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热门题型题型1 函数与映射的概念题型2 求函数的解析式题型3 求函数的定义域题型4 求函数的值域 题型1 函数与映射的概念例1 (1)下列对应是否是从集合A到B的映射，能否构成函数？A1，2，3，BR，f(1)f(2)3，f(3)4.Ax|x0，BR，f：xy，y24x.AN，BQ，f：xy.Ax|x是平面内的矩形，By|y是平面内的圆，对应关系f：每一个矩形都对应它的外接圆【解题技巧】判断一个对应是不是映射，应紧扣映射的定义，即在对应法则f下对应集合A中的任一元素在B中都有唯的象，判断一个对应是否能构成函数，应判断：（1）集合A与是否为非空数集；（2）f：AB是否为一个映射.变式1. （20xx浙江理7） 存在函数满足：对任意都有（ ）A. B. C. D. 解析 本题考查函数的定义，即一个自变量只能对应一个函数值.对A，取，则当时，；当时，.所以A错；同理B错；对C，取，且，所以C错.故选D. 题型2 求函数的解析式例2 求下列函数的解析式：(1)已知f(1sinx)cos2x，求f(x)的解析式；(2) 已知，求函数的解析式；(3)已知f(x)是一次函数且3f(x1)2f(x1)2x17，求f(x)的解析式；(4) 已知函数满足：,求函数的解析式.（5）已知函求 的表达式.解法一（换元法）：令=t（），则得，所以，即解法二(配凑法）：,即（3）(待定系数法)因为f(x)是一次函数，可设f(x)axb(a0)，3a(x1)b2a(x1)b2x17.即ax(5ab)2x17，因此应有解得故f(x)的解析式是f(x)2x7.（4）分析 本题中除了所要求取的形式，同时还存在另个形式，应通过方程消元的思想，消去的形式，故只需寻求另一个关于和的等量关系式即可.解析 由， 以代替得到， 由联立，求得（5）分析 本题考查分段函数的概念，根据函数对复合变量的要求解题.解析 由可得当 即时, ;当即 时,g 因此 【解题技巧】求函数解析式的常用方法如下：（1）当已知函数的类型时，可用待定系数法求解.（2）当已知表达式为时，可考虑配凑法或换元法，若易将含的式子配成，用配凑法.若易换元后求出，用换元法. 利用换元法求函数解析式时，应注意对新元t范围的限制.（3）若求抽象函数的解析式，通常采用方程组法. 若一个方程中同时出现与其他形式 （如 或 等）时，可用 代替两边所有的x,得到关于与的另一个方程组,解方程程组即可求出的解析式，常称这种方法为方程组法.（4）求函数解析式要注意定义域（5）对于分段函数的形式，不论是求值还是求分段函数表达式，一定要注意复合变量的要求.变式1. 已知函数满足,则的表达式为_.变式2. 已知实数a0函数 若 则a的值为_.解析 当a0时,1-a1.得 解得 .（不符，故舍去）；当a1,1+a1,得2(1+a)+a=-(1-a)-2a解得.综上, . 变式3.（20xx全国II理5）设函数，则（ ）A. B. C. D. 解析 由题意可得，.又由，故有，所以有.故选C. 题型3 求函数的定义域例3 函数的定义域为（ ）A.(-4,-1) B.(-4,1) C.(-1,1) D.(-1,1分析 本题考查对数、分式根式有关的函数定义域的求解【解题技巧】对求函数定义域问题的思路是：（1）先列出使式子有意义的不等式或不等式组；（2）解不等式组；（3）将解集写成集合或区间的形式. 变式1.（20xx江苏5）函数的定义域是 .解析 由题意得，解得，因此定义域为.