全国卷高考押题精粹试卷理科数学试题及答案

泄露天机2016年高考押题 精粹数学理科本卷共48题，三种题型：选择题、填空题和解答题。选择题30小题，填空题4小题，解答题14小题。 1.已知集合则等于（ ） A. B. C. D.【答案】B【解析】得，2. 已知复数的实部为，则复数在复平面上对应的点位于（ ）A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限【答案】C【解析】试题分析：，则由，得，所以，所以，其在复平面上对应点为，位于第三象限.3.若复数满足,则的实部为（ ）A. B. C. D.【答案】A【解析】由= ,得=,所以的实部为,故选A4.下列函数中，既是奇函数又在区间上是减函数的是（ ）A B. C D 【答案】B【解析】选项C、D不是奇函数， 在上都是增函数，只有选项B符合. 5.若是图象上不同两点,则下列各点一定在图象上的是( )A. B. C. D.【答案】C【解析】因为在图象上,所以 ,所以,因此在图象上,故选C6.双曲线的顶点到渐近线的距离与焦点到渐近线的距离之比为（ ）A. B. C. D.【答案】A【解析】C顶点到渐近线的距离与焦点到渐近线的距离之比为7.在区间内随机取两个实数，则满足的概率是（ ）A. B. C. D.【答案】D【解析】由题意知表示的区域为边长为2的正方形，面积为4，满足的区域即为图中阴影部分，面积为，所以所求概率为，故选D8.执行如图所示的程序框图，输出的结果S的值是（ ） A2 B C3 D【答案】A由程序框图知：；; ;，可知S出现周期为4，当 时，结束循环输出S，即输出的 .9.一个算法的程序框图如右图所示，若输入的x值为2016，则输出的值为 ( ) A.3B.4 C.5D.6【答案】A10.若向量满足，的夹角为60，在上的投影等于 ( )A. B.2 C.D.42【答案】：C【解析】：在上的投影为11.不等式组的解集记为D，有下面四个命题： p1：， p2：，p3：， p4：，其中的真命题是 ( )Ap1，p2 Bp1，p3 Cp1，p4 Dp2，p3【答案】D【解析】可行域如图所示，A(1，3),B(2，1)，所以所以，故p2，p3正确，故答案为D.12.“牟合方盖”是我国古代数学家刘徽在研究球的体积的过程中构造的一个和谐优美的几何体它由完全相同的四个曲面构成,相对的两个曲面在同一个圆柱的侧面上,好似两个扣合(牟合)在一起的方形伞(方盖)其直观图如下左图,图中四边形是为体现其直观性所作的辅助线当其主视图和侧视图完全相同时,它的俯视图可能是（ ）【答案】B【解析】由直观图可知俯视图应为正方形,排除A,C,又上半部分相邻两曲面的交线看得见,在俯视图中应为实线,故选B.13一个几何体的三视图如图2所示(单位：cm)，则该几何体的体积是（ ） A. B. C. D.7【答案】A【解析】该几何体是棱长为2的正方体截去一个三棱锥后所得的多面体，其体积为14.若数列满足（为常数），则称数列为调和数列已知数列为调和数列，且x1x2x20200，则等于（ ）A10 B20 C30 D40【答案】B【解析】数列为调和数列，是等差数列. 又=， . 又.15.九章算术之后，人们学会了用等差数列的知识来解决问题，张丘建算经卷上第22题为：“今有女善织，日益功疾（注：从第2天开始，每天比前一天多织相同量的布），第一天织5尺布，现一月（按30天计）共织390尺布”，则从第2天起每天比前一天多织（）尺布. A B. C. D.【答案】D【解析】设从第2天起每天比前一天多织d尺布m , 则由题意知解得 16.在某次联考测试中，学生数学成绩，若则等于（ ）A0.05 B0.1 C0.15 D0.2【答案】B【解析】由题意知，则由正态分布图象的对称性可知，故选B17由1,2,3,0组成没有重复数字的三位数，其中0不在个位上，则这些三位数的和为（ ） A.2544 B.1332 C.2532 D.1320【答案】A【解析】分两种情况：（1）所有不含0的三位数的和为，(2) 含0且0只能在十位上的三位数的和为，那么可得符合条件的这些三位数之和为.18.