福建师大附中高三数学上学期期中试题 理（含解析）新人教A版

福建师大附中2013届高三上学期期中考试数学试卷（理科）一、选择题：本大题有10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的1（5分）（2013泰安一模）已知集合A=1，1，B=x|12x4，则AB等于（）A1，0，1B1C1，1D0，1考点：交集及其运算.专题：计算题分析：利用指数函数的性质求出集合B中不等式的解集，确定出集合B，找出A与B的公共元素，即可求出两集合的交集解答：解：由集合B中的不等式变形得：202x22，解得：0x2，B=0，2），又A=1，1，则AB=1故选B点评：此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键2（5分）（2010泰安一模）若复数是纯虚数（i是虚数单位），则a的值为（）A2B2C1D1考点：复数代数形式的乘除运算.专题：计算题分析：由复数的运算，化简可得复数为，由纯虚数的定义可得答案解答：解：=，因为为纯虚数，故2a=0且a+20，解得a=2，故选B点评：本题考查纯虚数的概念，涉及复数代数形式的乘除运算，属基础题3（5分）（2012厦门模拟）“2x3”是“x（x5）0”的（）A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断.专题：应用题分析：由2x3可得x（x5）0；由x（x5）0可得0x5，从而可判断解答：解：由2x3可得x（x5）0由x（x5）0可得0x5“2x3”是“x（x5）0”的充分不必要条件故选A点评：本题主要考查了充分条件与必要条件的判断，属于基础试题4（5分）已知向量，则向量的夹角为（）ABCD考点：数量积表示两个向量的夹角.专题：计算题分析：由向量的夹角公式可得cos=，代入可求向量的夹角解答：解：设向量的夹角为由向量的夹角公式可得cos=0故选C点评：本题主要考查了向量的夹角公式的坐标表示，属于基础试题5（5分）给出命题：已知a、b为实数，若a+b=1，则ab在它的逆命题、否命题、逆否命三个命题中，真命题的个数是（）A3B2C1D0考点：四种命题的真假关系.专题：计算题；证明题分析：首先根据基本不等式判断原命题是正确的，则原命题的逆否命题就是正确的，再判断原命题的逆命题的真假，用特例判断是一个假命题，则原命题的否命题是一个假命题解答：解：a、b为实数，a+b=1，ab=原命题是正确的，逆否命题是正确的，原命题的逆命题是：已知a、b为实数，若ab，则a+b=1这个命题只要举出a=b=，就可以说明这个命题是假命题，原命题的否命题也是一个假命题，它的逆命题、否命题、逆否命三个命题中，真命题的个数是1，故选C点评：本题考查圆命题的三个命题的真假，这种题目只要判断其中两个命题的真假就可以，因为原命题与它的逆否命题具有相同的真假，否命题与逆命题具有相同的真假6（5分）下列函数中，周期为，且在上单调递增的奇函数是（）ABCD考点：正弦函数的单调性；正弦函数的奇偶性.专题：综合题；三角函数的图像与性质分析：将三角函数的化简，确定函数的奇偶性、周期性、单调性，即可得到结论解答：解：对于A，函数的周期为2，故不符合题意；对于B，=sin2x，周期为，且在上单调递减的奇函数，故不符合题意；对于C，=cos2x，函数为偶函数，故不符合题意；对于D，=sin2x，周期为，且在上单调递增的奇函数，故符合题意，故选D点评：本题考查三角函数的性质，考查三角函数的化简，周期运用三角函数的性质是关键7（5分）把函数的图象向左平移个单位，再把所得函数图象上所有点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），得到图象的解析式为（）Ay=5sinxBCD考点：函数y=Asin（x+）的图象变换；由y=Asin（x+）的部分图象确定其解析式.专题：三角函数的图像与性质分析：第一次变换可得得到函数y=5sin2（x+）= 的图象，再经过第二次变换可得的图象，从而得出结论解答：解：把函数的图象向左平移个单位，得到函数y=5sin2（x+）= 的图象，再把所得函数图象上所有点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），得到图象的解析式为，故选B点评：本题主要考查函数y=Asin（x+）的图象变换规律，属于中档题8（5分）（2013日照二模）在同一个坐标系中画出函数y=ax，y=sinax的部分图象，其中a0且a1，则下列所给图象中可能正确的是（）ABCD考点：指数函数的图像与性质；正弦函数的图象.