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第四十二讲第四十二讲 空间中的平行关系空间中的平行关系走进高考第一关走进高考第一关 考点关考点关回回 归归 教教 材材1.直线与平面平行的判定定理直线与平面平行的判定定理平面外一条直线与此平面内的一条直线平行平面外一条直线与此平面内的一条直线平行,则该直线与此平则该直线与此平面平行面平行.符号表示符号表示:A ,B ,且且ABA.图形图形:说明说明:(1)直线与平面平行的判定定理具备三个条件直线与平面平行的判定定理具备三个条件:平面外的一条直线、平面内的一条直线、两直线平行平面外的一条直线、平面内的一条直线、两直线平行,三个条三个条件缺一不可件缺一不可.(2)定理充分体现了转化的思想定理充分体现了转化的思想,它将线面平行问题转化为线它将线面平行问题转化为线线平行问题线平行问题.2.平面与平面平行的判定定理平面与平面平行的判定定理一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行,则这两个平面则这两个平面平行平行.符号表示符号表示:A ,B ,AB=P,A,B.图形图形:说明说明:(1)利用判定定理证明两个平面平行利用判定定理证明两个平面平行,必须具备必须具备:有两条直有两条直线平行于另一个平面线平行于另一个平面,这两条直线必须相交这两条直线必须相交.(2)由两个平面平行的判定定理可以得出推论由两个平面平行的判定定理可以得出推论:如果一个平面如果一个平面内有两条相交直线分别平行于另一个平面内的两条直线内有两条相交直线分别平行于另一个平面内的两条直线,那么那么这两个平面平行这两个平面平行.3.直线与平面平行的性质直线与平面平行的性质定理定理:一条直线与一个平面平行一条直线与一个平面平行,则过这条直线的任一平面与则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行此平面的交线与该直线平行.符号表示符号表示:A,A ,=BAB.图形图形:说明说明:注意定理中有三个条件注意定理中有三个条件:直线直线A平面平面,=B,A ,这三个条件缺一不可这三个条件缺一不可.4.平面与平面平行的性质平面与平面平行的性质(1)定理定理:如果两个平行平面同时和第三个平面相交如果两个平行平面同时和第三个平面相交,那么它们那么它们的交线平行的交线平行.符号表示符号表示:,=A,=BAB.图形图形:(2)其他结论其他结论如果两个平面平行如果两个平面平行,那么在一个平面内的任何一条直线都与那么在一个平面内的任何一条直线都与另一个平面平行另一个平面平行.符号表示符号表示:,A A.夹在两个平行平面内的所有平行线段的长度相等夹在两个平行平面内的所有平行线段的长度相等.经过平面外一点经过平面外一点,有且仅有一个平面和已知平面平行有且仅有一个平面和已知平面平行.考考 点点 训训 练练1.(2009福建福建)设设M,N是平面是平面内的两条不同直线内的两条不同直线,L1,L2是平是平面面内的两条相交直线内的两条相交直线,则则的一个充分而不必要条件是的一个充分而不必要条件是( )A.M且且L1B.ML1且且NL2C.M且且ND.M且且NL2解析解析:根据面面平行的判定定理及充要条件的定义根据面面平行的判定定理及充要条件的定义,判断判断B为为的充分不必要条件的充分不必要条件.答案答案:B2.(2009广东广东)给定下列四个命题给定下列四个命题:若一个平面内的两条直线与另一个平面都平行若一个平面内的两条直线与另一个平面都平行,那么这两个那么这两个平面相互平行平面相互平行;若一个平面经过另一个平面的垂线若一个平面经过另一个平面的垂线,那么这两个平面相互垂那么这两个平面相互垂直直;垂直于同一直线的两条直线相互平行垂直于同一直线的两条直线相互平行;若两个平面垂直若两个平面垂直,那么一个平面内与它们的交线不垂直的直那么一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直线与另一个平面也不垂直.