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第7课一元二次方程 1定义： 只含有 ，并且未知数的最高次数是 ，这样的整式方程叫做一元二次方程通常可写成如下的一般形式： ，其中a、b、c分别叫做二次项系数、一次项系数和常数项2解法： ； ； ； 要点梳理要点梳理一个未知数一个未知数2ax2bxc0(a、b、c是已知数，是已知数，a0)直接开平方法直接开平方法因式分解法因式分解法配方法配方法公式法公式法3公式： 一元二次方程ax2bxc0的求根公式：4简单的高次方程、二次根式方程的概念、解法： (1)高次方程：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数大于2的整式方程 (2)无理方程：根号内含有未知数的方程 (3)解高次方程的思想是“降次”，即把高次方程通过因式分解、换元等方法转化为一元一次方程或一元二次方程 (4)解无理方程的思想是通过方程左右两边平方、换元等方法去根号转化为整式方程，要注意验根，舍去增根x (b24ac0)b b24ac2a 5二元二次方程组的概念及解法： (1)二元二次方程组：由一个二元一次方程和一个二元二次方程所组成的方程组或由两个二元二次方程组成的方程组叫做二元二次方程组 (2)解二元二次方程组的思想是“消元”，即把多元通过加减、代入、换元等方法转化为一元方程来解，或“降次”利用因式分解转化为二元一次方程组或一元一次方程来解1正确理解并掌握一元二次方程的概念 识别一元二次方程必须抓住三个条件： (1)整式方程；(2)含有一个未知数；(3)未知数的最高次数是2.满足上述三个条件的方程才是一元二次方程，不满足其中任何一个条件的方程都不是一元二次方程，即三个条件缺一不可 在确定方程各项系数时，应把一元二次方程化成一般形式，指明各项系数时不要漏掉前面的符号一元二次方程的一般形式不是唯一的，但习惯上把二次项系数化为正整数 难点正本难点正本 疑点清源疑点清源 2正确使用各种方法解一元二次方程 一元二次方程的解法有四种，在解方程时，要注意灵活选择直接开平方法、因式分解法只适用于特殊形式的方程；而公式法则是最普遍的方法；配方法用的不多，一般根据方程的特征灵活运用 解一元二次方程要根据方程的特点，选择合适的方法解题，但一般顺序为：直接开平方法因式分解法公式法，一般没有特别要求的不用配方法 用直接开平方法解一元二次方程的理论依据是平方根的定义；因式分解法解方程的依据是：若ab0，则a0，或b0，方程的右边一定要化为0，才能用因式分解法求解 运用公式法之前一定要确认两点：其一，该方程是一元二次方程，其二，方程的判别式非负，满足这两点即可使用求根公式 配方法是一种重要的数学方法，它既是恒等变形的重要手段，又是研究相等关系、讨论不等关系的常用方法，在配方前，先将二次项系数a提出来，使括号中的二次项系数化为1，然后通过配方分离出一个完全平方式1(2011嘉兴)一元二次方程x(x1)0的解是() Ax0 Bx1 Cx0或x1 Dx0或x1 解析：x(x1)0，x0或x10，即x0或x1.基础自测基础自测C2(2011南充)方程(x1)(x2)x1的解是() A2 B3 C1,2 D1,3 解析：(x1)(x2)x1， (x1)(x2)(x1)0， (x1)(x3)0. x11，x23.D3(2011江西)已知x1是方程x2bx20的一个根，则方程的另一个根是() A1 B2 C2 D1 解析：当x1时，1b20，b1. x2x20，x11，x22，另一个根是2.C4(2011大理)三角形的两边长分别是3和6，第三边的长是方程 x26x80的一个根，则这个三角形的周长是() A9 B11 C13 D11或13 解析：方程x26x80的根为x2或4，而第三边3x9， 故x4，三角形周长为36413.C5(2011武汉)若x1，x2是一元二次方程x24x30的两个根， 则x1x2的值是() A4 B3 C4 D3 解析：方程x24x30，x11，x23， 所以x1x2(1)(3)3. (或根据根与系数的关系直接得出x1x2 3.) B31 题型一一元二次方程的解法【例 1】 解下列方程： (1)3x2750 解：3x2750，x225，x5，x15，x25. (2)x(x5)24 解：x(x5)24，x25x240，x18，x23.