高考数学一轮复习 第14单元第78讲 圆锥曲线性质的探讨与几何证明的简单应用课件 理 湘教版

1()了解平行投影的含义，通过圆柱与平面的位置关系，体会平行投影；会证明平面与圆柱截线是椭圆 特殊情形是圆 2(0)1233lllOllOllla通过观察平面截圆锥的情境，体会下面定理：在空间中，取直线 为轴，直线 与 相交于 点，其夹角为 ， 围绕 旋转得到以 为顶点， 为母线的圆锥面，任取平面 ，若它与轴 交角为当 与 平行时，记，则，平面 与圆锥的交线为椭圆；，平面 与圆锥的交线为抛物线；，平面 与圆锥的交线为双曲线通过丹迪林双球探求椭圆的性质，加深对数形结合思想的认识，理解平面与空间的统一关系4 A8B8C8D101.下列对于半径为 的圆在已知平面上的射影的说法错误的是射影为线段时，其长度为射影为椭圆时，其短轴长小于射影为椭圆时，其长轴长为射影为圆时，其直径为 D.ABCD8利用射影的概念推理可知，、 、 均正确，而 选项，射影为圆时，其直径为 ，解析：故选 ABCD2.如果一个三角形的平行投影还是一个三角形，则下列结论正确的是内心的平行投影还是内心重心的平行投影还是重心垂心的平行投影还是垂心外心的平行投影还是外心 在平行投影时，垂直关系与线段长度不一定都能保持不变，但线段的中点投影后仍是线段的中点，所以重心的平行投影解析：还是重心6045 3.lllOllOll在空间中，取直线 为轴，直线 与 相交于点 ，夹角为， 围绕 旋转得到以为顶点， 为母线的圆锥面若平面 与的夹角为，则平面 截圆锥面所得的截线为4560 解析：所以截线为因为，双曲线2604. .设圆柱的底面直径为 ，圆柱的截面与圆柱的轴所成的角为，则截得的椭圆的焦距为222221cos6021122 2 321332.3cbacaabccccc 截得的椭圆的离心率为，而椭圆的短半轴长，而，解析：故所以，所以，即，解得，1_2_.e平行投影基本定理：不平行于投影线的线段，在平面上的投影仍为，线段上的点分线段的比保持，端点仍为端点平面与圆柱面的截线：若一平面 与圆柱面的轴线所成的角为锐角 ，则平面 与圆柱面所截得的曲线是，此椭圆的离心率3(0)_._lllOllOlllcosecos平面与圆锥面的截线：在空间中，取直线 为轴，直线 与 相交于 点，其夹角为 ， 围绕 旋转得到以 为顶点， 为母线的圆锥面任取平面 ，若它与轴 的交角为当 与 平行时，记，则平面 与圆锥的交线为，其离心率 ，平面 与圆锥的交线为；，平面 与圆锥的交线为； ，平面 与圆_.锥的交线为4.01_1_1_.MFeeMeMeMF圆锥曲线的统一定义：平面内，动点到定点 的距离和它到一条定直线的距离之比是常数当 时，点的轨迹是；当 时，点的轨迹是；当时，点的轨迹是 ，其中定点 为焦点，定直线是相应的 cos线段；不变；椭圆；圆锥曲线；椭圆；抛物线；双曲线；椭圆；双曲线； 抛物线【；要点指南】 准线 ().CD1AB一个圆在一个平面上的平行投影可能是 圆 椭圆线段 例圆或椭圆或线段题型一题型一 投影的概念及应用投影的概念及应用 D.若圆所在平面与已知平面垂直时，则其平行投影是线段；若圆所在平面与已知平面平行时，则其正投影是圆；若圆所在平面与已知面相交时，则其平行投影是椭圆解，析：故选 一个平面图形在一个平面上的投影既与投影的方式有关，又与平面图形所在平面与已知平面的位置评析：关系有关/ . 1 .abcdcdababa bcdc d已知 、 、 、 是四条互不重合的直线，且 、 分别为 、 在平面 上的射影，给出下面两组判断：第一组：，；第二组：，分别从两组中各选出一个判断，使一个作条件，另一个作结论，那么写出的一个正确命题是素材 ： .两平行线在一个平面上的射影可能仍平解行析：填.2.abab证明：长半轴长为 ，短半轴长为 的椭圆的面积为例题型二题型二 圆柱截面的性质及应用圆柱截面的性质及应用22coscos .2bbSSbabbSbbbaaSaaa圆椭圆圆椭圆如图，椭圆在圆柱底面的平行投影为圆面，可知圆面的半径为 ，椭圆面与底圆面所成角为 ，则证明所以，：，故 本例是利用圆柱形物体的斜截口是椭圆这一定理，通过恰当构造而实现问题评析：的论证3333 A ( ) B ( )631C ( ) D. ( )442.4lllll如果圆柱轴截面的周长 为定值，那么体积的最大值为素材22323422(0)246.00606 ( ).66rhVllrhlVr hrrrlVl rrVllrrlrrrV设圆柱的底面半径为 ，高为 ，体积为 ，则，因为令，得或，而解析：当时， 取得最大值，最大值，所以是其唯一值为的极点45()ABC 3 D.一圆锥侧面展开图为半圆，平面与圆锥的轴成角，则平面 与该圆锥侧面相交的交线为 圆 抛物线双曲例椭圆题型三题型三 平面与圆锥截面的截线的性质及应用平面与圆锥截面的截线的性质及应用 45 30p因为圆锥侧面展开图为半圆，所以圆锥的母线与轴成角，而解析：故平面 与该圆锥侧面平面 与圆锥的轴成角，相交的交线为椭圆 正确解答本题的关键是准确记忆和运用圆锥的截面与圆锥的轴所成的角与圆锥母线与轴的夹角的大小关系与圆锥跟截面交线的类型的对应关评析：系定理 120() A BC . 