已知若=2,则等于（ ）A. B. C.0 D. 1【答案】A【解析】因为,所以 ,所以+=1+=0, 所以19.函数部分图象如图所示，对不同的，若，有，则（ ）A在上是减函数 B在上是减函数 C在上是增函数 D在上是增函数【答案】C【解析】由图可知，又由，知函数的图象关于直线对称，所以由五点法作图，得，所以，则，即，所以，所以，在上，所以在上是增函数，故选C20若，则的值是（ ）A. B. C125 D.【答案】C【解析】令，得；令，得，即又，所以，故选C21.设点、分别是双曲线的右顶点、右焦点,直线交该双曲线的一条渐近线于点若是等腰三角形,则此双曲线的离心率为（ ）A. B. C. D.【答案】D【解析】显然,所以由是等腰三角形得.易知, ,所以,解得 .故选D.22.过抛物线焦点F的直线交其于两点，O为坐标原点若，则的面积为（ ） A. B. C. D.2【答案】【解析】设直线的倾斜角为及，点到准线 的距离为 3，,即，则 ，的面积为 .23.已知圆，圆，椭圆的焦距为，若圆都在椭圆内，则椭圆离心率的范围是（ ）A B C D【答案】B【解析】由题意，得圆的圆心分别为和，半径均为，满足题意的圆与椭圆的临界位置关系如图所示，则知要使圆都在椭圆内，则需满足不等式，所以离心率，故选B24.已知向量、满足,、分别是线段、的中点若,则向量与向量的夹角为（ ）A B C D【答案】A【解析】.由,可得,所以,从而.故选A.25.已知函数满足条件：对于，唯一的，使得.当成立时，则实数( )A. B. C.+3 D.+3【答案】D【解析】由题设条件对于，存在唯一的，使得知在和上单调，得，且.由有，解之得，故，选D.26.函数的图象大致为（ ）【答案】D【解析】当时，所以，排除B、C；当时，由于函数比随的增长速度快，所以随的增大，的变化也逐渐增大，排除A，故选D27.已知定义在上的函数,为其导数,且恒成立，则（ ）A. B. C. D.【答案】C【解析】因为，所以，则由得，即令，则，所以在上递减，所以，即，即，故选C28.若过点与曲线相切的直线有两条,则实数a的取值范围是( )A. B. C. D. 【答案】B【解析】设切点为,则切线斜率=,所以切线方程为,把代入得,整理得,显然,所以,设,则问题转化为直线与函数图象有两个不同交点,由 ,可得在递增,递减,在处取得极大值,结合图象,可得 ,故选B.29.已知四边形的对角线相交于一点,则的最小值是（ ）A. B. C. D.【答案】C【解析】取,则；设,则所以 , 求得,当且时,取到最小值,此时四边形的对角线恰好相交于一点,故选C.30.定义在上的函数对任意都有，且函数的图象关于（1,0）成中心对称，若满足不等式，则当时，的取值范围是（ ）A B C D【答案】D【解析】不妨设，则由，知，即，所以函数为减函数因为函数的图象关于成中心对称，所以为奇函数，所以，所以，即因为，而在条件下，易求得，所以，所以，所以，即，故选D31.已知边长为的正的三个顶点都在球的表面上，且与平面所成的角 为，则球的表面积为_【答案】【解析】设正的外接圆圆心为，易知，在中，故球的表面积为.32.设,当实数满足不等式组时，目标函数的最大值等于2，则的值是_【答案】【解析】根据不等式组画出可行域为图中阴影部分，目标函数可写为，因为，所以，将函数的图象平移经过可行域时，在点处取最大值，此时，所以有，解得.33.已知数列中,对任意的,若满足（为常数）,则称该数列为阶等和数列,其中为阶公和；若满足（为常数）,则称该数列为阶等积数列,其中为阶公积,已知数列为首项为的阶等和数列,且满足；数列为公积为的阶等积数列,且,设为数列的前项和,则 _【答案】【解析】由题意可知,又是4阶等和数列,因此该数列将会照此规律循环下去,同理,又是3阶等积数列,因此该数列将会照此规律循环下去,由此可知对于数列,每12项的和循环一次,易求出,因此中有168组循环结构,故34.