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N 选修4系列N1 选修4-1 几何证明选讲22N1 如图18，O和O相交于A，B两点，过A作两圆的切线分别交两圆于C，D两点，连结DB并延长交O于点E，证明：(1)ACBDADAB；(2)ACAE.图1822证明：(1)由AC与O相切于A，得CABADB，同理ACBDAB，所以ACBDAB.从而，即ACBDADAB.(2)由AD与O相切于A，得AEDBAD，又ADEBDA，得EADABD.从而，即AEBDADAB.结合(1)的结论，得ACAE.22N1如图15，D，E分别为ABC边AB，AC的中点，直线DE交ABC的外接圆于F，G两点若CFAB，证明：(1)CDBC；(2)BCDGBD.图1522证明：(1)因为D，E分别为AB，AC的中点，所以DEBC.又已知CFAB，故四边形BCFD是平行四边形，所以CFBDAD.而CFAD，连结AF，所以四边形ADCF是平行四边形，故CDAF.因为CFAB，所以BCAF，故CDBC.(2)因为FGBC，故GBCF.由(1)可知BDCF，所以GBBD.而DGBEFCDBC，故BCDGBD.12N1 正方形ABCD的边长为1，点E在边AB上，点F在边BC上，AEBF.动点P从E出发沿直线向F运动，每当碰到正方形的边时反弹，反弹时反射角等于入射角，当点P第一次碰到E时，P与正方形的边碰撞的次数为()A8 B6 C4 D312B 本小题主要考查反射原理及三角形相似知识的应用，解题的突破口为确定反射后点P的位置结合点E、F的位置进行作图推理，利用反射过程中平行直线及相似三角形作图可得点P回到E点时与正方形的边碰撞次数为6次，故选B.15N1 (几何证明选讲选做题)如图13所示，直线PB与圆O相切于点B，D是弦AC上的点，PBADBA.若ADm，ACn，则AB_.图1315. 本题考查弦切角定理以及三角形相似知识，解决本题的突破口是利用弦切角定理得到PBAACB，再利用三角形相似求出因为PB是圆的切线，所以PBAACB.又因为PBADBA，所以DBAACB.又因为AA，所以ABDACB，所以，所以AB2ADACmn，所以AB.21 AN1 如图17，AB是圆O的直径，D，E为圆O上位于AB异侧的两点，连结BD并延长至点C，使BDDC，连结AC，AE，DE.求证：EC.图1721A.证明：如图，连结OD，因为BDDC，O为AB的中点，所以ODAC，于是ODBC.因为OBOD，所以ODBB.于是BC.因为点A，E，B，D都在圆O上，且D，E为圆O上位于AB异侧的两点，所以E和B为同弧所对的圆周角，故EB.所以EC.15 B. N1如图16，在圆O中，直径AB与弦CD垂直，垂足为E，EFDB，垂足为F，若AB6，AE1，则DFDB_.图1615B：5 本题考查了射影定理的知识，解题的突破口是找出直角三角形内的射影定理连接AD，在RtABD中，DEAB，所以DE2AEEB5，在RtEBD中，EFDB，所以DE2DFDB5.13N1 如图13所示，已知AB和AC是圆的两条弦，过点B作圆的切线与AC的延长线相交于点D.过点C作BD的平行线与圆相交于点E，与AB相交于点F，AF3，FB1，EF，则线段CD的长为_图1313. 由相交弦的性质可得AFFBEFFC，FC2，又FCBD，即BD，由切割线定理得BD2DADC4DC2，解之得DC.N2 选修4-2 矩阵21 BN2 已知矩阵A的逆矩阵A1，求矩阵A的特征值21 B解：因为A1AE，所以A(A1)1.因为A1，所以A(A1)1，于是矩阵A的特征多项式为f()234.令f()0，解得A的特征值11，24.3C3、N2 函数f(x)的最小正周期是_3 考查二阶矩阵和三角函数的值域，以矩阵为载体，实为考查三角函数的性质，易错点是三角函数的化简f(x)sinxcosx2sin2x2，由三角函数周期公式得，T.N3 选修4-4 参数与参数方程23N3在直角坐标系xOy中，圆C1：x2y24，圆C2：(x2)2y24.(1)在以O为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，分别写出圆C1，C2的极坐标方程，并求出圆C1，C2的交点坐标(用极坐标表示)；(2)求圆C1与C2的公共弦的参数方程23解：(1)圆C1的极坐标方程为2，圆C2的极坐标方程为4cos.解得2，故圆C1与圆C2交点的坐标为，.注：极坐标系下点的表示不唯一(2)(解法一)由得圆C1与C2交点的直角坐标分别为(1，)，(1，)故圆C1与C2的公共弦的参数方程为t.(或参数方程写成y)(解法二)在直角坐标系下求得弦C1C2的方程为x1(y)将x1代入得cos1，从而.