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第1讲 速算与巧算在进行加减运算时，为了又快又准确，除了要熟练地掌握计算法则外，还需要掌握一些巧算方法。加减法的巧算主要是“凑整”，就是将算式中的数分成若干组，使每组的运算结构都是整十、整百、整千的数，再将各组的结果求和。这种“化零为整”的思想是加减法巧算的基础。一、先讲加法的巧算，加法具有以下两个运算律：加法交换律：两个数相加，交换加数的位置，它们的和不变。即：a+b=b+a其中，a,b各表示任意数字。例如，5+6=6+5一般地，多个数相加，任意改变相加的顺序，其和不变。例如，a+b+c+d=d+b+c+a=其中，a,b,c,d各表示任意一数。加法结合律：三个数相加，先把前两个数相加，再加上第三个数，或者，先把后两个数相加，再与第一个数相加，它们的和不变。即：a+b+c=(a+b)+c=a+(b+c)其中，a,b,c,各表示任意一数。例如：4+9+7=（4+9）+7=4+（9+7）一般地，多个数相加，可先对其中几个数相加，再与其他数相加。把加法交换律和加法结合律综合起来运用，就得到加法的一些巧算方法。1、凑整法。先把加在一起为整十、整百、整千的加数加起来，然后再与其他的数相加。例1：计算（1）23+54+18+47+82（2） 1350+49+68+51+32+16502、借数凑整法有些题目直观上凑数不明显，这时可“借数”凑整。例如，计算976+85，可在85中借出24， 即把85拆分成24+61，这样就可以先用976加上24，“凑”成1000，然后再加61。例2：计算（1）57+64+238+46（2）4993+3996+5997+848二、减法和加减法混合运算的巧算。加、减法有如下一些重要性质：1、在连减或加、减混合运算中，如果算式中没有括号，那么计算时可以带着运算符号“搬家”。例如：a-b-c=a-c-b,a-b+c=a+c-b2、在加、减法混合运算中，去 括号时，如果括号前面是“+”号，那么去掉括号后，括号内的数的运算符号不变，如果括号前面是“-”号，那么去掉括号后，括号内的数的运算符号“+”变为“-”，“-”变为“+”。例如：a+(b-c)=a+b-ca-(b+c)=a-b-ca-(b-c)=a-b+c3、在加、减法混合运算中，添括号时，如果添加的括号前面是“+”号，那么括号内的数原来的运算符号不变，如果添加的括号前面是“-”号，那么括号内的数的原来的运算符号“+”变为“-”，“-”变为“+”。例如：a+b-c=a+（b-c）a-b+c=a-（b+c）a-b-c=a-（b+c）灵活运用这些性质，可得减法或加、减混合运算的一些简便方法。三、分组凑整法例3 计算 （1）875-364-236（2）1847-1928+628-136-64（3）1348-234-76+2234-48-24例4 计算（1）512-382（2）6854-876-97（3）397-146+288-339四、加法中的巧算1.什么叫“补数”？两个数相加，若能恰好凑成整十、整百、整千、整万，就把其中的一个数叫做另一个数的“补数”。如：1+9=10，3+7=10，2+8=10，4+6=10，5+5=10。又如：11+89=100，3367=100，22+78=100，44+56=100，55+45=100，在上面算式中，1叫9的“补数”；89叫11的“补数”，11也叫89的“补数”.也就是说两个数互为“补数”。对于一个较大的数，如何能很快地算出它的“补数”来呢？一般来说，可以这样“凑”数：从最高位凑起，使各位数字相加得9，到最后个位数字相加得10。如： 8765512345， 4680253198，8736212638，下面讲利用“补数”巧算加法，通常称为“凑整法”。2.互补数先加。例1 巧算下面各题：36+87+6499+136101 136197263928解：式=（3664）87 =10087=187 式=（99101）136 =200+136=336 式=（1361639）（97228） =2000+1000=30003.拆出补数来先加。例2 188873 548996 9898203解：式=（188+12）+（873-12）（熟练之后，此步可略）200+861=1061式=（548-4）（9964）=544+1000=1544式=（9898102）（203-102）=10000+101=101014.竖式运算中互补数先加。如：五、减法中的巧算1.把几个互为“补数”的减数先加起来，再从被减数中减去。例 3 300-73-27 1000-90-80-20-10解：式= 300-（73 27） = 300-100=200 式=1000-（90802010） =1000-200=8002.先减去那些与被减数有相同尾数的减数。例4 4723-（723189） 2356-159-256解：式=4723-723-189 =4000-189=3811 式=2356-256-159 =2100-159 =19413.