数列背景

高考数学母题规划,助你考入清华北大！杨培明(电话:13965261699)数学丛书,给您一个智慧的人生！高考数学母题 母题(21-09):数列背景(603) 1515 数列背景 母题(21-09): (2007年江西高考试题)将一个骰子连续抛掷三次,它落地时向上的点数依次成等差数列的概率为( ) (A) (B) (C) (D)解析:(法一)以公差d的大小分类:d=0:(1,1,1),(2,2,2),(6,6,6),计6个;d=1:(1,2,3),(2,3,4),(3,4,5),(4,5,6),计4A22个;d=2:(1,3,5),(2,4,6),计2A22个P=.故选(B).(法二)设三个点数依次为a1,a2,a3,则公差d=a2-a1Za1与a3的奇偶性相同a2=是整数,且a1,a3同时取自于1,3,5,或2,4,6,均有9种取法(可以重复)共有9+9=18种取法P=.故选(B).点评:以数列,尤其是以等差数列(比)为背景的古典概型问题是高考的一个特殊题型,常见的问题是从等差(比)数列中,取出一些数满足某条件的概率. 子题(1):(2010年全国高中数学联赛江西初赛试题)将1,2,9随机填入右图正方形ABCD的九个格子中,则其每行三数,每列三数自上而下、自左而右顺次成等差数列的概率P= .解析:把1,2,9的任意一个排列a1a2a9分成三段a1a2a3,a4a5a6,a7a8a9,然后把这三段顺次填入表中的一、二、三行中,这样1,2,9的一个排列与表中的一种填法构成一一对应(多排问题单排法),所以任意填法数为9！;把(1,2,3),(4,5,6),(7,8,9)与(1,4,7),(2,5,8),(3,6,9)分别填入表格中,各有4种(上、下、左、右不同的填法)填入法P=. 注:枚举方法是解决以数列为背景的古典概型问题的有力方法. 子题(2):(2008年山东高考试题)在某些的奥运火炬传递活动中,有编号为1,2,3,18的18名火炬手.若从中任选3人,则选出的火炬手的编号能组成以3为公差的等差数列的概率为 .解析:(法一)3为公差的等差数列:(1,4,7),(2,5,8),(3,6,9),(12,15,18),p=.(法二)设选出的火炬手的编号依次为a1,a2,a3(a1a2a3),则a3-a1=2d=6a3=a1+6;由a318a1+618a112a1有12种取法;又因当a1取定后,数列唯一确定p=. 注:由解法二可得:从集合1,2,3,kn中任取三个数,则这三个数成以k为公差等差数列的概率P=. 子题(3):(2006年全国高中数学联赛浙江初赛试题)在1,2,2006中随机选取三个数,能构成递增等差数列的概率是 .解析:(法一)三个数成递增等差数列,设为a,a+d,a+2d,按题意必须满足a+2d2006d1002,对于给定的d,a可以取1,2,2006-2d.故三数成递增等差数列的个数为=10031002P=;(法二)三个数an,am,ak成等差数列an+ak=2amn+k=2mn与k同奇,或同偶,且当n与k确定后,m惟一确定.令A=a1,a3,a2n-1,B=a2,a4,a2n.则所取三数x,y,z成等差数列与x,zA,或x,zB成一一对应,故不同等差数列的个数 1516 母题(21-09):数列背景(603) =An2+An2=2An2,成递增等差数列的个数=An2.本题中,n=1003,P=. 注:由解法二可得:从集合1,2,3,2n中任取三个数,则这三个数成等差数列的概率P=;从集合1,2,3,2n+1中任取三个数,则这三个数成等差数列的概率P=. 子题系列:1.(2012年江苏高考试题)现有10个数,它们能构成一个以1为首项,-3为公比的等比数列,若从这10个数中随机抽取一个数,则它小于8的概率是 .2.(2005年江西高考试题)将1,2,9这9个数平均分成三组,则每组的三个数都成等差数列的概率是 .3.(2013年全国高中数学联赛浙江初赛试题变式)若三位数n=被7整除,任取一个n,则a,b,c成公差非零的等差数列的概率是 .4.(2012年全国高中数学联赛江苏初赛试题)从集合3,4,5,6,7,8中随机选取3个不同的数,这3个数可以构成等差数列的概率是_.5.(2007年全国高中数学联赛四川初赛试题)从集合1,2,3,20中任选3个不同的数排成一个数列,则这个数列为等差数列的概率是 .6.(2006年武汉大学保送生考试试题变式变式)设an是等差数列,从a1,a2,a3,a20中任取3个不同的数,使这三个数仍成等差数列的概率是 .7.(2013年湖北省高中数学竞赛高一试题变式)集合1,2,3,30中取出五个不同的数,则使这五个数构成等差数列的概率是 .8.(2007年全国高中数学联赛浙江初赛试题变式)从1至169的自然数中任意取出3个数构成以整数为公比的递增等比数列的概率是 . 子题详解:1.解:以1为首项,-3为公比的等比数列:1,-3,9,(-3)9,小于8的有:1,-3,(-3)3,(-3)5,(-3)7,(-3)9,计6个P=0.6.2.解:9个数分成三组,共有=875组,其中每组的三个数均成等差数列,有(1,2,3),(4,5,6),(7,8,9),(1,3,5),(2,4,6),(7,8,9),(1,2,3),(4,6,8),(5,7,9),(1,4,7),(2,5,8),(3,6,9),(1,5,9),(2,3,4),(6,7,8),计5组P=. 3.解:被7整除的三位数有:-=128;设三位数为=100(b-d)+10b+(b+d)=111b-99d=7(16b-14d)-(b+d)(1b-d9,0b,b+d9);由三位数被7整除b+d被7整除(b,d)=(1,-1),(2,-2),(3,-3),(4,-4),(4,3),(5,2),(6,1),(8,-1)三位数为210,420,630,840,147,357,567,987,计8个P=.4.解:P=. 5.解:P=. 6.解:P=. 7.解:设取出的五个数依次为a1,a2,a3,a4,a5,则公差d=a2-a1Z且a1,a5同时取自于1,5,9,13,17,21,25,29,2,6,10,14,18,22,26,30,3,7,11,15,19,23,27,或4,8,12,16,20,24,28,分别有A82、A82、A72、A72种取法共有A82+A82+A72+A72=196种取法;又因当a1,a5取定后,数列唯一确定可得到的不同的等差数列的个数为196P=. 8.解:设取出的3个数分别而:a,aq,aq2,则有1aaqaq21692q13;当q固定时,使三个数a,aq,aq2为整数的a的个数记作N(q),由aq2169,知N(q)应是的整数部分N(2)+N(3)+N(13)=91P=.