RJASXXX110308函数的最大（小）值与导数

3.3.3 函数的最值与导数极值反映的是函数在某一点附近的局部性质,而不是函数在整个定义域内的性质。但是我们往往更关心函数在某个区间上哪个值最大，哪个值最小。观察区间a,b上函数y=f (x)的图象，你能找出它的极大值点，极小值点吗？oxdbfcaehgy极大值点 ，ce g极小值点dbf你能说出函数的最大值点和最小值点吗？最大值点 ：a ，最小值点：doxyab)(xfy最小值是f (b).单调函数的最大值和最小值容易被找到。函数y=f(x)在区间a,b上最大值是f (a),图1ox2xb4x1xa3x)(xfy 5xy最大值是f (x3),图2函数y=f (x)在区间a,b上最小值是f (x4).一般地，如果在区间a,b上函数y=f (x)的图象是一条连续不断的曲线，那么它必有最大值和最小值。怎样求函数y=f (x)在区间a ,b内的最大值和最小值？只要把函数y=f (x)的所有极值连同端点的函数值进行比较即可。例1、求函数f(x)=x3-12x+12在0, 3上的 最大值，最小值。 x (-,-2)-2 (-2,2)2 (2,+) +0 -0 +f(x)单调递增28单调递减-4单调递增)(xf例1、求函数f(x)=x3-12x+12在0,3上的 最大值，最小值。解：由上节课的例1知，在0,3上， 当x=2时， f(x)=x3-12x+12有极小值，并且极小值为f (2)=-4.又由于f (0)=12,f (3)=3,因此，函数 f(x)=x3-12x+12在0, 3上的 最大值为12，最小值为-4。求函数y=f(x)在(a,b)内的极值 (极大值与极小值); 将函数y=f(x)的各极值与f(a)、f(b)（即端点的函数值）作比较,其中最大的一个为最大值,最小的一个为最小值. 求函数y=f(x)在a,b上的最大值与最小值的步骤如下练习1、求函数y=5-36x+3x2+4x3在区间 -2,2上的最大值与最小值。因为f(-2)=57, f(1.5)=-28.75, f(2)=-23所以函数的最大值为57，最小值为-28.75解： =-36+6x+12x2=6(2x2+x-6)(xf 令 =0,解得x1=-2 , x2=1.5)(xf 练习2、求函数f(x)=x3-3x2+6x-2在区间 -1,1上的最值。解： =3x2-6x+6=3(x2-2x+2)(xf 因为 在-1,1内恒大于0, )(xf 所以 f(x)在-1,1上是增函数，故当x=-1时，f(x)取得最小值-12；当x=1时，f(x)取得最大值2。例2、已知函数f(x)=-x3+3x2+9x+a;(1)求f(x)的单调递减区间；(2)若f(x)在区间-2,2上的最大值为20，求它在该区间上的最小值。令 0,解得x3)(xf 解: (1) =-3x2+6x+9)(xf 函数f(x)的单调递减区间为 (-,-1) (3,+)oxy-12 3axxxxf93)(23(2) f(-2)=8+12-18+a=2+af(2)=-8+12+18+a=22+af(2)f(-2)于是有22+a=20,解得a=-2f(x)=-x3+3x2+9x-2f(x)在-1,2上单调递增在(-1,3)上 0, )(xf 又由于f(x)在-2,-1上单调递减，即函数f(x)在区间-2,2上的最小值为-7。 f(2)和f(-1)分别是f(x)在区间-2,2上的 最大值和最小值。f(-1)=1+3-9-2=-7,例3、证明：当x0时，xln(1+x)01111)(,0 xxxxfx时当解：设f(x)=x-ln(1+x).即xln(1+x).又因为f(x)在x=0处连续，所以f(x)在x0上单调递增，从而当x0时，有f(x)=x-ln(1+x)f(0)=0练习3:当x1时,证明不等式:.132xx 证:设 ,132)(xxxf ).11 (111)(2xxxxxxf 显然f(x)在1,+)上连续,且f(1)=0.显然,当x1时, ,故f(x)是1,+)上的增函数.0)( xf所以当x1时,f(x)f(1)=0,即当x1时,.132xx 例4、求证22) 1(2) 1(1xxxx32)1 (321) 1(211lnxxxx)0() 1(321) 1(211ln)(32xxxxxxf证明：设)1( 211)1(2xxx22) 1( 2) 1(11)(xxxxxf)1(21)1(22xxxx)12() 1(22xxx2321) 1(xxx在x=1附近 由负到正)(xf令 =0,解得x=1,)(xf当x=1时，f(x)有极小值，这里也是最小值所以当x0时，f(x) f(1)=032)1 (321) 1(211lnxxxx从而小小 结结:求函数y=f(x)在(a,b)内的极值 (极大值与极小值); 将函数y=f(x)的各极值与f(a)、f(b)（即端点的函数值）作比较,其中最大的一个为最大值,最小的一个为最小值. 求函数y=f(x)在a,b上的最大值与最小值的步骤如下