其中其中,为真命题的是为真命题的是( )A.和和B.和和C.和和D.和和解析解析:错错,应该为一个平面内的两条相交直线与另一个平面应该为一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行平行,那么这两个平面相互平行那么这两个平面相互平行.错错,两直线可能相交两直线可能相交,也可能异面也可能异面.故正确故正确,选选D.答案答案:D3.在正方体在正方体ABCDA1B1C1D1中中,M是棱是棱A1D1上的动点上的动点,则直则直线线MD与平面与平面A1ACC1的位置关系是的位置关系是( )A.平行平行B.相交相交C.在平面内在平面内D.相交或平行相交或平行解析解析:MD与与AA1相交或平行相交或平行,故选故选D.答案答案:D4.如图如图,ABCDA1B1C1D1是棱长为是棱长为A的正方体的正方体,M、N分别是分别是下底面的棱下底面的棱A1B1,B1C1的中点的中点,P是上底面的棱是上底面的棱AD上上,PQ_.aAPPMNPQ Q3CD一点过 、 的平面交上底面于在上 则解析解析:连结连结AC,易知易知MN平面平面ABCD,MNPQ,又又MNAC,PQAC.2 2:a3答案解读高考第二关解读高考第二关 热点关热点关题型一题型一 平行关系的判定与性质定理的考查平行关系的判定与性质定理的考查例例1已知已知M、N是不重合的直线是不重合的直线,、是不重合的平面是不重合的平面,有下列有下列命题命题:若若M ,N,、MN;若若M ,M,则则;若若=N,MN,则则M且且M;若若M,M,则则.其中真命题有其中真命题有_.解析解析:M ,N,则则M与与N可能平行可能平行,也可能异面也可能异面,故不正确故不正确;M ,M,则有则有与与平行或相交平行或相交,故不正确故不正确;若若=N,MN,则则M可能在平面可能在平面或平面或平面内内,故不正确故不正确;垂直于同一条直线的两个平面平行垂直于同一条直线的两个平面平行,正确正确.真命题有真命题有.答案答案:点评点评:这类关于空间点、线、面位置关系的组合判断类试题是这类关于空间点、线、面位置关系的组合判断类试题是全面考查考生对空间位置关系的判定和性质掌握的程度全面考查考生对空间位置关系的判定和性质掌握的程度,解决解决这类问题的基本思路有这类问题的基本思路有:逐个寻找反例逐个寻找反例,作出否定的判断作出否定的判断,逐逐个进行逻辑证明作出肯定的判断个进行逻辑证明作出肯定的判断;二是结合长方体模型或实际二是结合长方体模型或实际空间位置空间位置(如课桌、教室如课桌、教室)作出判断作出判断,但要注意定理应用准确、但要注意定理应用准确、考虑问题全面细致考虑问题全面细致.变式变式1:设设M表示平面表示平面,A,B表示直线表示直线,给出下列四个命题给出下列四个命题:/ /;/ /b;/ / /;M.abaMbMaaMbMaMaMbMbabab其中正确命题为_解析解析:显然正确显然正确,命题命题,直线直线B有可能在平面有可能在平面M内内,对于命对于命题题,直线直线B可能与平面可能与平面M平行或斜交平行或斜交,或在平面或在平面M内内.答案答案:题型二题型二 证明平行关系证明平行关系例例2如图所示如图所示,在四棱锥在四棱锥PABCD中中,ABC=ACD=90,BAC=CAD=60,PA平面平面ABCD,E为为PD的中点的中点,PA=2AB=2.(1)若若F为为PC的中点的中点,求证求证:PC平面平面AEF;(2)求证求证:CE平面平面PAB.解析解析:(1)PA=CA,F为为PC的中点的中点,AFPC.PA平面平面ABCD,PACD.ACCD,PAAC=A,CD平面平面PAC.CDPC.E为为PD的中点的中点,F为为PC的中点的中点,EFCD,则则EFPC.AFEF=F,PC平面平面AEF.(2)解法一解法一:如图所示如图所示,取取AD的中点的中点M,连接连接EM,CM,则则EMPA,ME 平面平面PAB,PA 平面平面PAB,EM平面平面PAB.在在RTACD中中,CAD=60,AC=AM=2,ACM=60.