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第三章 导数及其应用考点1 导数与积分1.（2017浙江,7）函数y=f（x）的导函数y=f（x）的图象如图所示，则函数y=f（x）的图象可能是（ ）A. B. C. D.1. D 由当f（x）0时，函数f（x）单调递减，当f（x）0时，函数f（x）单调递增，则由导函数y=f（x）的图象可知：f（x）先单调递减，再单调递增，然后单调递减，最后单调递增，排除A，C，且第二个拐点（即函数的极大值点）在x轴上的右侧，排除B，故选D.2.（2017新课标,11）若x=2是函数f（x）=（x2+ax1）ex1的极值点，则f（x）的极小值为（ ） A.1 B.2e3 C.5e3 D.12. A 函数f（x）=（x2+ax1）ex1 ， 可得f（x）=（2x+a）ex1+（x2+ax1）ex1 ， x=2是函数f（x）=（x2+ax1）ex1的极值点，可得：4+a+（32a）=0解得a=1可得f（x）=（2x1）ex1+（x2x1）ex1 =（x2+x2）ex1 ， 函数的极值点为：x=2，x=1，当x2或x1时，f（x）0函数是增函数，x（2，1）时，函数是减函数，x=1时，函数取得极小值：f（1）=（1211）e11=1故选A3.(2014大纲全国，7)曲线yxex1在点(1,1)处切线的斜率等于()A. 2e B.e C.2 D.13.C由题意可得yex1xex1，所以曲线在点(1，1)处切线的斜率等于2，故选C.4.(2014新课标全国，8)设曲线yaxln(x1)在点(0,0)处的切线方程为y2x，则a()A.0 B.1 C.2 D.34.Dya，由题意得y|x02，即a12，所以a3.5.(2014陕西，3)定积分(2xex)dx的值为()A.e2 B.e1 C.e D.e15.C(2xex)dx(x2ex)|(1e)(0e0)e，因此选C.6.(2014江西，8)若f(x)x22f(x)dx，则01f(x)dx()A.1 B. C. D.16.B因为f(x)dx是常数，所以f(x)2x，所以可设f(x)x2c(c为常数)，所以x2cx22(x3cx)|，解得c，f(x)dx(x2c)dx(x2)dx|.7.(2014山东，6)直线y4x与曲线yx3在第一象限内围成的封闭图形的面积为()A.2 B.4 C.2 D.47.D由4xx3，解得x0或x2或x2(舍去)，根据定积分的几何意义可知，直线y4x与曲线yx3在第一象限内围成的封闭图形的面积为(4xx3)dx|4.8.(2014湖南，9)已知函数f(x)sin(x)，且0，则函数f(x)的图象的一条对称轴是()A.x B.x C.x D.x8.A由定积分0sin(x)dxcos(x)|0cos sin cos 0，得tan ，所以k(kZ)，所以f(x)sin(xk)(kZ)，由正弦函数的性质知ysin(xk)与ysin(x)的图象的对称轴相同，令xk，则xk(kZ)，所以函数f(x)的图象的对称轴为xk(kZ)，当k0，得x，选A.9.(2014湖北，6)若函数f(x)，g(x)满足0，则称f(x)，g(x)为区间1,1上的一组正交函数.给出三组函数：f(x)sinx，g(x)cosx；f(x)x1，g(x)x1；f(x)x，g(x)x2.其中为区间1,1上的正交函数的组数是()A.0 B.1 C.2 D.39.C对于，sinxcosxdxsin xdx0，所以是一组正交函数；对于，(x1)(x1)dx(x21)dx0，所以不是一组正交函数；对于，xx2dxx3dx0，所以是一组正交函数.选C.10.(2016全国，15)已知f(x)为偶函数，当x0时，f(x)ln(x)3x，则曲线yf(x)在点(1，3)处的切线方程是_.10.2xy10设x0，则x0,f(x)ln x3x,又f(x)为偶函数，f(x)ln x3x，f(x)3，f(1)2，切线方程为y2x1.11.(2016全国，16)若直线ykxb是曲线yln x2的切线，也是曲线yln(x1)的切线，则b_.11.1ln 2 yln x2的切线为：yxln x11(设切点横坐标为x1).yln(x1)的切线为：yxln(x21)，(设切点横坐标为x2).解得x1，x2，bln x111ln 2.12.(2015陕西，15)设曲线yex在点(0,1)处的切线与曲线y(x0)上点P处的切线垂直，则P的坐标为_.12.(1，1)(ex)|x=0e01，设P(x0，y0)，有()|x=x01，又x00，x01，故P(1，1).13.