第三章 刚体力学习题解答.docx

第三章习题解答3.13 某发动机飞轮在时间间隔t内的角位移为0 = atbP-ctG : radj.s).求t时刻的角速度和角加速度。解：=隼=。+3b/-4c/3/=骞=64一 12c3.14 桑塔纳汽车时速为166km/h,车轮滚动半径为0.26m,发动机转速与驱动轮转速 比为0.909,问发动机转速为每分多少转？解：设车轮半径为R=0.26m,发动机转速为n1,驱动轮转速为n2,汽车速度为 v=166km/ho显然，汽车前进的速度就是驱动轮边缘的线速度，v = 2/r Rh2 = 2万 Rn、 0.909 ,所以：O题3-15图n, =。鬻:霭产=9.24 x 104 rev/? = 1.54x 10 J*ev/min3.15如题315图所示，质量为加的空心圆柱体,质量均匀分布, 其内外半径为门和-2,求对通过其中心轴的转动惯量。解：设圆柱体长为，密度为P，那么半径为r,厚为dr的薄圆筒的质 量dm为：dm = 对其轴线的转动惯量力2为di（）o = r2dm = hp2 冗山r21100r = hp ,24/./dr =团（6 - ）3.17如题317图所示，一半圆形细杆,半径为三，质量为求对过细杆一.端儿*轴的转动惯量。解：如下图，圆形细杆对过O轴且垂直于圆形细杆所在平 面的轴的转动惯量为mR?,根据垂直轴定理人=/、+和问题1题3.17图的对称性知：圆形细杆对过打轴的转动惯量为LmR2,由转2动惯量的可加性可求得：半圆形细杆对过细杆二端轴的转动惯量为：口23.18在质量为M,半径为R的匀质圆盘上挖出半径为I的两个圆孔，圆孔中心在半径R的中点，求剩余局部对过大圆盘中心且与盘面垂直的轴线的转动惯量。解：大圆盘对过圆盘中心。且与盘面垂直的轴线（以下简称。 轴）的转动惯量为/“河川由于对称放置，两个小圆盘对。轴的转动惯量相 等，设为r,圆盘质量的面密度=m分废，根据平行轴定理，/= 一皿2）M + （皿2）（2 =冬+1M/r=i-ir=MR2 -Mr-Mr2 =M(R2-r2-2r4/R2)3.19 转动系统的转动惯量为I=8.0kgm2,转速为s=41.9rad/s,两制动闸瓦对轮的压 力都为392N,闸瓦与轮缘间的摩擦系数为0.4,轮半径为r=0.4m, 间从开始制动到静止需多长时间？解：由转动定理：M = Ia,习题3-19a = = 2* 丝邛 2x.4 = 15.68%/s18.0制动过程可视为匀减速转动，a =Ar = （ol a = 41.9/15.68 = 2.67s3.20 一轻绳绕于r=0.2m的飞轮边缘，以恒力F=98N拉绳，如题3-20图（a）飞轮的转动惯量2,轴承无摩擦。求(1)飞轮的角加速度。绳子拉下5m时，飞轮的角速度和动能。(3)如把重量P=98N的物体挂在绳端，如题3-20图（b）所示，再求上面的结果。解（1）由转动定理得：M r F 0.2x98 1Q 9 . _2 a - - = 39.2rad sI I 0.5题3-20图（2）由定轴转动刚体的动能定理得：A = Ek =-Icer = F/? =490J(0 =0.52x490 j T =44.27 racbs（3）物体受力如下图:aPT=marV = Ja解方程组并代入数据得:a = ra T = T设挖去两个小圆盘后，剩余局部对。轴的转动惯量为r98x9,8x0.2PN + Jg 98x0.22=2.7Srad -s2 2g 2= -Jco2 =-*0.5*33.152 =274.7J223.21现在用阿特伍德机测滑轮转动惯量。用轻线且尽可能润滑轮轴。两端悬挂重物 质量各为mi=0.46kg, m2=0.5kg,滑轮半径为0.05m。自静止始，释放重物后并测得0.5s 内m2下降了 0.75m。滑轮转动惯量是多少？ 解：隔离012、mi及滑轮，受力及运动情况如6 r T图所示。