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第41课 开放型问题 1常规题的结论往往是唯一确定的，而多数开放题的结论是不确定或不是唯一的，它是给学生有自由思考的余地和充分展示思想的广阔空间2解决此类问题的方法，可以不拘形式，有时需要发现问题的结论，有时需要尽可能多地找出解决问题的方法，有时则需要指出解题的思路等等要点梳理要点梳理1开放型问题的内涵 所谓开放型问题是指已知条件、解题依据、解题方法、问题结论这四项要素中，缺少解题要素两个或两个以上，或者条件、结论有待探求、补充等 难点正本难点正本 疑点清源疑点清源 2开放型问题是特殊的探求问题，它的特殊体现在： (1)探求性：即问题的本身没有明确的题设或结论，需要考生自行判断； (2)答案的多样性：即满足要求的题设或结论有两种或两种以上可能情形； (3)过程的创新性：即解答问题时要突破习惯做法，注重创造能力的考查； (4)思维的发散性：即考察问题时要从多角度入手，全方位发掘问题的本质3开放型问题的解题策略 开放型问题，解题时必须对结论作出正确的判断，同时，不仅仅是结果的多样，而且必须对结果进行合理分析，从而决定取舍这类难度较高的开放型问题，解决它要有扎实的基础知识，良好的发散思维，要仔细审题，善于运用分析、联想、类比、分类等数学思想和方法，并能具备创造性思维，能灵活地用创新意识解决问题1(2011呼和浩特)如果等腰三角形两边长是6 cm和3 cm，那么它的周长是() A9 cm B12 cm C15 cm或12 cm D15 cm 解析：当三角形的三边为6、6、3时，周长为66315； 当三角形三边为6、3、3时，633，不能构成三角形基础自测基础自测D2(2010铁岭)若多项式x2mx4能用完全平方公式分解因式，则m的值可以是() A4 B4 C2 D4 解析：这个完全平方式可以是(x2)2或(x2)2，所以m4.D3(2011铜仁)已知 O1与 O2的半径分别为6 cm、11 cm，当两圆相切时，其圆心距d的值为() A0 cm B5 cm C17 cm D5 cm或17 cm 解析：当两圆内切时，d1165； 当两圆外切时，d11617.D4(2011江西)已知一次函数yxb的图象经过第一、二、三象限，则b的值可以是() A2 B1 C0 D2 解析：因为直线yxb经过第一、二、三象限，b0，故选D.D5如图，在平行四边形 ABCD中(ABBC)，直线EF经过其对角线的交点O，且分别交AD、BC于点M、N，交BA、DC的延长线于点E、F，下列结论：AOBO；OEOF; EAM EBN；EAO CNO，其中正确的是() A. B C D 解析：整个图形是中心对称图形， 有OEOF； 又由ADBC， 得EAMEBN， 正结的结论是、.B题型一条件开放型【例 1】 已知四边形ABCD，ABCD，要得出四边形ABCD是平行四边形的结论，还应具备什么条件？解：如图，当ABCD时，只要具备下列条件之一，便得出四边形ABCD是平行四边形 (1)ADBC；(2)ABCD； (3)AC；(4)BD； (5)AB180； 题型分类题型分类 深度剖析深度剖析探究提高 判断一个四边形是平行四边的基本依据是：平行四边形的定义及其判定定理，而本题告诉的四边形已有一组对边平行的条件，由此可以想到：两组对边分别平行；一组对边平行且相等；一组对边平行，一组对角相等，都能得到平行四边形的结论知能迁移1(2011宜宾)如图，飞机沿水平方向(A、B两点所在直线)飞行，前方有一座高山，为了避免飞机飞行过低，就必须测量山顶M到飞行路线AB的距离MN.飞机能够测量的数据有俯角和飞行距离(因安全因素，飞机不能飞到山顶的正上方N处才测飞行距离)，请设计一个求距离MN的方案，要求： (1)指出需要测量的数据(用字母表示，并在图中标出)； (2)用测出的数据写出求距离MN的步骤解：此题为开放题，答案不唯一，只要方案设计合理，可参照给分 (1)如图，测出飞机在A处对山顶的俯角为，测出飞机在B处对山顶的俯角为，测出AB的距离为d，连接AM、BM. (2)第一步，在RtAMN中， 第二步，在RtBMN中， 其中ANdBN，解得MN .tan MNAN，ANMNtan ； tan MNBN，BNMNtan ； dtan tan tan tan 题型二结论开放型【例 2】 如图，AB是 O的直径， O过AC的中点D，DEBC，垂足为E. (1)由这些条件，你能推出“哪些正确结论”？(要求：不再标注其他字母，找结论的过程中所连辅助线不能出现在结论中，不写推理过程，写出4个结论即可) (2)若ABC是直角，其他条件不变，除上述结论外，你还能推出哪些别的正确结论，并画出图形 要求：写出 6个结论即可，其他要 求同(1) 解题示范规范步骤，该得的分，一分不丢！解：下列结论可供选择：(1)DE是 O的切线； ABBC； AC； DE2BECE； CD2CECB； CCDE90； CE2DE2CD2.(2)若ABC为直角时， CEBE；DEBE；DECE； DEAB；CB是 O的切线；DE AB； ACDE45； CCDE45； CB2CDCA； AB2BC2AC2； 12 CDCACECBDEAB； CDDACEEB. 