例4 (1)若函数f(x)的定义域为0，1，求f(2x1)的定义域(2)若函数f(2x1)的定义域为0，1，求f(x)的定义域(3)已知函数yf(2x1)的定义域为1，2，求函数yf(2x1)的定义域【解析】(1)由02x11，得x1，函数f(2x1)的定义域为，1 (3)因为函数yf(2x1)的定义域为1，2，即1x2，所以32x15，所以函数yf(x)的定义域为3，5由32x15，得2x3，所以函数yf(2x1)的定义域为2，3【解题技巧】抽象函数定义域的求法(1)若已知yf(x)的定义域为a，b，则yfg(x)的定义域由ag(x)b，解出(2)若已知yfg(x)的定义域为a，b，则yf(x)的定义域即为g(x)的值域变式1.（20xx全国I理5）函数在单调递减，且为奇函数若，则满足的的取值范围是（ ）A B C D 【解析】因为为奇函数，所以，于是，等价于，又在单调递减，故选D 题型4 求函数的值域1直接法对于常见的基本初等函数，可以根据其性质直接求出其函数的值域一次函数的定义域为R，值域为R；反比例函数的定义域为，值域为；二次函数的定义域为R，当时，值域为；当时，值域为【例1】（1）已知函数,则该函数的值域为_（2）求函数的最大值和最小值【解析】（1），因为所以当时，；当时，所以所给函数的值域为4,8（2），对称轴为综上所述，当时，；当01时，； 当12时，；当时，【评注】二次函数在闭区间上的值域要同时考虑最大值和最小值，一般是通过讨论对称轴与区间的左右位置关系，来确定函数在区间上的大致图像，结合图像寻找函数的最高点与最低点，进一步确定最大值和最小值，一般需要分四种情况讨论，即2单调性法 【例2】已知函数，则该函数的值域是 【解析】此函数的定义域为，且是增函数，当时，函数的值域为【评注】函数解析式中的每个部分的函数在同一区间上同增同减，这个时候可以利用单调性求函数的值域【变式】已知函数，则该函数的值域是 【解析】函数在其定义域上是减函数，当时，故所求函数的值域是3分离常数法 【例3】求函数的值域【解析】，值域为【评注】形如可用分离常数法求值域，值域是；或的函数可用分离常数法求值域对于分子、分母均为二次式的分式函数求值域，也常用分离常数法，将分子降次为一次式后求解若函数化为反比例型函数，由于，则直接知【变式】已知函数，则该函数的值域为 【解析】，值域是4换元法 【例4】已知函数，则该函数的值域是_5三角换元法 【例5】已知函数，则该函数的的值域是 【解析】， 可设，所给函数的值域为【评注】对于被开方数含有平方的模式，可以利用三角函数知识进行三角换元，换元的目的是让式子中的根号去掉，简化式子，方便求解范围，常见的是利用平方关系换元， 其中换元后的范围的限定要以不影响的取值，运算方便为原则 【变式】已知函数则该函数的值域是 【解析】设，则，,，即值域为 6有界性法【例6】求函数的值域【解析】由，得，即函数值域为(1,1【评注】在式中只出现或或或型，可以反解出，即用含的表达式来表述出或或或等，然后利用其范围得到关于的不等式，通过解不等式得到求其值域【变式】已知函数；则该函数的值域是 【解析】由，得，即函数值域为7平方法【例7】已知函数的最大值为M,最小值为m,则的值为 【评注】注意根式的结构特征，平方后根式外边的能抵消，根号里是一个二次函数，可用二次函数求出最值，或由用均值不等式求最大值，典型特征是两个根式被开方数之和为定值，如【变式1】已知函数，则该函数的值域为_【解析】易知，又，故函数的值域是 8判别式法【例8】求函数的值域【评注】原分式函数定义域是全体实数，即对任何实数x都是等式成立，等价于一元二次方程总有两个实数解，只需要判别式为非负数即可；特别应注意的是，关于的方程是类二次方程，只有一元二次方程在实数范围内有解，才能使用判别式，这就是判别式法的基本原理【变式】已知函数，则该函数的值域 【解析】：若有两个实数解，解得且若，符合题意 函数的值域是。