而而BAC=60,MCAB.MC 平面平面PAB,AB 平面平面PAB,MC平面平面PAB.EMMC=M,平面平面EMC平面平面PAB.CE 平面平面EMC,CE平面平面PAB.解法二解法二:如图所示如图所示,延长延长DC,AB,设它们交于点设它们交于点N,连接连接PN.NAC=DAC=60,ACCD,C为为ND的中点的中点.E为为PD的中点的中点,ECPN.EC 平面平面PAB,PN 平面平面PAB,EC平面平面PAB.点评点评:三种平行关系相互转化的关系三种平行关系相互转化的关系.如如(2)中解法一中解法一,运用的面面平行的性质证明的线面平行运用的面面平行的性质证明的线面平行,这也这也是证线面平行常用的一种方法是证线面平行常用的一种方法.变式变式2:正方形正方形ABCD与正方形与正方形ABEF所在平面相交于所在平面相交于AB,在在AE、BD上各有一点上各有一点P、Q,且且AP=DQ.求证求证:PQ平面平面BCE.证明证明:证法一证法一:如图所示如图所示,作作PMAB交交BE于于M,作作QNAB交交BC于于N,连接连接MN、PQ.正方形正方形ABCD和正方形和正方形ABEF有公共边有公共边AB,AE=BD.又又AP=DQ,PE=QB.又又PMABQN,PMPE QNQB,ABAE DCBDPM/ /QN,即四边形即四边形PMNQ为平行四边形为平行四边形,PQMN.又又MN平面平面BCE,PQ 平面平面BCE,PQ平面平面BCE.证法二证法二:如图所示如图所示,连接连接AQ,并延长交并延长交BC于于K,连接连接EK.AE=BD,AP=DQ,./ /,.APAQ,PEQK/ /EK.,BEC,BEC.APDQPEBQPEBQDQAQADBKBQQKPQPQBEC EKPQ又由得又平面面平面证法三证法三:如图所示如图所示,作作PHEB交交AB于于H,连接连接HQ,AHAP,HBPEAEBD,APDQ,PEBQ,AHAPDQ,HBPEBQ/ /,/ /BC.HQADHQ则即,EBB,/ /BCE,PHQ,BCE.PHHQH BCPHQPQPQ又平面平面而平面平面题型三题型三 存在性问题存在性问题例例3如图所示如图所示,在矩形在矩形ABCD中中,AB=2BC=2A,E为为AB上一点上一点,将将B点沿线段点沿线段EC折起至点折起至点P,连接连接PA、PC、PD,取取PD的中点的中点F,若若AF平面平面PEC.试确定试确定E点位置点位置.解析解析:如图所示如图所示,E为为AB的中点的中点,证明如下证明如下:取取PC的中点的中点G,连连GE、GF.由条件知由条件知GFCD,EACD,GFEA.则则G、E、A、F四点共面四点共面.AF平面平面PEC,平面平面GEAF平面平面PEC=GE,FAGE.则四边形则四边形GEAF为平行四边形为平行四边形,1GFCD,211EACDBA,22.EAB则 为中点变式变式3:(2009江苏调研江苏调研)如图如图,在正三棱柱在正三棱柱ABCA1B1C1中中,点点D在边在边BC上上,ADC1D.(1)求证求证:AD平面平面BCC1B1;( ),/ /.111111B E2EB CA EECADC设 是上的一点 当的值为多少时平面?请给出证明解解:(1)在正三棱柱在正三棱柱ABCA1B1C1中中,CC1平面平面ABC,AD 平平面面ABC,ADCC1.又又ADC1D,CC1C1D=C1,且且CC1和和C1D都在面都在面BCC1B1内内,AD平面平面BCC1B1.(2)由由(1)得得ADBC.在正在正ABC中中,D是是BC的中点的中点.当当 ,即即E为为B1C1的中点时的中点时,A1E平面平面ADC1.事实上事实上,在正三棱柱在正三棱柱ABCA1B1C1中中,四边形四边形BCC1B1是矩形是矩形,且且D、E分别是分别是BC、B1C1的中点的中点,所以所以B1BDE,且且B1B=DE.11B E1EC又又B1BAA1,且且B1B=AA1,DEAA1,且且DE=AA1.所以四边形所以四边形ADEA1为平行四边形为平行四边形,所以所以EA1AD.