(2015湖南，11)(x1)dx_.13.0(x1)dx2220.14.(2015天津，11)曲线yx2与直线yx所围成的封闭图形的面积为_.14.曲线yx2与直线yx所围成的封闭图形如图，由得A(1，1)，面积Sxdxx2dxx20.15.(2015陕西，16)如图，一横截面为等腰梯形的水渠，因泥沙沉积，导致水渠截面边界呈抛物线型(图中虚线表示)，则原始的最大流量与当前最大流量的比值为_.15.1.2由题意可知最大流量的比即为横截面面积的比，建立以抛物线顶点为原点的直角坐标系，设抛物线方程为yax2，将点(5，2)代入抛物线方程得a，故抛物线方程为yx2,抛物线的横截面面积为S12(2-x2)dx2(2x-x3)|(m2)，而原梯形上底为1026(m)，故原梯形面积为S2(106)216，1.2.16.(2014江西，13)若曲线yex上点P处的切线平行于直线2xy10，则点P的坐标是_.16.(ln 2，2)由题意有yex，设P(m，n)，直线2xy10的斜率为2，则由题意得em2，解得mln 2，所以ne(ln 2)2.考点2 导数的应用1.(2015福建,10)若定义在R上的函数f(x)满足f(0)1,其导函数f(x)满足f(x)k1,则下列结论中一定错误的是()A.f() B.f() C.f() D.f()1.C导函数f(x)满足f(x)k1,f(x)k0,k10,0,可构造函数g(x)f(x)kx,可得g(x)0,故g(x)在R上为增函数,f(0)1,g(0)1,g()g(0),f()1,f(),选项C错误,故选C.2.(2015陕西,12)对二次函数f(x)ax2bxc(a为非零整数),四位同学分别给出下列结论,其中有且只有一个结论是错误的,则错误的结论是()A.1是f(x)的零点 B.1是f(x)的极值点C.3是f(x)的极值D.点(2,8)在曲线yf(x)上2.AA正确等价于abc0,B正确等价于b2a,C正确等价于3,D正确等价于4a2bc8.下面分情况验证,若A错,由、组成的方程组的解为符合题意；若B错,由、组成的方程组消元转化为关于a的方程后无实数解；若C错,由、组成方程组,经验证a无整数解；若D错,由、组成的方程组a的解为也不是整数.综上,故选A.3.(2015新课标全国,12)设函数f(x)是奇函数f(x)(xR)的导函数,f(1)0,当x0时,xf(x)f(x)0,则使得f(x)0成立的x的取值范围是()A.(,1)(0,1) B.(1,0)(1,)C.(,1)(1,0) D.(0,1)(1,)3.A 因为f(x)(xR)为奇函数,f(-1)0,所以f(1)-f(-1)0.当x0时,令g(x),则g(x)为偶函数,且g(1)g(1)0.则当x0时,g(x)()0,故g(x)在(0,)上为减函数,在(,0)上为增函数.所以在(0,)上,当0x1时,g(x)g(1)00f(x)0；在(,0)上,当x1时,g(x)g(1)00f(x)0.综上,得使得f(x)0成立的x的取值范围是(,1)(0,1),选A.4.(2015新课标全国,12)设函数f(x)ex(2x1)axa,其中a1,若存在唯一的整数x0使得f(x0)0,则a的取值范围是()A. B. C. D.4.D设g(x)ex(2x-1),yax-a,由题知存在唯一的整数x0,使得g(x0)在直线yax-a的下方,因为g(x)ex(2x1),所以当x时,g(x)时,g(x)0,所以当x时,g(x)min2e,当x0时,g(0)-1,g(1)3e0,直线ya(x-1)恒过(1,0)且斜率为a,故ag(0)1,且g(1)3e1aa,解得a1,故选D.5.(2014新课标全国,12)设函数f(x)sin.若存在f(x)的极值点x0满足xf(x0)2m2,则m的取值范围是()A.(,6)(6,) B.(,4)(4,)C.(,2)(2,) D.(,1)(1,)5.C由正弦型函数的图象可知：f(x)的极值点x0满足f(x0),则k(kZ),从而得x0(k)m(kZ).所以不等式x02f(x0)2m2即为(k)2m233,其中kZ.由题意,存在整数k使得不等式m23成立.当k1且k0时,必有1,此时不等式显然不能成立,故k1或k0,此时,不等式即为m23,解得m2.6.(2014辽宁,11)当x2,1时,不等式ax3x24x30恒成立,则实数a的取值范围是()A.5,3 B.6, C.6,2 D. 4,36.C当x(0,1时,得a34,令t,则t1,),a3t34t2t,令g(t)3t34t2t,t1,),则g(t)-9t2-8t1-(t1)(9t1),显然在1,)上,g(t)0,g(t)单调递减,所以g(t)maxg(1)-6,因此a-6；同理,当x-2,0)时,得a-2.