专题：压轴题；数形结合分析：本题是选择题，采用逐一排除法进行判定，再根据指对数函数和三角函数的图象的特征进行判定解答：解：正弦函数的周期公式T=，y=sinax的最小正周期T=；对于A：T2，故a1，因为y=ax的图象是增函数，故错；对于B：T2，故a1，而函数y=ax是减函数，故错；对于C：T=2，故a=1，y=ax=1，故错；对于D：T2，故a1，y=ax是减函数，故对；故选D点评：本题主要考查了指数函数的图象，以及对三角函数的图象，属于基础题9（5分）已知，则的最大值为（）AB2CD考点：平面向量数量积的运算.专题：平面向量及应用分析：由题意可知四边形ABCD为圆内接四边形，由圆的最长的弦为其直径，只需由勾股定理求的AC的长即可解答：解：由题意可知：ABBC，CDAD，故四边形ABCD为圆内接四边形，且圆的直径为AC，由勾股定理可得AC=，因为BD为上述圆的弦，而圆的最长的弦为其直径，故的最大值为：故选C点评：本题为模长的最值的求解，划归为圆内接四边形是解决问题的关键，属中档题10（5分）如图，正五边形ABCDE的边长为2，甲同学在ABC中用余弦定理解得，乙同学在RtACH中解得，据此可得cos72的值所在区间为（）A（0.1，0.2）B（0.2，0.3）C（0.3，0.4）D（0.4，0.5）考点：解三角形；余弦函数的定义域和值域.专题：综合题；压轴题分析：根据题意，建立方程，再构造函数利用零点存在定理，确定零点所在区间解答：解：根据题意可得构造函数1，x所在区间为（0.3，0.4）即cos72的值所在区间为（0.3，0.4）故选C点评：本题考查解三角形，考查函数思想，考查函数零点的判断，属于中档题二、填空题：本大题有7小题，每小题5分，共35分.把答案填在答题卡的相应位置.11（5分）已知数列an为等差数列，若a3+a4+a5=9，则S7=21考点：等差数列的性质；等差数列的前n项和.专题：计算题；等差数列与等比数列分析：由数列an为等差数列，且a3+a4+a5=9，能够得到a4=3，再由等差数列的通项公式和前n项和公式能够求出S7解答：解：数列an为等差数列，且a3+a4+a5=9，a4=3，S7=（a1+a7）=7a4=21故答案为：21点评：本题考查等差数列的通项公式和前n项和公式的应用，是基础题解题时要认真审题，仔细解答12（5分）（2013泰安二模）在ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，若sinB=2sinC，则A=考点：余弦定理的应用.专题：计算题；解三角形分析：由正弦定理知sinB=，故由sinB=2sinC，得到b=2c，再由，得到a=，由此利用余弦定理能够求出cosA，进而能够求出A解答：解：在ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，sinB=，sinB=2sinC，即b=2c，a24c2=3c2，a=，cosA=，A=故答案为：点评：本题考查三角形中内角大小的求法，解题时要认真审题，注意正弦定理和余弦定理的合理运用13（5分）函数f（x）=cos2x+sinxcosx（ ）的取值范围是，1考点：复合三角函数的单调性；三角函数中的恒等变换应用.专题：三角函数的求值分析：利用三角函数的恒等变换化简函数f（x）的解析式为 sin（+2x），根据x的范围求得函数f（x）的值域解答：解：函数f（x）=cos2x+sinxcosx=+sin2x=cos2x+sin2x=sin（+2x），0x，x，sin（+2x）1故函数f（x）的值域为，1，故答案为，1点评：本题主要考查三角函数的恒等变换及化简求值，求正弦函数的定义域和值域，属于中档题14（5分）偶函数f（x）满足f（x+2）=f（x），且当x0，1时，f（x）=x+1，则关于x的方程上解的个数是3个考点：根的存在性及根的个数判断.专题：计算题；函数的性质及应用分析：讨论函数y=f（x）奇偶性、周期性和x0，1时的表达式，可得函数y=f（x）在区间1，3上的图象，由此作出函数y=f（x）与g（x）=在同一坐标系内区间0，3上的图象，结合函数零点存在性定理加以讨论，可得本题答案解答：解：当x0，1时，f（x）=x+1，函数y=f（x）在0，1上的图象是以（0，1）和（1，0）为端点的线段函数y=f（x）是偶函数，图象关于y轴对称当x1，0时，函数图象是以（0，1）和（1，0）为端点的线段又函数f（x）满足f（x+2）=f（x），将函数图象在区间1，1上的图象向右平移2个单位，可得区间1，3上的图象因此，作出函数y=f（x）与g（x）=在区间0，3上的图象如图所示显然它们有一个公共点A（0，1）f（1）=0g（1）=，f（2）=1g（2）=，两个图象在（1，2）上有一个公共点B同理可得：两个图象在（2，3）上有一个公共点C所以函数y=f（x）与g（x）=在区间0，3上的图象总共有3个不同的交点故答案为：3点评：本题给出有周期的偶函数f（x），讨论方程在指定区间上零点的个数，着重考查了函数的奇偶性、周期性和函数零点存在性定理等知识，属于中档题15（5分）已知数列an的通项公式为，则数列中数值最大的项是第6项考点：数列的函数特性.