而而EA1 平面平面ADC1内内,故故A1E平面平面ADC1.笑对高考第三关笑对高考第三关 技巧关技巧关典例如图所示典例如图所示,四边形四边形ABCD为矩形为矩形,BC平面平面ABE,F为为CE上上的点的点,且且BF平面平面ACE.(1)设点设点M为线段为线段AB的中点的中点,点点N为线段为线段CE的中点的中点.求求证证:MN平面平面DAE;(2)求证求证:AEBE.证明证明:(1)证法一证法一:取取DE的中点的中点P,连结连结PA,PN,因为点因为点N为线段为线段CE的中点的中点.所以所以PNDC,且且PN= DC,又四边形又四边形ABCD是矩是矩形形,点点M为线段为线段AB的中点的中点,所以所以AMDC,且且AM= DC,所以所以PNAM,且且PN=AM,故四边形故四边形AMNP是平行四边形是平行四边形,所以所以MNAP.而而AP 平面平面DAE,MN 平面平面DAE,所以所以MN平面平面DAE.1212证法二证法二:BE的中点为的中点为G,连连MG、NG,则则MGAE,NGBC,AE 面面DAE,MG 面面DAE,MG面面DAE.同理同理NGDA,NG面面DAE,NGMG=G,故平面故平面MNG面面DAE.MN 面面MNG,MN平面平面DAE.(2)因为因为BC平面平面ABE,AE 平面平面ABE,所以所以AEBC,又又BF平面平面ACE,AE 平面平面ACE,所以所以AEBF,又又BFBC=B,所以所以AE平面平面BCE,又又BE 平面平面BCE,所以所以AEBE.点评点评:证明线面平行的常用方法有证明线面平行的常用方法有:利用线面平行的判定定利用线面平行的判定定理理;利用面面平行的性质定理利用面面平行的性质定理考考 向向 精精 测测1.已知已知M,N是两条不同的直线是两条不同的直线,、是三个不同的平面是三个不同的平面,下列命题中正确的是下列命题中正确的是( )/ /./ /n ./ / /./ /./ /nmAmBnmmCDmnn答案答案:D解析解析:A错错,平行于同一平面的两条直线可能平行平行于同一平面的两条直线可能平行,也可能相交也可能相交或异面或异面.B错错,垂直于同一平面的两个平面可能平行垂直于同一平面的两个平面可能平行,也可能相交也可能相交.C错错,M,N的关系不确定的关系不确定.D正确正确.,.2PDCBPB3 DC1 PDBC2APBPA1PADADPADABCD已知等腰梯形中为边上一点 且将沿折起 使平面平面(1)证明证明:平面平面PADPCD;(2)试在棱试在棱PB上确定一点上确定一点M,使截面使截面AMC把几何体分成的两部把几何体分成的两部分分VPDCMA:VMACB=2:1;(3)在在M满足满足(2)的情况下的情况下,判断直线判断直线PD是否平行面是否平行面AMC.解解:(1)证明证明:依题意知依题意知:CDAD.又又面面PAD面面ABCD,DC平面平面PAD.又又DC 面面PCD,平面平面PAD平面平面PCD.(2)由由(1)知知PA平面平面ABCD,平面平面PAB平面平面ABCD.在在PB上取一点上取一点M,作作MNAB于点于点N,则则MN平面平面ABCD,设设MN=H,(3)连接连接BD交交AC于于O,因为因为ABCD,AB=2,CD=1,由相似三角形易得由相似三角形易得BO=2OD,O不是不是BD的中点的中点,又又M为为PB的中点的中点,在在PBD中中,OM与与PD不平行不平行,OM所在直线与所在直线与PD所在直线相交所在直线相交,又又OM 平面平面AMC,直线直线PD与平面与平面AMC不平行不平行.课时作业课时作业(四十二四十二) 空间中的平行关系空间中的平行关系一、选择题一、选择题1.设设M,N表示不同的直线表示不同的直线,表示不同的平面表示不同的平面,且且M,N .则则“”是是“ M且且N”的的( )A.充分但不必要条件充分但不必要条件B.必要但不充分条件必要但不充分条件C.充要条件充要条件D.既不充分又不必要条件既不充分又不必要条件答案答案:A解析解析:由由,M,N ,可得可得M,N,由由M,N,M,N ,不能得出不能得出.故选故选A.2.