用表示自然数的所有因数中最大的那个奇数，例如：9的因数有1,3,9，的因数有1,2,5,10，那么 .【答案】【解析】由的定义易知当为偶数时，且当为奇数时，令，则，即，分别取为并累加得又1，所以，所以令，得35.（本小题满分12分）在中，角所对的边分别为，已知.(1)求；(2)若，的面积，求.【答案】：（1），（2）.【解析】：（1）由，得，即，亦即，.,.（2）由（1）得.由，得.由余弦定理，得，即.,将代入，得，. 36.（本小题满分12分）如图，在中，点在边上，.（1）求的值；（2）若的面积为，求的长.【答案】（1）；（2）【解析】（1）因为，所以.又因为所以所以.（2）在中，由正弦定理得，故.又解得.在中，由余弦定理得37.（本小题满分12分）已知公差不为的等差数列中，且成等比数列.(1) 求数列通项公式；(2) (2)设数列满足，求适合方程的正整数的值.【答案】（1）；（2） 【解析】：(1)设等差数列的公差为，由，得解得或（舍），故 (2)由（1）知，依题有解得 38.（本小题满分12分）设，数列的前项和为，已知，成等比数列.（1）求数列的通项公式；（2）若数列满足，求数列的前项和.【答案】（1）；（2）【解析】(1)由得：，数列是以为首项，2为公差的等差数列，由成等比数列得=(+8)，解得=1，.（2）由(1)可得，即，-可得.39.（本小题满分12分）近年来我国电子商务行业迎来发展的新机遇,2015年双11期间,某购物平台的销售业绩高达918亿人民币.与此同时,相关管理部门推出了针对电商的商品和服务的评价体系.现从评价系统中选出200次成功交易,并对其评价进行统计,对商品的好评率为0.6,对服务的好评率为0.75,其中对商品和服务都做出好评的交易为80次.(1)能否在犯错误的概率不超过0.001的前提下,认为商品好评与服务好评有关？(2)若将频率视为概率,某人在该购物平台上进行的5次购物中,设对商品和服务全好评的次数为随机变量：求对商品和服务全好评的次数的分布列（概率用组合数算式表示）；求的数学期望和方差.（,其中）【答案】（1）能在犯错误的概率不超过0.001的前提下，认为商品好评与服务好评有关； （2）012345 【解析】：（1）由题意可得关于商品和服务评价的22列联表如下：对服务好评对服务不满意合计对商品好评8040120对商品不满意701080合计15050200故能在犯错误的概率不超过0.001的前提下，认为商品好评与服务好评有关.(2)每次购物时,对商品和服务都好评的概率为,且的取值可以是0,1,2,3,4,5. 其中；. 的分布列为：012345由于,则40.（本小题满分12分）某市组织高一全体学生参加计算机操作比赛，等级分为1至10分，随机调阅了A、B两所学校各60名学生的成绩，得到样本数据如下：（1）计算两校样本数据的均值和方差，并根据所得数据进行比较； (2) 记事件为“校学生计算机优秀成绩高于校学生计算机优秀成绩”假设7分或7分以上为优秀成绩，两校学生计算机成绩相互独立根据所给样本数据，以事件发生的频率作为相应事件发生的概率，求事件的概率【答案】（1）（2）.【解析】：（1）从A校样本数据的条形图可知：成绩分别为4分、5分、6分、7分、8分、9分的学生分别有：6人、15人、21人、12人、3人、3人. A校样本的平均成绩为（分），A校样本的方差为. 从B校样本数据统计表可知：B校样本的平均成绩为（分），B校样本的方差为. 因为所以两校学生的计算机成绩平均分相同，又因为，所以A校的学生的计算机成绩比较稳定，总体得分情况比B校好. (2) 记表示事件“A校学生计算机成绩为8分或9分”，表示事件“A校学生计算机成绩为9分”，表示事件“B校学生计算机成绩为7分”，表示事件“B校学生计算机成绩为8分”，则与独立，与独立，与互斥， 由所给数据得，发生的概率分别为， 故 41.