对m2、mi分别应用牛顿第二定律：一 / ipL ri-iam2g-T2 = m2a (1);刀-mg = mxa (2)对滑轮应用转动定理:(T2-T)R = /J3 = la/R (3)质点m2作匀加速直线运动，由运动学公式：y = ar ,:.a = 2ylt2 =2x0.75/5.02 =QMm/s2由 、可求得 乙一(=( -叫)g - (机2 +叫)。，代入(3)中，可求得I =(m2+mi)R2,代入数据:I = (0.04x9.8/0.06 - 0.96) x 0.052 = 1.39x 10-2Agw23.22 质量为m,半径为三的均匀圆盘在水平面上绕中心轴转动，如题3-22图所示。盘与 水平面的动摩擦因数为二，圆盘的初角速度为g,问到停止转动，圆盘共转了多少圈？解：I=-mR2 如图斯,示：dm = 2兀ordrM = jdM = -r/jgdm =rdr -由转动定律:dco dO dOdtT dco =J co de得：；mR2 f cod co =A。2)mgR . dG8g积分得:所以从角速度为。到停止转动，圆盘共转了网汇圈。 16%/g3.23 如下图，弹簧的倔强系数k=2N/m,可视为圆盘的滑轮 半径r=0.05m,质量w/=80g,设弹簧和绳的质量可不计,绳 不可伸长，绳与滑轮间无相对滑动，运动中阻力不计，求1kg 质量的物体从静止开始（这时弹簧不伸长）落下1米时，速 度的大小等于多少（g取lOm/s?）解：以地球、物体、弹簧、滑轮为系统，其能量守恒物 体地桌面处为重力势能的零点，弹簧的原长为弹性势能的零点,那么有:一7 v2 +-J(o2 + - kx2 -m.gh = 02221712Lv = rco J - - mr x = h2解方程得J等得代入数据计算得：v=1.48m/s o 即物体卜.落0.5m的速度为1.48m/s3.24如题3-24图所示，均质矩形薄板绕竖直边转动,初始角速度为4， 转动时受到空气的阻力。阻力垂直于板面，每一小面积所受阻力的大 小与其面积及速度平方的乘积成正比，比例常数为ko试计算经过多 少时间，薄板角速度减为原来的一半，设薄板竖直边长为b,宽为a, 薄板质量为m0 解；如下图，取图示的阴影局部为研究对象题3-24图v = xco df = kvdS = kx?（S bdxdM = Xdf = karbx3dxaa1=dM = ka)1bx3dx = -karbaA004.rdcD ,. d（o 41f 41 d（o 4J 4mdtM kcohaj kba co kba co0 3kba%所以经过T的时间，薄板角速度减为原来的一半。3kbeT o3-25 一个质量为半径为R并以角速度。旋转的飞轮（可看作匀质圆盘），在某一瞬间突破口然彳T一片质量为，的碎片从轮_ 的边缘上飞出，见题3-25图。假定碎片脱离飞轮时的瞬时速度一WU方向正好竖直可上，Qy（1）问它能上升多高？（2）求余下局部的角速度、角动量和转动动能。题3-25图解：（1）碎片以的初速度竖直向上运动。上升的高度：=生=竺2g 2g（2）余下局部的角速度仍为s角动量 L = Jeo = （M m）R2co转动动能 Ek=-（-M-m）R2co23.26 两滑冰运发动，在相距1.5？的两平行线上相向而行。两人质量分别为mA=60kg, mn=70kg,他们的速率分别为VA=7m.s, vti=6m.sl,当二者最接近时，便拉起手来，开始绕质心作圆运动，并保持二者的距离为1.5m。求该瞬时:（1）系统对通过质心的竖直轴的总角动量;（2）系统的角速度;（3）两人拉手前、后的总动能。这一过程中能量是否守恒？