题型分类题型分类 深度剖析深度剖析(3)(y3)(13y)12y2解：(y3)(13y)12y2，y3y239y12y2， 5y28y20，y ， y1 ，y2 .(4)(3x5)25(3x5)40解：(3x5)25(3x5)40， (3x51)(3x54)0， (3x4)(3x1)0， 3x40或3x10， x1 ，x2 .8 10425 4 265 4 265 4 265 13 43 (5)(1997x)2(x1996)21解：解法一：(1997x)2(x1996)210， (1997x)2(x1997)(x1995)0， (x1997)(x1997)(x1995)0， 2(x1997)(x1996)0， x11997，x21996.解法二：因为(1997x)2(x1996)2 (1997x)(x1996)22(1997x)(x1996)， 所以原方程可化为：12(1997x)(x1996)1， 2(1997x)(x1996)0， x11997，x21996.探究提高 解一元二次方程要根据方程的特点选择合适的方法解题，但一般顺序为：直接开平方法因式分解法公式法一般没有特别要求的不用配方法知能迁移1解方程：(1)(2x1)29(用直接开平方法)；解：(2x1)29,2x13， x ，x12，x21.132 (2)x23x40(用配方法)；解：x23x40，x23x4， x23x 4 ，(x )2 ， x ，x ， x11，x24.(3)x22x80(用因式分解法)；解：x22x80，(x4)(x2)0， x40或x20， x14，x22.94 94 32 32 254 52 32 52 (4)x(x1)2(x1)0.解：x(x1)2(x1)0，x2x2x20， x23x20，x . x1 ，x2 .3 1721 3 172 3 172 题型二配方法【例 2】 试说明：代数式2x2x3的值不小于 .解题示范规范步骤，该得的分，一分不丢！解：2x2x32(x2 x)3 2x2 x( )2( )23 2(x )2 3 2(x )2 32(x )2 . 不论x取何实数，2(x )2 0， 2(x )2 . 即代数式2x2x3的值不小于 .12 12 18 238 238 238 238 探究提高 配方法是一种重要的数学方法，它既是恒等变形的重要手段，又是研究相等关系，讨论不等关系的常用方法，在配方前，先将二次项系数2提出来，使括号中的二次项系数化为1，然后通过配方分离出一个完全平方式知能迁移2对于二次二项式x210 x36，小聪同学作出如下结论：无论x取什么实数，它的值都不可能等于11，你是否同意他的说法？说明你的理由 解：不同意小聪的说法 理由如下：x210 x36x210 x2511(x5)21111，当x5时，x210 x36有最小值11.题型三应用方程根的定义解题【例 3】(1)(2010绵阳)若实数m是方程x2 x10的一个根，则m4m4_. 解析： xm, m2 m10， m21 m，m ， 两边平方，得m22 10，m2 8， 再平方，得m42 64，m4 62， 即m4m462. 6210 10 1m 10 1m2 1m2 1m4 1m4 (2)已知a是方程x22009x10的一个根，试求a22008a 值 解：xa，a22009a10， a22008aa1，a212009a， . 原式a1 2008.20092009a 2009a21 1a 1a a2a1a a21 aa 2009aaa 2008aa 探究提高 1.利用方程根的概念，将方程的根代入原方程，再解关于待定系数的方程，就可以求出待定系数的值 2采用整体的思想方法，结合一元二次方程根的定义及分式加减运算的法则可得(2)中代数式的值知能迁移3(1)已知方程x2kx60的一个根是2，求它的另一个根及k的值； 解：x2，42k60，2k2，k1. x2x60，x12，x23. 方程的另一个根是3，k1.(2)已知关于x的二次方程x2mxn0的一个解是2，另一个解是正数，且也是方程(x4)2523x的解你能求出m和n的值吗？ 