于是圆C1与C2的公共弦的参数方程为.23N3已知曲线C1的参数方程是(为参数)，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立坐标系，曲线C2的极坐标方程是2，正方形ABCD的顶点都在C2上，且A，B，C，D依逆时针次序排列，点A的极坐标为.(1)求点A，B，C，D的直角坐标；(2)设P为C1上任意一点，求|PA|2|PB|2|PC|2|PD|2的取值范围23解：(1)由已知可得A，B，C，D，即A(1，)，B(，1)，C(1，)，D(，1)(2)设P(2cos，3sin)，令S|PA|2|PB|2|PC|2|PD|2，则S16cos236sin2163220sin2.因为0sin21，所以S的取值范围是21 CN3在极坐标系中，已知圆C经过点P，圆心为直线sin与极轴的交点，求圆C的极坐标方程21C解：在sin中令0，得1，所以圆C的圆心坐标为(1,0)因为圆C经过点P，所以圆C的半径PC1，于是圆C过极点，所以圆C的极坐标方程为2cos.10N3 在极坐标系中，曲线C1：(cossin)1与曲线C2：a(a0)的一个交点在极轴上，则a_.10. 本题考查直线与圆的极坐标方程，具体的解题思路和过程：把直线与圆的极坐标方程转化为普通方程，求出直线与坐标轴的交点代入圆方程求解直线方程为xy10，与x轴的交点为，圆的方程为x2y2a2，把交点代入得202a2，又a0，所以a. 本题易错一：不会转化，无法把极坐标方程转化为普通方程；易错二：直线与圆的交点实为直线与x轴的交点，如果不会转化，导致计算加大，多走弯路14N3 (坐标系与参数方程选做题)在平面直角坐标系xOy中，曲线C1和C2的参数方程分别为和(t为参数)，则曲线C1与C2的交点坐标为_14(2,1) 利用方程思想解决，C1化为一般方程为：x2y25，C2化为直角坐标方程为：yx1，联立方程组得：即x2x20，解得x11，x22.又由C1中的取值范围可知，交点在第一象限，所以交点为(2,1)15 C. N3 直线2cos1与圆2cos相交的弦长为_15C： 本题考查了极坐标的相关知识，解题的突破口为把极坐标化为直角坐标由2cos1得2x1，由2cos得22cos，即x2y22x，联立得y，所以弦长为.N4 选修4-5 不等式选讲15 AN4 若存在实数x使|xa|x1|3成立，则实数a的取值范围是_15A：2a4 本题考查了不等式解法的相关知识，解题的突破口是理解不等式的几何意义.3表示的几何意义是在数轴上一点x到1的距离与到a的距离之和小于或等于3个单位长度，此时我们可以以1为原点找离此点小于或等于3个单位长度的点即为a的取值范围，不难发现2a4.24N4已知f(x)|ax1|(aR)，不等式f(x)3的解集为x|2x1(1)求a的值；(2)若k恒成立，求k的取值范围24解：(1)由|ax1|3得4ax2.又f(x)3的解集为x|2x1，所以当a0时，不合题意当a0时，x，得a2.(2)记h(x)f(x)2f，则h(x)所以|h(x)|1，因此k1.21 DN4 已知实数x，y满足：|xy|，|2xy|，求证：|y|.21D证明：因为3|y|3y|2(xy)(2xy)|2|xy|2xy|，由题设知|xy|，|2xy|，从而3|y|，所以|y|.24N4已知函数f(x)|xa|x2|.(1)当a3时，求不等式f(x)3的解集；(2)若f(x)|x4|的解集包含，求a的取值范围24解：(1)当a3时，f(x)当x2时，由f(x)3得2x53，解得x1；当2x3时，f(x)3无解；当x3时，由f(x)3得2x53，解得x4；所以f(x)3的解集为x|x1x|x4(2)f(x)|x4|x4|x2|xa|.当x时，|x4|x2|xa|4x(2x)|xa|2ax2a.由条件得2a1且2a2，即3a0.故满足条件的a的取值范围为N5 选修4-7 优选法与试验设计11N5 某制药企业为了对某种药用液体进行生物测定，需要优选培养温度，试验范围定为2963，精确度要求1.用分数法进行优选时，能保证找到最佳培养温度需要的最少试验次数为_117 本题考查优选法中的分数法，以及对斐波那契数列的了解，意在考查考生在分数法中寻找最佳点的次数具体的解题思路和过程：先由区间的间距，确定等分区间的份数，再对应斐波那契数列找出对应的次数试验范围定为2963 ，间距是632934，故应分成34份，刚好对应斐波那契数列的F834，所以保证找到最佳培养温度需要的最少试验次数为817. 本题易错一：对分数法的等分份数不理解，导致无法等分；易错二：对斐波那契数列的不了解，导致无法找到对应的点，求不出要做的试验次数
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