mB x c解：如下图，/八60x1.59, 一 921（1） x =mI-x = .j = mm+ m 60 + 70 1313 26L = mAvA(l-x) + tnBvBx = 60x7x21/26 + 70x6x9/13 = 6.30xl02kgm2 sx(2) L = Jeo a)c，代入数据求得：2=8.67%TsT_ _C_ cJc mBx2 + mA(l-x)2（3）以地面为参考系。拉手前的总动能：以=，后+；7温，代入数据得4=2730人拉手后的总动能：包括两个局部：（1）系统相对于质心的动能（2）系统随质心平动的动 能vc =0m/tvA + mBvB _ 70x6-60x770 + 60% =；/ =27301动能不变，总能量守恒（因为两人之间的距离不变，所以两人之间的拉力不做功, 故总动能守恒，但这个拉力的冲量不为0,所以总动量不守恒）。3.27 均匀细棒长为I,质量为小，以与棒长方向相垂直的速度用在光滑 水平面内平动时，与前方一固定的光滑支点。发生完全非弹性碰撞，碰 撞点位于离棒中心一方4处，如题3-27图所示，求棒在碰撞后的瞬时绕过。点垂直于杆所在平面的轴转动的角速度4 O解：如下图：碰撞前后系统对点O的角动量守恒。题3-27图碰撞前后：=?/4碰撞前后:ml212UJ由 A = 4 可求得：。（）=1八。，?题3-28图3.28 如题3-28图所示，一质量为m的小球由一绳索系着,以角 速度so在无摩擦的水平面上，作半径为/-0的圆周运动.如果在 绳的另一端作用一竖直向下的拉力，使小球作半径为山的圆 周运动.试求：（1）小球新的角速度；（2）拉力所作的功. 解：如下图，小球对桌面上的小孔的角动量守恒（1）初态始角动量 口=喏豌；终态始角动量 4=，%由A =4求得：3 = 4gI11（2）拉力作功：W =3.29 质量为0.50 kg,长为0.40 m的均匀细棒，可绕垂直于棒的一 笔 端的水平轴转动.如将此棒放在水平位置，然后任其落下，如题3-29 图所示，求：（1）当棒转过60。时的角加速度和角速度；（2）下11 落到竖直位置时的动能；（3）下落到竖直位置时的角速度.解：设杆长为/,质量为加题3-29图(1)由同转动定理有:代入数据可求得：a = 18.3即&/$由刚体定轴转动的动能定理得：mg-cosO = -ml2co23。二产片 ,代入数据得：/= 7.978/w/sT (也可以用转动 定理求得角加速度再积分求得角速度)(2)由刚体定轴转动的动能定理得：W = Ek Ek = mgh = 0.5x9.8x0.2 = 0.98J,.、 f2E I2x0.98- o c_1(3) 69 = Ai= = 8.573rat/ sV J x0,5x0.423-30如题3-30图所示，A与B两飞轮的轴杆由摩擦啮合器连接，A轮的转动惯量J = 10.0 kg-m2 ,开始时B轮静止，A轮以0=600 rmin的转速转动，然后使A与B连 接，因而B轮得到加速而A轮减速，直到两轮的转速都等于 =200min”为止.求：(1)B轮的转动惯量；(2)在啮合过程中损失的机械能.解：研究对象：A、B系统在衔接过程中, 对轴无外力矩作用，故有Z =常矢= (/ + J2)69 =+ J2G2即： j, =4色二那么代入数据可求得：j, = 20kg M一02题 3-3()图(2) Ek = i (J + J2 -1 (J, + J2) y2 代入数据可求得：=-1.32x104J,负号表示动能损失(减少)。3.31质量为m长为/的匀质杆，其B端放在桌上，A端用手支住，使杆成水平。突然释放A端，在此瞬时，求：杆质 :心的加速度，杆B端所受的力。-厂解：以支点B为转轴，应用转动定理：1mg = jml2j3 ：. 0 =看,质心加速度4=。 =逾,方向向大题331图卜O设杆B端受的力为N,对杆应用质心运动定理：N、,=0,Nx mg = -mac, Nx = m(g-ac) = mg/4N = mg/4,方向向上。