利用“补数”把接近整十、整百、整千的数先变整，再运算（注意把多加的数再减去，把多减的数再加上）。例 5 506-397 323-189 467997 987-178-222-390解：式=5006-400+3（把多减的 3再加上） =109式=323-200+11（把多减的11再加上） =123+11134式=4671000-3（把多加的3再减去） 1464式=987-（178222）-390 987-400-400+10=197六、加减混合式的巧算1.去括号和添括号的法则在只有加减运算的算式里，如果括号前面是“”号，则不论去掉括号或添上括号，括号里面的运算符号都不变；如果括号前面是“-”号，则不论去掉括号或添上括号，括号里面的运算符号都要改变，“+”变“-”，“-”变“+”，即：a（bcd）abcda -（bad）a-b-c-da -（b-c）a-b+c例6 100（102030） 100-（1020+3O） 100-（30-10）解：式=100102030=160式=100-10-20-30=40式=100-301080例7 计算下面各题： 100102030 100-10-20-30 100-3010解：式=100（10+20+30）=10060=160式=100-（1020+30）100-60=40式=100-（30-10）=100-20=802.带符号“搬家”例8 计算 32546-12554解：原式=325-12546+54（325-125）+（4654）=200+100300注意：每个数前面的运算符号是这个数的符号.如+46，-125，+54.而325前面虽然没有符号，应看作是+325。3.两个数相同而符号相反的数可以直接“抵消”掉例9 计算9+2-93解：原式=9-92+3=54.找“基准数”法几个比较接近于某一整数的数相加时，选这个整数为“基准数”。例10 计算 78+768382+77807985640七、乘法中的巧算1.两数的乘积是整十、整百、整千的，要先乘.为此，要牢记下面这三个特殊的等式：52=10 254=100 1258=1000例1 计算123425 125282554解：式=123（425）=12310012300式=（1258）（254）（52）=100010010=10000002.分解因数，凑整先乘。例 2计算 2425 56125 1255325解：式=6（425）=6100=600式=78125=7（8125）=71000=7000式=1255485=（1258）（554）=1000100=1000003.应用乘法分配律。例3 计算 17534175666712+67356752+6解：式=175（34+66）=175100=17500式=67（1235521） 671006700（原式中最后一项67可看成 671）例4 计算 123101 12399解：式=123（1001）=12310012312300123=12423式=123（100-1）=12300-123=121774.几种特殊因数的巧算。例5 一个数10，数后添0； 一个数100，数后添00； 一个数1000，数后添000；以此类推。如：1510=150 15100=1500 15100015000例6 一个数9，数后添0，再减此数； 一个数99，数后添00，再减此数； 一个数999，数后添000，再减此数； 以此类推。如：129120-12108129912001211881299912000-12=11988例7 一个偶数乘以5，可以除以2添上0。如：6530165801165=580。例8 一个数乘以11，“两头一拉，中间相加”。如 22221124442例9 一个偶数乘以15，“加半添0”.2415（24+12）10360因为2415 24（10+5）24（10102）=2410+24102（乘法分配律）2410+24210（带符号搬家）（24+242）10（乘法分配律）例10 个位为5的两位数的自乘：十位数字（十位数字加1）100+25如1515=1（1+1）100+25=2252525=2（2+1）100+25=6253535=3（3+1）100+25=12254545=4（4+1）100+25=20255555=5（5+1）100+25=302565656（6+1）100+25=42257575=7（7+1）100+2556258585=8（8+1）100+25=722595959（9+1）100259025还有一些其他特殊因数相乘的简便算法，有兴趣的同学可参看算得快一书。八、除法及乘除混合运算中的巧算1.在除法中，利用商不变的性质巧算商不变的性质是：被除数和除数同时乘以或除以相同的数（零除外），商不变.利用这个性质巧算，使除数变为整十、整百、整千的数，再除。例11 计算1105330025 44000125解：1105=（1102）（52）22010=22330025（33004）（254）13200100132 44000125=（440008）（1258）35200010003522.在乘除混合运算中，乘数和除数都可以带符号“搬家”。