专题：等差数列与等比数列分析：先求出的表达式，进而利用函数的单调性即可求出解答：解：=1，可知：当n5时，；当n6时，1，又n6时，单调递减，当n=6时，取得最大值故最大项为第6项故答案为6点评：熟练掌握函数的单调性是解题的关键16（5分）如图ABC中，AD=2DB，2AE=EC，BECD=P若，则x+y=考点：向量的线性运算性质及几何意义.专题：计算题分析：由梅涅劳斯定理，知：=1，由ABC中，AD=2DB，2AE=EC，BECD=P，知，所以=，再由，能求出结果解答：解：如图，由梅涅劳斯定理，知：=1，ABC中，AD=2DB，2AE=EC，BECD=P，=，x+y=故答案为：点评：本题考查向量的线性运算和几何意义，是基础题解题时要认真审题，仔细解答，注意梅涅劳斯定理的合理运用17（5分）将方程x+tanx=0的正根从小到大地依次排列为a1，a2，an，给出以下不等式：；2an+1an+2+an；2an+1an+2+an；其中，正确的判断是（请写出正确的序号）考点：命题的真假判断与应用.专题：数形结合；函数的性质及应用分析：在同一坐标系中分别画出直线y1=x及正切曲线y2=tanx的图象，借助图象分析方程x+tanx=0的正根的分布情况及变化规律，进而可得答案解答：解：分别作直线y1=x及正切曲线y2=tanx的图象如图所示：则两者的交点即为x+tanx=0的根则在正切函数的每一个周期内，y1与y2都有一个交点，由图可得两个交点横坐标之间的差大于正切函数的半个周期，但不超过正切函数的一个周期an+1an，故对错从原点向右距离越来越大an+2an+1an+1an，即：2an+1an+2+an；故对错故答案为：点评：本题以命题的真假判断为载体考查了正切函数的图象和性质，方程根与函数零点的关系，画出两个函数的图象，借助图象直观分析是解答的关键三、解答题：本大题有5小题，共65分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.18（12分）已知数列an的通项公式为an=2n1，数列bn的前n项和为Tn，且满足Tn=1bn（1）求bn的通项公式；（2）在an中是否存在使得是bn中的项，若存在，请写出满足题意的一项（不要求写出所有的项）；若不存在，请说明理由考点：数列的应用.专题：综合题；等差数列与等比数列分析：（1）由题意可知b1=，bn=bn1bn，故bn为首项和公比均为的等比数列，由此能够求出bn的通项公式；（2）设an中第m项am满足题意，即，从而可得m=2n112，由此可得结论解答：解：（1）当n=1时，b1=T1=1b1，b1=（2分）当n2时，Tn=1bn，Tn1=1bn1，两式相减得：bn=bn1bn，即：bn=bn1（6分）故bn为首项和公比均为的等比数列，bn= （8分）（2）设an中第m项am满足题意，即，即2m1+25=2n所以m=2n112（mN*，nN*），取n=5，则m=4，a4=7（其它形如m=2n112（mN*，nN*）的数均可）（12分）点评：本题考查数列的递推式的应用，考查等比数列的判定，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题19（12分）（2007山东）如图，甲船以每小时海里的速度向正北方向航行，乙船按固定方向匀速直线航行，当甲船位于A1处时，乙船位于甲船的北偏西105的方向B1处，此时两船相距20海里当甲船航行20分钟到达A2处时，乙船航行到甲船的北偏西120方向的B2处，此时两船相距海里，问乙船每小时航行多少海里？考点：解三角形的实际应用.专题：计算题；应用题分析：连接A1B2，依题意可知A2B2，求得A1A2的值，推断出A1A2B2是等边三角形，进而求得B1A1B2，在A1B2B1中，利用余弦定理求得B1B2的值，进而求得乙船的速度解答：解：如图，连接A1B2，A1A2B2是等边三角形，B1A1B2=10560=45，在A1B2B1中，由余弦定理得B1B22=A1B12+A1B222A1B1A1B2cos45=，因此乙船的速度的大小为答：乙船每小时航行海里点评：本题主要考查了解三角形的实际应用要能综合运用余弦定理，正弦定理等基础知识，考查了综合分析问题和解决实际问题的能力20（13分）如图，9个正数排列成3行3列，其中每一行的数成等差数列，每一列的数成等比数列，且所有的公比都是q，已知a12=1，又设第一行数列的公差为d1（）求出a11，d1及q；（）若保持这9个数的位置不动，按照上述规律，补成一个n行n列的数表如下，试写出数表第n行第n列ann的表达式，并求Sn=a11+a22+a33+ann的值考点：数列与函数的综合.