（本小题满分12分）如图，已知矩形所在平面垂直于直角梯形所在平面，平面平面=，且，且（1）设点为棱中点，求证：平面；（2）线段上是否存在一点，使得直线与平面所成角的正弦值等于？若存在，试确定点的位置；若不存在，请说明理由【答案】：（1）证明见解析；（2）当点与点重合时，直线与平面所成角的正弦值为，理由见解析【解析】：（1）证明：（方法一）由已知，平面平面，且，则平面，所以两两垂直，故以为原点，分别为轴，轴，轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系则，所以易知平面的一个法向量等于，因为，所以，又平面，所以平面（方法二）由已知，平面平面，且，则平面，所以两两垂直连结，其交点记为，连结，因为四边形为矩形，所以为中点因为为中点，所以，且又因为，且，所以，且=所以四边形是平行四边形，所以.因为平面，平面，所以平面（2）当点与点重合时，直线与平面所成角的正弦值为理由如下：因为，设平面的一个法向量为，由得取，得平面的一个法向量假设线段上存在一点，使得直线与平面所成角的正弦值等于设，则，所以所以，解得或（舍去）因此，线段上存在一点，当点与点重合时，直线与平面所成角的正弦值等于42.（本小题满分12分）正方形与梯形所在平面互相垂直，点在线段上且不与重合（1）当点是中点时，求证：；（2）当平面与平面所成锐二面角的余弦值为时，求三棱锥的体积【答案】：（1）证明见解析；（2）【解析】：（1）由题意：以点为坐标原点，方向为轴，为轴，为轴建立空间直角坐标系，则，平面的一个法向量，即（2）设，故点，设平面的一个法向量，则令，则，易知平面的一个法向量，解得，为的中点，到面的距离，43.（本小题满分12分）已知点是椭圆的右焦点，点、分别是轴、轴上的动点，且满足若点满足（1）求点的轨迹的方程；（2）设过点任作一直线与点的轨迹交于、两点，直线、与直线分别交于点、（为坐标原点），试判断是否为定值？若是，求出这个定值；若不是，请说明理由【答案】（1）；（2）的值是定值，且定值为 【解析】（1）椭圆右焦点的坐标为，由，得 设点的坐标为，由，有，代入，得 （2）(法一)设直线的方程为，、，则， 由，得， 同理得，则 由，得， 则 因此，的值是定值，且定值为 (法二)当时， 、，则， 由 得点的坐标为，则由 得点的坐标为，则 当不垂直轴时，设直线的方程为，、，同解法一，得 由，得，则 因此，的值是定值，且定值为 44.（本小题满分12分）以椭圆的离心率为，以其四个顶点为顶点的四边形的面积等于.（1）求椭圆的标准方程；（2）过原点且斜率不为的直线与椭圆交于两点，是椭圆的右顶点，直线分别与轴交于点，问：以为直径的圆是否恒过轴上的定点？若恒过轴上的定点，请求出该定点的坐标；若不恒过轴上的定点，请说明理由.【答案】（1）（2）以为直径的圆恒过轴上的定点，. 【解析】（1）依题意，得 解得故椭圆的标准方程为. （2），设，则由题意，可得（1），且，.因为三点共线，所以，故有，解得；同理，可得. 假设存在满足题意的轴上的定点，则有，即.因为，所以，即，整理得，又由（1），得，所以，解得或. 故以为直径的圆恒过轴上的定点,. 方法二：（1）同方法一；（2）当直线的斜率不存在时，有，此时以为直径的圆经过轴上的点和； 当直线的斜率存在时，设直线的方程为，联立方程组，解得，.设，又直线的斜率，直线的斜率，因为三点共线，所以，解得得，同理，可得， 假设存在满足题意的轴上的定点，则有，直线的斜率，直线的斜率，所以，故有，即，整理，得，解得或，综合，可知以为直径的圆恒过轴上的定点，. 45.