例12 86427548645427=1627=4323.当n个数都除以同一个数后再加减时，可以将它们先加减之后再除以这个数。例13 13959 215-65209024-4822418712-6312-5212解：139+59=（135）9=1892215-65（21-6）5155=3209024-48224（2090-482）241608246718712-6312-5212（187-63-52）127212=64.在乘除混合运算中“去括号”或添“括号”的方法：如果“括号”前面是乘号，去掉“括号”后，原“括号”内的符号不变；如果“括号”前面是除号，去掉“括号”后，原“括号”内的乘号变成除号，原除号就要变成乘号，添括号的方法与去括号类似。即a（bc）=abc 从左往右看是去括号，a（bc）abc 从右往左看是添括号。a（bc）abc例14 1320500250400012585600（286）372162542997729（8181）解： 13205002501320（500250）=132022640400012584000（1258）4000100045600（286）=5600286=2006=120037216254=372（16254）37231242997729（8181）29977298181（299781）（72981）379333要求：1.掌握用“凑整”的方法进行简单的计算 2.根据减法的性质，简化运算。1. 几个数相加，利用移位凑整的方法，将加数中能凑成整十，整百，整千等的数交换顺序，先进行凑整，然后再与其他一些加数相加，得出结果。2. 在加减混合算式与连减算式中，将减数先结合起来，集中一次相减，可简化运算。3. 几个相近的数相加，可以选择其中一个数，最好是整十，整百等的数为“基准数”。再把大于基准数的数写成基准数与一个数的和，小于基准数的数写成基准数与一个数的差，将加法改为乘法计算。4. 几个数相加减时，如果不能直接“凑整”，就可以利用加整减零，减整加零或变更被减数。）例题1 计算 （1）3326+303 （2）574+498方法一：先看做整十，整百，整千的数进行计算。 （1）3326+303 （2）574+498 =3326+300+3 =574+500-2 =3626+3 =1074-2 =3629 =1072方法二：根据“和”的变化规律：一个加数增加多少，另一个加数就减少多少，那么和不变，来进行简算。 （1）3326+303 （2）574+498 =（3326+3）+（303-3 ） =（574-2）+（498+2） =3329+300 =572+500 =3629 =1072特别注意：在计算时，将接近整十，整百，整千的数看成整十，整百，整千的数进行计算，然后根据和不变的规律，多加的要减掉，少加的要补上。例题2 计算 487+321+113+479 方法：487和113，321和479分别可以凑成整百数。我们可以通过交换位置的方法，487+113得600，321+479得800. 487+321+113+479 =（487+113）+（321+479） =600+800=1400特别注意：这道题要运用凑整的思路，将487和113，321和479分别凑成整百数，便于计算。注意：先算的要加括号。例题3 计算 9998+998+98+8方法：本题可采用凑整的方法，将9998，998，98分别凑成10000，1000，100.而凑成这些数可从8里面借用。 9998+998+98+8 =（9998+2）+（998+2）+（98+2）+2 = _(接下来你们来试一下) =特别注意: 对于接近整百，整千的数，应先将其凑成整数，然后再将多加的数从后面去掉。例题4计算 674+367-174方法：根据带符号“搬家”的规则，把能凑整的数先进行计算。674+367-174=674-174+367=500+367=867特别注意：为了凑数，有时需要带符号“搬家”，这样会使计算简便。#待定 例题5计算 874-（379+274）+579方法：在做这道题时，可以先将874-（379+274）改写成连减的形式，即874-379-274。然后根据带符号“搬家”的规则，先算能凑整的数。874-（379+274）+579= （改成连减的形式）= （带符号“搬家”，先算能凑整的数）= 特别注意：通常情况下，根据减法的性质，可以把减去两个数的和改写成连减的形式，再把能凑整的数先进行计算。 速算与巧算 小结知识点 重点 难点1. 加法的简便运算.(1) A+B=B+A;(2) (A+B)+C=A+(B+C);2. 减法的简便运算.(1)A-B-C=A-(B+C);(2)A-B+C=A-(B-C).加减法同级运算，括号外面是减号的，添上或去掉括号，括号里的符号：加号要变成减号、减号要变成加号。当所有括号都去掉后，可以将数与前面的符号一起移动，第一个数前面为加号。3. 乘法的简便运算。（1） AB=BA;（2） ABC=ABC;（3） (AB)C=ACBC;4. 除法的简便运算.