探究提高 寻找结论的关键是抓住命题的条件及其特点(尤其是运用特殊几何图形的判定和性质)：在几何中诸如相等关系(如线段相等、角相等、两角互余互补、弧相等、成比例线段、勾股弦关系等)，特殊图形(如等腰三角形、直角三角形、平行四边形、等腰梯形等)，两图形的关系(如线段垂直、平行、三角形、全等、相似等)知能迁移2已知ABC内接于 O. (1)当点O与AB有怎样的位置关系时，ACB是直角？ (2)在满足(1)的条件下，过点C作直线交AB于D，当CD与AB有怎样的关系时，ABCACD? (3)画出符合(1)、(2)题意的两种图形，使图形的CD2 cm.解：(1)当点O在AB上(即O为AB的中点)时，ACB是直角 (2)ACB90， 当CDAB时，ABCCBDACD. (3)以AB为直径作 O，在 O上取一点C，连结AC、BC， 得ABC即为所求； 作直径为5 cm的 O，在直径AB上取一点D， 使AD1 cm，BD4 cm， 过D点作CDAB交 O于点C，连接AC、BC即为所求题型三寻求开放型【例 3】 已知两数4和8，试写出第三个数，使三个数中，其中一个数是其余两个数的比例中项，则第三个数是 (只需写出一个) 解：设第三个数为x， 由x248，x232，可知x4 ； 由428x,8x16，可知x2； 由824x,644x，可知x16； 故第三个数为4 或2或16.4 或或2或或162 2 2 知能迁移知能迁移3已知已知x2ax24在整数范围内可以分解因式，则整在整数范围内可以分解因式，则整 数数a的值是的值是 (只需填一个只需填一个)探究提高 由于题中没有明确告知4、8以及所求的第三个数中，哪个数是另两数的比例中项，因此，隐含着多种确定方法这是一种开放型试题，主要考查学生的发散思维能力23，10，5，2题型四存在开放型【例 4】 已知点A(1,2)和B(2,5)，试求出两个二次函数，使它们的图象都经过A、B两点 解：解法一：设抛物线yax2bxc经过点A(1,2)，B(2,5) 则 得3b3a3，即ab1. 设a2，则b1， 将a2，b1代入，得c1， 故所求的二次函数为y2x2x1. 又设a1，则b0， 将a1，b0代入，得c1， 故所求的另一个二次函数为yx21. 2abc，54a2bc， 解法二： 因为不在同一条直线上的三点确定一条抛物线，因此要确定一条抛物线，可以另外再取一点，不妨取C(0,0)， 则 解得 故所求的二次函数为y x2 x. 用同样的方法可以求出另一个二次函数 2abc，54a2bc，c0， ab2，4a2b5， a32，b12，c0， 32 12 探究提高 本题也是一道开放型试题，解题入口宽，但如何用简洁的方法来做，这就体现了不同学生的思维层次，这是一道既考查基本方法又体现灵活性的题目知能迁移4已知一次函数yx4和反比例函数y (k0) (1)k满足什么条件时，这两个函数在同一直角坐标系中的图象有两个交点？ (2)设(1)中的两个交点为A、B，试问AOB是锐角还是钝角？为什么？ 解：(1)解两个函数关系式构成的方程组， 由此可求得：k4且k0. (2)当0k4时，AOB90，是锐角； 当k90，是钝角 yx4，ykx k0 ， 29忽视答案多样性，造成漏解试题在五环图案中，分别填写五个数a、b、c、d、e，如图， 其中a、b、c是三个连续偶数，abc，d、e是两个连续奇数，de，且满足abcde，例如， 请你在0到20之间选择另一组符合条件的数填入图中：易错警示易错警示学生答案展示剖析(1)在0到20之间，符合条件的答案除题例外，还有两组，因题目要求只画一个图，为了完整准确起见，两组答案都应写出，用“或”字连接； (2)正确的解题方法可使答案完整无漏，例如此题中可采用二元一次方程不定解的方法来解答，设最小偶数为x、最小奇数为y，则三个连续偶数为x、x2、x4，两个连续奇数为y、y2据题意，abcde，得xx2x4yy2, 3x62y2，整理得y x2，下面列表表示它的解： 符合条件的解有符合条件的解有 正解正解 或或批阅笔记批阅笔记 解答开放题，注意其答案不唯一，即答案的多样性，满足解答开放题，注意其答案不唯一，即答案的多样性，满足要求的题设或结论有两种或两种以上的情形，不可漏解要求的题设或结论有两种或两种以上的情形，不可漏解. x24681012y5811141720方法与技巧 1. 条件开放型问题：从结论出发，执果索因，逆向推理，逐步探求结论成立的条件或把可能产生结论的条件一一列出，逐个分析 2. 结论开放型问题：从剖析题意入手，充分捕捉题设信息，通过由因导果，顺向推理或联想类比、猜测等，从而获得所求的结论思想方法思想方法 感悟提高感悟提高 3. 条件和结论都开放型：此类问题没有明确的条件和结论，并且符合条件的结论具有多样性，需将已知的信息集中进行分析，探索问题成立所必须具备的条件或特定的条件应该有什么结论，通过这一思维活动得出事物内在联系，从而把握事物的整体性和一般性 总之，对于开放型问题，需要通过观察、比较、分析、综合及猜想，展开发散性思维，充分运用已学过的数学知识和数学方法，经过归纳、类比、联想等推理的手段，得出正确的结论失误与防范 1一个开放题的条件可以不足，也可以多余条件不足时要求学生予以补充，条件多余时要求学生进行选择 2解答开放题时，往往没有一般的解题模式可以遵循，有时需要打破原有的思维模式，从多个不同的角度思考问题，有时发现一个新的解答需要一种新的方法或开拓一个新的研究领域完成考点跟踪训练 41
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