已知两个不同的平面已知两个不同的平面,和两条不重合的直线和两条不重合的直线M,N,有下列有下列四个命题四个命题:若若MN,M,则则N;若若M,M,则则;若若M,MN,N ,则则;若若M,=N,则则MN.其中正确命题的个数是其中正确命题的个数是( )A.0个个 B.1个个 C.2个个 D.3个个答案答案:D解析解析:正确正确,两条平行线中的一条和平面垂直两条平行线中的一条和平面垂直,另一条直线也另一条直线也和平面垂直和平面垂直.正确正确,垂直于同一条直线的两个平面平行垂直于同一条直线的两个平面平行.正确正确,由由M,MN可得可得N,又又N ,则则.不正确不正确,M与与N可能相交可能相交,也可能异面也可能异面.3.如图所示是一正方体的表面展开图如图所示是一正方体的表面展开图,MN和和PB是两条面对角是两条面对角线线,则在正方体中有则在正方体中有( )A.MN平面平面PBDB.MN平面平面PBDC.MN 平面平面PBDD.MN与平面与平面PBD相交但不垂直相交但不垂直解析解析:正方体如图所示正方体如图所示,可知可知MNBD,MN平面平面PBD.故选故选B.答案答案:B4.如图所示如图所示,已知六棱锥已知六棱锥PABCDEF的底面是正六边的底面是正六边形形,PA平面平面ABC,PA=2AB,则下列结论正确的是则下列结论正确的是( )A. PBADB.平面平面PAB平面平面PBCC.直线直线BC平面平面PAED.直线直线PD与平面与平面ABC所成的角为所成的角为45答案答案:D解析解析:若若PBAD,由三垂线定理的逆定理可知由三垂线定理的逆定理可知ABAD,而在而在正六边形正六边形ABCDEF中中DAB=60.A不成立不成立;若平面若平面PAB平面平面PBC,过过A作作AMPB于于M,则则AMBC.PA平面平面ABC,BCPA,BC平面平面PAB,BCAB,而而ABC=120,B不成立不成立;若若BC平面平面PAE,则则BCAE,又又BCAD,AEAD矛盾矛盾,C不成立不成立.5.若平面若平面平面平面,直线直线A平面平面,点点B,则在平面则在平面内与内与过过B点的所有直线中点的所有直线中( )A.不一定存在与不一定存在与A平行的直线平行的直线B.只有两条与只有两条与A平行的直线平行的直线C.存在无数条与存在无数条与A平行的直线平行的直线D.存在唯一与存在唯一与A平行的直线平行的直线答案答案:A解析解析:当直线当直线A在平面在平面内且经过内且经过B点时点时,可使可使A平面平面,但这但这时在平面时在平面内过内过B点的所有直线中点的所有直线中,不存在与不存在与A平行的直线平行的直线,而而在其他情况下在其他情况下,都可以存在与都可以存在与A平行的直线平行的直线,故选故选A.6.下列四个正方体图形中下列四个正方体图形中,A、B为正方体的两个顶点为正方体的两个顶点,M、N、P分别为其所在棱的中点分别为其所在棱的中点,能得出能得出AB平面平面MNP的图形的序的图形的序号是号是( )A. B. C. D.解析解析:中连中连AC,则则ACMN,BCNP,可得平面可得平面ABC平面平面MNP,AB 平面平面ABC,AB平面平面MNP.如图如图(1)连连BD交交MP于于O,可知可知O不是不是BD的中点的中点,AB与与ON不平行不平行.故故AB与与ON相交相交,AB与平面与平面MNP相交相交.如图如图(2)连连BN,由由MBPN可知可知B、M、N、P四点共面四点共面,AB与平与平面面MNP相交相交.中知中知ABNP,AB平面平面MNP.答案答案:B二、填空题二、填空题7.已知已知L,M,N是三条不重合的直线是三条不重合的直线,是三个不重合的平是三个不重合的平面面,给出下列四个命题给出下列四个命题:若若M,M,则则;若直线若直线M,N与与所成的角相等所成的角相等,则则MN;若若=L,M ,N ,M,N是异面直线是异面直线,则则M与与N至多有一至多有一条与条与L平行平行;若若=L,=M,=N,L,则则MN.其中真命题是其中真命题是_.解析解析:错错,M,N的关系可以平行、相交、异面的关系可以平行、相交、异面.故真命题有故真命题有.