(1) ABC=A(BC);(2) ABC=A(BC);(3) AB=(AC)(BC)乘除法同级运算，括号外面是除号的，添上或去掉括号，括号里的符号：乘号要变成除号、除号要变成乘号。当所有括号都去掉后,可以将数与前面的符号一起移动，第一个数前面为乘号。例题精讲例1 25+53+75+78+47=?例2 91+90+88+92+93+84+85+95+97=?例3 9999+4+97+998+95+7=?例4 1200-856-144=?例5 7869-(234+869)=?例6 1943-(132-57)=?例7 459+78-259+22=?例8 936+(296-636)-596=?例9 3333330000-5769=?例10 1-2+3-4+5-6+7-8+9-10+11-12+13-14+15=?例11 (12578)8=?例12 (125+78)8=?例13 250641259=?例14 95025=?例15 8442(2167)=?例16 7600(3825)=?例17 29150+950=?例18 999222+333334=?例19 765963963-765765963=?例20 2239+239999=?例21 760(38125)80=?例22 (2001+20002002)(20012002-1)=?例23 (1234+2341+3421+4123)5=?例题精讲（答案）例1 25+53+75+78+47=?解 原式=(25+75)+(53+47)+78=100+100+78=278例2 91+90+88+92+93+84+85+95+97=?解 原式=909+(1+0-2+2+3-6-5+5+7)=810+5=815例3 9999+4+97+998+95+7=?解 原式=(9999+1)+(97+3)+(998+2)+(95+5)=10000+100+1000+100=11200例4 1200-856-144=?解 原式=1200-(856+144)=1200-1000=200例5 7869-(234+869)=?解 原式=7869-234-869=7869-869-234=7000-234=6766例6 1943-(132-57)=?解 原式=1943-132+57=1943+57-132=2000-132=1868例7 459+78-259+22=?解 原式=(459-2590)+(78+22)=200+100=300例8 936+(296-636)-596=?解 原式=936+296-636-596=936-636-596+296=(936-636)-(596-296)=300-300=0例9 3333330000-5769=?解 原式=3333300000+(30000-5769)=3333300000+24231=3333324231例10 1-2+3-4+5-6+7-8+9-10+11-12+13-14+15=?解 原式=1+(3-2)+(5-4)+(7-6)+(9-8)+(11-10)+(13-12)+(15-14)=8例11 (12578)8=?解 原式=125788=125878=100078=78000例12 (125+78)8=?解 原式=1258+788=1000+624=1624例13 250641259=?解 原式=(2504)(1258)(92)=1000100018=18000000例14 95025=?解 原式=(9504)(254)=3800100=38例15 8442(2167)=?解 原式=84422167=40267=6例16 7600(3825)=?解 原式=76003825=20025=5000例17 29150+950=?解 原式=(291+9)50=30050=6例18 999222+333334=?解 原式=3333222+333334=333666+333334=333(666+334)=3331000=333000例19 765963963-765765963=?解 原式=7659631001-7651001963=0例20 2239+239999=?解 原式=2000+239+239999=2000+239(1+999)=2000+239000=241000例21 760(38125)80=?解 原式=7603812580=(76038)(12580)=2010000=200000例22 (2001+20002002)(20012002-1)=?解 原式=2001+2000(2001+1)(20012002-1)=(2001+20002001+2000)(20012002-1)=(20012001+2000)(20012002-1)=(20012001+2001-1)(20012002-1)=(20012002-1)(20012002-1)=1例23 (1234+2341+3421+4123)5=?解 原式=1111(1+2+3+4)5=1111105=2222
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