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实数与向量的积实数与向量的积（一）1.知识回顾知识回顾1、判断下列命题真假.（1） 与任一向量平行.（ ） （2）方向相同或相反的非零向量叫做平行向量. （ ） 2、填空： _ABBC _ABACBDCD ACDB 0真真_ABAD 0. )()()(aaaaaaa和作出：，已知非零向量aaaaOABCaaaPQMNBCABOAOC由图知，aaaa3记为：.3aOC 即的方向相同，的方向与显然aa3倍，的长度的的长度是33aa. |3|3|aa MNQMPQPN由图知，)()()(aaaa3记为：.3aPN即的方向相反，的方向与显然aa3. |3|3|aa 问题问题1 问题问题2 由问题1请同学们观察并回答 ：相同向量相加 后， 和的长度与方向有什么变化？，记作的积是一个向量，与向量一般地，实数aa下：它的长度与方向规定如；|) 1 (aa；的方向相同的方向与时，当aa0)2(；的方向相反的方向与时，当aa0000.aa特别地，当或时，定义定义:5.3 实数与向量的积实数与向量的积5.3 实数与向量的积实数与向量的积例例1：ACB32_ACAB _BCAB 5352请同学们做请同学们做 p115第第2题题如图，点A、B、C在一条直线上，且32ACCB ，则例例1：_ACAB _BCAB 如图，点A、B、C在一条直线上，且32ACCB ，则 已知非零向量 ,试作出 和 ,并进行比较.(比较两个向量即比较它们的长度和方向)a)3(2aa)32( aa3a3a6)3(2aa)32( =一般地aa)()(问题问题3 已知非零向量 , 试作出 和 ,并进行比较.a) 32( aaa32 aa5a2a3a)32( aa32 =一般地aaa)(问题问题4 已知非零向量 , ,试作出 和 ,并进行比较.ab)(2baba22 ababa2b2ba22 baba)(2baba22 =一般地baba )(问题问题5运算律运算律设 , 为实数,那么aa)()(aaa)(baba)() 1 () 2()3(2例计算：；a4) 3() 1 (；ababa)( 2)( 3)2(. )23()32() 3(cbacba解：a4) 3() 1 (a)43(；a12原式)2(ababa2233；b5原式) 3(cbacba2332.25cba练习：1 4() 3()a ba bb、计算232mna、若 且3mn b，a b 其中 、mn是已知向量，求 ， ？ 下面请大家看教材P115例1例2之间的内容回答下列问题； (1) 教材中向量共线定理是怎样表述的 . (2) 教材所给出的定理是一个充要条件形式，问(3) 教材中有无对此定理的证明叙述，若有，请其中条件是 ，结论是 ； 说出哪些是证明充分性的，哪些是证明必要性的？5.3 实数与向量的积实数与向量的积 ，使，若有一个实数、对于向量abbaa )0(.共线与的定义知，那么由实数与向量的积ba，共线与若向量)0( aab那么，且|ab，同方向时与当ba；有ab，反方向时与当ba.ab有.) 0(abbaa使，数个实共线，那么有且只有一与也就是说，如果共线的充要条件是与非零向量向量ab.ab，使得有且只有一个实数证明：证明：（1）充分性：）充分性： （2）必要性：）必要性：共线向量的充要条件：定理定理共线的充要条件是与非零向量向量ab.ab，使得有且只有一个实数定理定理0000aabb思考： 为什么规定，如果，则情况会怎样？ 为什么不规定，如果，则情况会怎样？5.3 实数与向量的积实数与向量的积小结0a0b0a0b0a0bbabbaa0ab00a0bab定理作用定理作用 判断两个向量是否平行,实际上就是找出一个实数,使这个实数能够和其中的一个向量把另一个向量表示出来1、若 ， ，此时 与 共线，且数 存在但不唯一。2、若 ， ，此时 与 共线，但数 不存在。3、若 ， ，此时 与 共线，且数 存在， 。 4、要证明向量 、 是否共线。若其中有一个为 ，则可直接说明它们共线；若 ， ，则只须证明存在实数 ，使 即可。练习:（p116练习第4题 1、3小题）判断下列各小题中的向量 与 是否共线：（1） = - 2 , = 2 解：因为 = - ,所以 、 共线。abababee（3） ，21524eea21101eeb解：因为 = 4 ，所以 、 共线。 baababA AD DE EC CB B解：DEADAEBCAB33)( 3BCABAC3.共线与AEACBCA B C 三点共线： AB、 、 三点共线练习12e e 设 、是两个不共线的向量，122,ABete 已知123 ,CBee 若A、B、C三点共线，则求t的值？ABC解：， ， 共线ABBC 与共线，ABBC 即存在实数使得1212122(3 )3eteeeee 23t 6.ABCt故当 ， ，共线时，的值为6t 31A AD DB BC CM MN N613121ABBC思考题：思考题：（）实数与向量 的积还是向量， 与 是共线的；（）运算律暗示我们，化简向量代数式就象计算多项式 区别，直线平行是不包括重合的。小结与回顾小结与回顾aaa一样去合并同类项； （）共线定理的内容和证明思路也是应用该定理解决问题的思路，该定理主要用于证明点共线、求系数、证直线平行等题型问题。但应注意向量平行与直线平行是有作业作业P118. 第第2题（题（1）（）（3）（）（5） 第第4题题
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