答案答案:8.(2009江苏江苏)设设和和为不重合的两个平面为不重合的两个平面,给出下列命题给出下列命题:若若内的两条相交直线分别平行于内的两条相交直线分别平行于内的两条直线内的两条直线,则则平平行于行于;若若外一条直线外一条直线L与与内的一条直线平行内的一条直线平行,则则L和和平行平行;设设和和相交一直线相交一直线L,若若内有一条直线垂直于内有一条直线垂直于L,则则和和垂直垂直;直线直线l与与垂直的充分必要条件是垂直的充分必要条件是l与与内的两条直线垂直内的两条直线垂直.上面命题中上面命题中,真命题真命题的序号是的序号是_.(写出所有真命题的写出所有真命题的序号序号)解析解析:由线面、面面平行的判定定理知正确由线面、面面平行的判定定理知正确;需需内有一内有一条直线垂直于条直线垂直于,才和才和垂直垂直;中中内的两条直线必须相交内的两条直线必须相交.答案答案:9.如右图在正四棱柱如右图在正四棱柱ABCDA1B1C1D1中中,E、F、G、H分别分别是棱是棱CC1,C1D1,D1D,DC的中点的中点,N是是BC的中点的中点,点点M在四边形在四边形EFGH及其内部运动及其内部运动,则则M满足条件满足条件_时时,有有MN平平面面B1BDD1.解析解析:连结连结FH,知知FHDD1,又又HNDB.平面平面FHN平面平面D1DBB1,M平面平面FHN时时,MN平面平面B1BDD1,故故MFH时有时有MN平面平面B1BDD1.答案答案:MFH10.在在ABC中中,AB=5,AC=7,A=60,G是重心是重心,过过G的平面的平面与与BC平行平行,AB=M,AC=N,则则MN=_.:2AB AC cosA39,BC39./ / ,ABC,/ /BC.222BCABACBCMNMN解析 根据余弦定理所以因为平面所以,AG2MN,AD3BC2MN39.3GABCDAGBC又 是的重心为与的交点所以则:2393答案三、解答题三、解答题11.(2009天津天津)如图如图,在四棱锥在四棱锥PABCD中中,PD平面平面ABCD,ADCD,DB平分平分ADC,E为为PC的的,ADCD1,DB2 2.中点(1)证明证明PA平面平面BDE;(2)证明证明AC平面平面PDB;(3)求直线求直线BC与平面与平面PDB所成的角的正切值所成的角的正切值.解解:(1)证明证明:连结连结AC,设设ACBD=H,连结连结EH.在在ADC中中,因为因为AD=CD,且且DB平分平分ADC,所以所以H为为AC的中点的中点.又由题设又由题设,E为为PC的中点的中点,故故EHPA.又又EH 平面平面BDE且且PA 平面平面BDE,所以所以PA平面平面BDE.(2)证明证明:因为因为PD平面平面ABCD,AC 平面平面ABCD,所以所以PDAC.由由(1)可得可得,DBAC.又又PDDB=D,故故AC平面平面PBD.(3)解解:由由AC平面平面PBD可知可知,BH为为BC在平面在平面PBD内的射影内的射影,所以所以CBH为直线为直线BC与平面与平面PBD所成的角所成的角.12.(2009江苏淮安江苏淮安)如图如图,在三棱柱在三棱柱BCEADF中中,四边形四边形ABCD是正方形是正方形,DF平面平面ABCD,M、N分别是分别是AB、AC的的中点中点,G是是DF上的一点上的一点.(1)求证求证:GNAC;(2)若若FG=GD,求证求证:GA平面平面FMC.证明证明:(1)连结连结DN,四边形四边形ABCD是正方形是正方形,DNAC.DF平面平面ABCD,AC 平面平面ABCD,DFAC.又又DNDF=D,AC平面平面DNF.GN 平面平面DNF,GNAC.(2)取取DC的中点的中点S,连结连结AS、GS.G是是DF的中点的中点,GSFC,ASCM.又又GS,AS 平面平面FMC,FM、CM 平面平面FMC,GS平面平面FMC,AS平面平面FMC.而而ASGS=S,平面平面GSA平面平面FMC.GA 平面平面GSA,GA平面平面FMC.
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