（本小题满分12分）已知函数（）（1）讨论的单调性；（2）若对任意恒成立，求实数的取值范围（为自然常数）；（3）求证：（，）【答案】：（1）当时，增区间为，减区间为；当时，增区间为，减区间为；（2）；（3）见解析【解析】：（1），当时，的单调增区间为，单调减区间为；当时，的单调增区间为，单调减区间为（2）令 若，是增函数，无解若，在上是减函数；在上是增函数，若，在上是减函数，综上所述（3）令（或），此时，所以，由（1）知在上单调递增，当时，即，对一切成立，则有，要证，只需证所以原不等式成立46.（本小题满分12分）已知函数.（常数且）.（1）证明：当时，函数有且只有一个极值点；（2）若函数存在两个极值点，证明：且.【解答】：依题意， 令，则. （1）当时，故，所以在不存在零点，则函数在不存在极值点； 当时，由，故在单调递增. 又，所以在有且只有一个零点. 又注意到在的零点左侧，在的零点右侧，所以函数在有且只有一个极值点. 综上所述，当时，函数在内有且只有一个极值点. （2）因为函数存在两个极值点,（不妨设），所以,是的两个零点，且由（1）知，必有. 令得；令得；令得.所以在单调递增，在单调递减， 又因为，所以必有. 令，解得，此时.因为是的两个零点，所以，. 将代数式视为以为自变量的函数，则.当时，因为，所以，则在单调递增.因为，所以，又因为，所以. 当时，因为，所以，则在单调递减，因为，所以. 综上知，且 47.（本小题满分10分）从下列三题中选做一题(1).选修4-1：几何证明选讲如图所示，两个圆相内切于点，公切线为，外圆的弦，分别交内圆于、两点，并且外圆的弦恰切内圆于点.(1)证明：；TABCDM(2)证明：.【解答】：（1）由弦切角定理可知，, 同理，,所以,所以. （2）连接TM、AM,因为CD是切内圆于点M，所以由弦切角定理知，又由（1）知，所以，又,所以. TABCDM在中,由正弦定理知, ,在中,由正弦定理知, ,因,所以,由知,所以,即, . (2)选修4-4：坐标系与参数方程已知曲线的极坐标方程是以极点为平面直角坐标系的原点,极轴为轴的正半轴,建立平面直角坐标系,直线的参数方程是（为参数）（1）将曲线的极坐标方程化为直角坐标方程；（2）若直线与曲线相交于、两点,且,求直线的倾斜角的值【答案】（1）；（2）或.【解析】（1）由得 , 曲线的直角坐标方程为,即.（2）将代入圆的方程得,化简得 设两点对应的参数分别为、,则 ,或 (3)选修4-5：不等式选讲 设函数的最大值为.（1）求；（2）若，求的最大值.【答案】（1）；（2）1【解析】：（1）当时，；当时，；当时，故当时，取得最大值.（2）因为，当且仅当时取等号，此时取得最大值1. 48.（本小题满分12分）从下列三题中选做一题(1).选修4-1：几何证明选讲在ABC中，AB=AC，过点A的直线与其外接圆交于点P，交BC延长线于点D（1）求证：；（2）若AC=3，求APAD的值【解析】（1）CPD=ABC，D=D，DPCDBA， ，又AB=AC，.（2） ACD=APC，CAP=CAP，APCACD. ，(2)选修44：坐标系与参数方程 在以直角坐标原点为极点，轴的非负半轴为极轴的极坐标系下，曲线的方程是，将向上平移1个单位得到曲线.(1)求曲线的极坐标方程；(2)若曲线的切线交曲线于不同两点,切点为.求的取值范围.【解答】（1）依题,因,所以曲线的直角坐标下的方程为,所以曲线的直角坐标下的方程为,又，所以,即曲线的极坐标方程为.(2)由题令，切线的倾斜角为，所以切线的参数方程为: (为参数). 联立的直角坐标方程得, , 即由直线参数方程中,的几何意义可知, ，因为所以.(解法二)设点，则由题意可知当时，切线与曲线相交，由对称性可知，当时斜线的倾斜角为，则切线MN的参数方程为：（t为参数），与C2的直角坐标联立方程，得，则,因为，所以. (3)选修45：不等式选讲 已知函数,且的解集满足（1）求实数的取值范围；（2）若,为中的最小元素且, 求证：.【解析】：（1）因为所以等价于,由知A是非空集合,所以 ,结合可得,即实数的取值范围是 （2）由（1）知,所以 .