3D一个轴截面顶角为的圆锥被一个与其一条母线垂直的平面 不过圆锥面的顶点 所截，则截面与圆锥侧面的交线的形状是椭圆的一部分抛物线的一部分双曲线的一部分素材圆的一部分3036 C.0coscosecoscos因为交线的离心率，所以交线的形状是双曲线的一部分：解析选 12圆柱、圆锥截线问题应注意：选择恰当的轴截面讨论；截面的倾角对截线性质评析：的影响3414.在一个底面半径为 ，高为 的圆锥内有一半径为的球，求球上的点与底面的距离例的最大值题型四题型四 几何证明简单应用几何证明简单应用 由于圆锥与球都是旋转体，所以它们的关系可以用它们的轴截面分析：来分析.1 5 10.355335104133EFOCOCOCOCSBSOCSBFFBFBOC SBSBSOFBEFSFSOOE 要使球上的点到底面的距离最大，则应使球与圆锥面相切如图是轴截面，则的长即为所求的最长距离设球心为 ，则设圆与母线的切点为 ，所以，则，所以，所以，即该球上的点与底面解析：最大值为的距离的 与旋转体有关的接、切问题，通常可以考虑它们的轴截面来解决，这是圆锥面的截线问题的常用处评析：理方法6015 .4 .DandelinS一个顶角为的圆锥面被一平面 所截，双球均在顶点 的下方，且一个半径为，另一个半径为 ，则截线的形状是，其离心率是素材 DandelinSac由双球均在 的同侧，可知截线是椭圆，可计算出椭圆中的参数 ， ，从而求出分析：离心率121212122111221112221112.22 81854.3 1FFcFFEFEFOOO DOCRt O EFRt O EFO EO FEOO FO EO EO E如图所示的轴截面，、是截线椭圆的两个焦点，所以因为，易证，所以，即，以析：所解方法 ：221222212221221227573375272 77.3328 744 32 321.62 3EFEFO EO FccBFBFBCBDCDaCDOOO DOCacea 解析：故椭圆的离心所以，故，所以又因为，所以率椭圆的长轴长，所以，111111773coscos.443360 7214.632coscos30 22cosecosO EFEFO EFEO 因为为截面与轴的夹角所以又因为顶角为，所以，解析：所以截线的离心率方法 ： Dandelin在复习中，对于双球与圆锥面的几何关系，及它们的运算关系要有所了解，此类问题可锻炼空间想象能力与运算能力注意选择一定方向的轴截面，使空间关系平面化，是解决这类问题评析：的关键 (0)lllOllOlll 在空间中，取直线 为轴，直线与 相交于 点，其夹角为 ， 围绕 旋转得到以 为顶点， 为母线的圆锥面，任取平面 ，若它与轴 交角为与 平行，记，证明：当时，平面 与圆锥的交线为备选例题抛物线11 FSmPPFPPAmmAPBABABmPAB如图，设平面 与圆锥内切球相切于点 ，球与圆锥的交线为 ，过该交线的平面为， 与相交于直线 ，在平面 与圆锥的截线上任取一点 ，连接，过点 作，交 于点 ，过点 作的垂线，垂足为 ，连接，则，所以是 与所成二面角的证明：平面角11111111111.cos .co s.1PSQBQBPQAPBRt APBPBPAPQcosRt PBQPBPQPAcosPFPQPFPAPFPAPFm连接点 与圆锥的顶点，与 相交于点，连接，则，在中，在中，所以又因为，即，动点 到定点 的距离等于它到直线证明：故当时，平面与圆锥的交线为的距离，抛物线3() Dandelin定理中的三个结论的证明思路如出一辙，证明时应考虑到他们各自的特征，比如此例中只能作出一个球，而证明结论 截线为双曲线 的双球一个在圆锥面顶点的上面，另一个在顶点评析：的下面1230900()01Scosecos 要善于把圆的有关性质类比推广到球的一些性质定理中的两个角 、 的确切含义要弄清楚当 从到变化时，平面 与圆锥面 交出的曲线形状分析：当时，截面过轴线，此时的截线为两条母线 可视为退化的双曲线 ；当 从到 变化时，截面与圆锥面的两部分均有截线，截线为双曲线，其离心率越来越小，并趋近于 ；190cosecoscosecos当时，截面此时与一条母线平行，截面仅与圆锥面的一部分有截线，截线为抛物线，离心率；当 从 到变化时，截面仅与圆锥面的一部分有截线，截线为抛物线，离心率越来越小，得到的椭圆越来越圆；90()11当时，截面与轴线垂直，得到的截线为圆 可视为退化的椭圆从以上过程可知，圆锥曲线中，抛物线是双曲线与椭圆的极端位置，也是分界线它既是离心率无限趋于的双曲线的极限情况，也是离心率无限趋于的椭圆的极限情况2613()12A. B.3322C. D.23如右图，有一个底面半径为 ，高为 的圆柱形玻璃杯，装满了水，然后缓慢倾倒，当倒出 杯水后，此时水面形状如图，则此时水面与杯壁交出的曲线的离心率为 .ecosecos离心率 的计算为椭圆的半焦距与长轴比，错误地理解为错解分析： 242 2345451.45CFCBCDcosOFCecos由已知可知，故，心错故 离率解：13232264.332 2445452cos45.2EFCDEFCDCFCBCDDFeC 如题图，当倒出 杯水时，倒出的水应是柱体的体积的一半，所以圆柱的体积应为这杯水的 ，所以又，故，即水平面与轴线的夹角正解： 所以为，离心率