴固定区间动”，即对称轴 x8 固定，而区间t，10不固定，因此需要讨论该区间相对于对称轴的位置关系，即分0t6、6t8 及8t10 三种情况讨论.【互动探究】2(2014 年大纲)函数 ycos2x2sinx 的最大值为_.32思想与方法 运用分类讨论的思想探讨二次函数的最值例题：(2015年湖北)a为实数，函数 f(x)|x2ax|在区间0,1上的最大值记为 g(a)当 a_时，g(a)的值最小解析：因为函数 f(x)|x2ax|，所以分以下几种情况对其进行讨论：当 a0 时，函数 f(x)|x2ax|x2ax 在区间0,1上单调递增，所以 f(x)maxg(a)1a；1二次函数、二次方程、二次不等式间相互转化的一般规律(1)在研究一元二次方程根的分布问题时，常借助于二次函数的图象数形结合来解，一般从：开口方向；对称轴的位置；判别式；端点函数值符号四个方面分析(2)在研究一元二次不等式的有关问题时，一般需借助于二次函数的图象和性质求解2与恒成立有关的问题要注意二次项系数为零的特殊情形对于函数 yax2bxc，要认为它是二次函数，就必须满足 a0，当题目条件中未说明 a0 时，就要讨论 a0 和 a0两种情况
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