解：(x4)2523x，x25x360，x14，x29， x2mxn0的两根是2和4， 即 解得 42mn0，164mn0， 2mn4，4mn16， m6，n8. (3)(2010广州)已知关于x的一元二次方程ax2bx10(a0)有两个相等的实数根，求 的值分析：对于(3)，由于这个方程有两个相等的实数根，因此b24a0，可得出a、b之间的关系，然后将 化简后，用含b的代数式表示a，即可求出这个分式的值ab2 a2 2b24 解：ax2bx10(a0)有两个相等的实数根， b24ac0，即b24a0，b24a. . a0， 4.ab2 a2 2b24 ab2a24a4b24 ab2a24ab2 ab2a2 ab2a2 b2a 4aa 题型四与几何问题的综合【例 4】已知三角形两边长分别为2和4，第三边是方程x24x 30的解，求这个三角形的周长 解：解方程x24x30得x11，x23. 又三角形的第三边a的范围是2a0时有两个不相等的实数根，0时有两个相等的实数根但在解题过程中，往往出现只有一个根的现象，这就表明遗失了一个根3规范解答，理解一元二次方程的解法：直接开平方法、配方法、因式分解法、求根公式法的规范步骤，才能避免失根. 方法与技巧1.关于x的一元二次方程ax2bxc0(a0)，当b0时，方程有两个不相等的实数根的条件是“a、c异号”用因式分解法解这个方程ax2c0时，只有当a、c异号，二次式ax2c才是可以分解的；用开平方法解这个方程x2 ，只有当a、c异号时，正数 才有两个互为相反数的平方根因此一元二次方程ax2bxc0(a0)根的判别式b24ac，在a、c异号时，b24ac0，方程一定有两个不相等的实数根思想方法思想方法 感悟提高感悟提高2. 关于x的一元二次方程ax2bxc0(a0) (1)当b0，c0时，只考虑开平方法，x2 ，x ， 其中a、c异号； (2)当c0，b0时，用因式分解法(提取公因式x)，x10，x2 ； (3)当b0，c0时，考虑因式分解(十字分解)法，或利用公式法 在进行以上思考前，使a为正；把a、b、c都整理为整数；约去a、 b、c的公因数3. 解好利用“根的判别式”为工具的有关问题当给出了根的情况的结论，求a、b、c中所含字母的取值或取值范围，先求出并化简根的判别式的表达式，然后根据所给的结论，以0或0或0，再解所得的不等式或方程失误与防范1. 对于最高次项系数含有参数的方程，这并不能断定该方程即为一元二次方程，解题时要分一元一次方程和一元二次方程加以讨论对于二次项系数含有参数的方程，题设已交代了是一元二次方程，不能忽视二次项的系数应为非零实数，这是个隐含条件，最易被忽视任何一个关于x的一元二次方程中有一个隐含条件：即二次项系数a0.2. 正确理解“方程有实根”的含义方程有一个实数根或有两个实数根：如有一个实数根则原方程为一元一次方程；若有两个实数根则原方程为一元二次方程在解题时，要特别注意“方程有实数根”、“有两个实数根”等关键文字，要挖掘出它们的隐含条件，以免陷入关键字的“陷阱”3. 在运用直接开平方法求一元二次方程的解时，容易出现将平方根和算术平方根混淆的错误，使得在解题时出现失根的现象例如将x290变形为x29后，根据平方根的意义得到方程的根应该是x3，而非x3. 用因式分解法解方程时，含有未知数的式子可能为零，所以在解方程时，不能在两边同时除以含有未知数的式子，以免丢根，需通过移项的方式，将方程右边化为0.配方法是指通过配方，利用完全平方式，将一元二次方程左边化成一个含有未知数的整式的平方，方程右边就是一个非负数的形式，然后再用直接开平方法求解因此用配方法解方程必须注意以下几点：一是要注意配方时必须在方程的左右两边同时加上一次项系数绝对值的一半的平方，二是要注意在配方时所配系数必须是一次项系数的绝对值的一半的平方所有的一元二次方程都可以用公式法进行求解，所以一元二次方程有无实数根，就取决于根的判别式的值，即b24ac的大小如果b24ac0，则方程有两个不相等的实数根；如果b24ac0，则方程有两个相等的实数根；如果b24ac0，则方程无实数根完成考点跟踪训练 7
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