9基本不等式法 【例9】（1）求函数的值域（2）若正数满足，则的取值范围是 【解析】（1）由，得，即或 所求函数的值域为（2）由，当且仅当，时取等号【评注】在求值域时若在式中出现这种类型或可化成这种类型的题目就可以用基本不等式求解利用基本不等式求解要做到：一正，二定，三相等【变式1】已知函数，则该函数的最小值为()A3B3 C4 D4【解析】，当且仅当即时取“”号,选B 10分段讨论法【例10】已知函数，则该函数的值域为 【变式】已知函数，则该函数的值域是 【解析】 画出函数图象 ，可得值域为11导数法【例11】已知函数f(x)x3ax2bxc，曲线yf(x)在点x1处的切线l的方程为3xy10，在点x处yf(x)取得极值(1)求a，b，c的值；(2)求yf(x)在区间3，1上的最大值和最小值【解析】(1)由f(x)x3ax2bxc，得f(x)3x22axb由f(1)3，可得2ab0由f（）0，可得4a3b40由，解得a2，b4由于切点的横坐标为1，所以f(1)4，即1abc4，所以c5(2)由(1)可得f(x)x32x24x5，则f(x)3x24x4令f(x)0，得x12，x2当x变化时，f(x)，f(x)的变化情况如下表所示：所以yf(x)在区间3，1上的最大值为13，最小值为【评注】求函数在上的最大值和最小值的步骤：（1）求函数在内的极值；（2）求函数在区间端点的函数值，；（3）将函数的极值与，比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值【高考真题链接】1. (20xx陕西理10）设表示不大于的最大整数，则对任意实数，有（ ）.A. B. C. D. 2. （20xx 湖北理14）设是定义在上的函数，且，对任意，若经过点的直线与轴的交点，则称为关于函数的平均数，记为，例如，当时，可得，即为的算术平均数.当时，为的几何平均数；当时，为的调和平均数；（以上两空各只需写出一个符合要求的函数即可）3. （20xx 陕西理 10）如图所示，某飞行器在千米高空水平飞行，从距着陆点的水平距离千米处下降，已知下降飞行轨迹为某三次函数图像的一部分，则函数的解析式为（ ）.A. B. C. D. 5.（20xx上海理5）已知点在函数的图像上，则的反函数 .6. （20xx江西理2）函数的定义域为（ ）.A B C D7.（20xx江苏理11）已知是定义在上的奇函数.当时，则不等式的解集用区间表示为 .8.（20xx 江西理 2） 函数的定义域为（ ）.A. B. C. D. 8.（20xx 江西理 3）已知函数，若，则（ ）.A. B. C. D. 9.（20xx 山东理3）函数的定义域为( ).A. B. C. D.7.（20xx江苏5）函数的定义域是 . 解析 由题意得，解得，因此定义域为.8.（20xx 重庆理 12）函数的最小值为_.9. (20xx重庆理3）的最大值为（ ）.A. B. C. D. 10.（20xx福建理14）若函数 （ 且 ）的值域是，则实数的取值范围是 11.（20xx浙江理10）已知函数，则 ，的最小值是 解析 利用分段函数表达式，逐步求值. .当时，；当时，.综上，所以，.12（20xx重庆理16）若函数的最小值为5，则实数_.解析 当时，端点值为a，（1）当时，；（2）当时，；（3）当时，；如图所示：由图易知：，解得（舍）或，所以当 时，端点值为 .（1）当时，；（2）当时，；（3）当 时，；如图所示：由图易知： ，解得（舍）或，即.当时，与题意不符，舍.综上所述：或.13.（20xx北京理14）设函数. （1）若，则的最大值为_；（2）若无最大值，则实数的取值范围是_.由图可知：（1）若， ；（2）当时，有最大值；当时， 在时无最大值，且，所以，即的取值范围是.14.（20xx浙江理18）已知，函数，其中 （1）求使得等式成立的的取值范围；（2）（i）求的最小值；（ii）求在区间上的最大值.（2）（i）设函数，则，所以由的定义知，当时，解得；当时，解得.即.（ii）当时，所以在或时取得最大值为；当时，所以在两端点或时取得最大值. ，所以当时，有；当时，有，所以.
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