专题：综合题；等差数列与等比数列分析：（）仔细观察图表，由题设条件知，由此能求出求出a11，d1及q（）由图表中的规律，知=，由此利用错位相减法能求出Sn=a11+a22+a33+ann的值解答：（本题满分13分）解：（）9个正数排列成3行3列，其中每一行的数成等差数列，每一列的数成等比数列，且所有的公比都是q，a12=1，设第一行数列的公差为d1，解得（）因为=，由，得，点评：本题考查数列与函数的综合应用，考查推理论证能力，考查等价转化思想，考查计算能力，考查等差数列和等比数列的性质，解题时要注意错位相减法的合理运用21（13分）（2012厦门模拟）已知函数f（x）=Asin（2x+），其中A0，试分别解答下列两小题（I）若函数f（x）的图象过点E，求函数y=f（x）的解析式；（）如图，点M，N分别是函数y=f（x）的图象在y轴两侧与x轴的两个相邻交点，函数图象上的一点P（t，）满足，求函数f（x）的最大值考点：三角函数中的恒等变换应用；平面向量数量积的坐标表示、模、夹角；由y=Asin（x+）的部分图象确定其解析式；三角函数的最值.专题：综合题分析：（I）根据函数f（x）的图象过点E，建立方程，可求的值，利用，可求A的值，从而可得函数解析式；（）利用，可求|NC|=，从而|MC|=|MN|NC|=，由此可得+2t=，利用P（t，）在图象上，即可求得函数f（x）的最大值解答：解：（I）函数f（x）的图象过点E，Asin（+）=1，Asin（+）=，sin（+）=sin（+），展开化简可得=sintan=，函数f（x）=Asin（2x+），A=2f（x）=2sin（2x+）；（）设P在x轴上的射影为C，=|NC|=|NC|=|MC|=|MN|NC|=t（）（+t）=+2t=P（t，）在图象上Asin（+2t）=A=函数f（x）的最大值为点评：本题考查三角函数的解析式，考查向量知识的运用，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题22（15分）（2012厦门模拟）已知函数f（x）=21nx+ax21 （aR）（I）求函数f（x）的单调区间；（）若a=l，试解答下列两小题（i）若不等式f（1+x）+f（1x）m对任意的0xl恒成立，求实数m的取值范围；（ii）若x1，x2是两个不相等的正数，且以f（x1）+f（x2）=0，求证：x1+x22考点：利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性.专题：综合题分析：（I）函数f（x）的定义域为（0，+），求导函数，令f（x）0，分类讨论可得函数的单调区间；（）（i）构造函数F（x）=f（1+x）+f（1x）=2ln（1+x）+2ln（1x）+2x2，求导函数，确定F（x）在（0，1）上为减函数，从而可求实数m的取值范围；（ii）由f（x1）+f（x2）=0，可得（x1+x2）2=2x1x22lnx1x2+2设t=x1x2，则t0，g（t）=2t2lnt+2，求出g（t）min，即可证得结论解答：（I）解：函数f（x）的定义域为（0，+），f（x）=令f（x）0，x0，2ax2+20当a0时，f（x）0在（0，+）上恒成立，f（x）递增区间是（0，+）；当a0时，由2ax2+20可得xx0，f（x）递增区间是（0，），递减区间为；（）（i）解：设F（x）=f（1+x）+f（1x）=2ln（1+x）+2ln（1x）+2x2，则F（x）=0xl，F（x）0在（0，1）上恒成立，F（x）在（0，1）上为减函数F（x）F（0）=0，m0，实数m的取值范围为0，+）；（ii）证明：f（x1）+f（x2）=0，21nx1+x121+21nx2+x221=02lnx1x2+（x1+x2）22x1x22=0（x1+x2）2=2x1x22lnx1x2+2设t=x1x2，则t0，g（t）=2t2lnt+2，g（t）=令g（t）0，得t1，g（t）在（0，1）上单调递减，在（1，+）上单调递增g（t）min=g（1）=4，（x1+x2）24，x1+x22点评：本题考查导数知识的运用，考查函数的单调性，考查函数的最值，解题的关键是构造函数，正确运用导数