由以上两种情况得-6a-2,显然当x0时也成立.故实数a的取值范围为-6,-2.7.（2017浙江,20）已知函数f（x）=（x ）ex（x ）（）求f（x）的导函数；（）求f（x）在区间 ，+）上的取值范围 7. （）函数f（x）=（x ）ex（x ），导数f（x）=（1 2）ex（x ）ex=（1x+ ）ex=（1x）（1 ）ex；（）由f（x）的导数f（x）=（1x）（1 ）ex ， 可得f（x）=0时，x=1或 ，当 x1时，f（x）0，f（x）递减；当1x 时，f（x）0，f（x）递增；当x 时，f（x）0，f（x）递减，且x x22x1（x1）20，则f（x）0由f（ ）= e ，f（1）=0，f（ ）= e ，即有f（x）的最大值为 e ，最小值为f（1）=0则f（x）在区间 ，+）上的取值范围是0， e 8.（2017山东,20）已知函数f（x）=x2+2cosx，g（x）=ex（cosxsinx+2x2），其中e2.17828是自然对数的底数 （）求曲线y=f（x）在点（，f（）处的切线方程；（）令h（x）=g （x）a f（x）（aR），讨论h（x）的单调性并判断有无极值，有极值时求出极值 8. （）f（）=22f（x）=2x2sinx，f（）=2曲线y=f（x）在点（，f（）处的切线方程为：y（22）=2（x）化为：2xy22=0（）h（x）=g （x）a f（x）=ex（cosxsinx+2x2）a（x2+2cosx）h（x）=ex（cosxsinx+2x2）+ex（sinxcosx+2）a（2x2sinx）=2（xsinx）（exa）=2（xsinx）（exelna）令u（x）=xsinx，则u（x）=1cosx0，函数u（x）在R上单调递增u（0）=0，x0时，u（x）0；x0时，u（x）0（i）a0时，exa0，x0时，h（x）0，函数h（x）在（0，+）单调递增；x0时，h（x）0，函数h（x）在（，0）单调递减x=0时，函数h（x）取得极小值，h（0）=12a（ii）a0时，令h（x）=2（xsinx）（exelna）=0解得x1=lna，x2=00a1时，x（，lna）时，exelna0，h（x）0，函数h（x）单调递增；x（lna，0）时，exelna0，h（x）0，函数h（x）单调递减；x（0，+）时，exelna0，h（x）0，函数h（x）单调递增当x=0时，函数h（x）取得极小值，h（0）=2a1当x=lna时，函数h（x）取得极大值，h（lna）=aln2a2lna+sin（lna）+cos（lna）+2当a=1时，lna=0，xR时，h（x）0，函数h（x）在R上单调递增1a时，lna0，x（，0）时，exelna0，h（x）0，函数h（x）单调递增；x（0，lna）时，exelna0，h（x）0，函数h（x）单调递减；x（lna，+）时，exelna0，h（x）0，函数h（x）单调递增当x=0时，函数h（x）取得极大值，h（0）=2a1当x=lna时，函数h（x）取得极小值，h（lna）=aln2a2lna+sin（lna）+cos（lna）+2综上所述：a0时，函数h（x）在（0，+）单调递增；x0时，函数h（x）在（，0）单调递减x=0时，函数h（x）取得极小值，h（0）=12a0a1时，函数h（x）在x（，lna）是单调递增；函数h（x）在x（lna，0）上单调递减当x=0时，函数h（x）取得极小值，h（0）=2a1当x=lna时，函数h（x）取得极大值，h（lna）=aln2a2lna+sin（lna）+cos（lna）+2当a=1时，lna=0，函数h（x）在R上单调递增a1时，函数h（x）在（，0），（lna，+）上单调递增；函数h（x）在（0，lna）上单调递减当x=0时，函数h（x）取得极大值，h（0）=2a1当x=lna时，函数h（x）取得极小值，h（lna）=aln2a2lna+sin（lna）+cos（lna）+2 9.（2017北京,19）已知函数f（x）=excosxx（13分） (1)求曲线y=f（x）在点（0，f（0）处的切线方程； (2)求函数f（x）在区间0， 上的最大值和最小值9.（1）函数f（x）=excosxx的导数为f（x）=ex（cosxsinx）1，可得曲线y=f（x）在点（0，f（0）处的切线斜率为k=e0（cos0sin0）1=0，切点为（0，e0cos00），即为（0，1），曲线y=f（x）在点（0，f（0）处的切线方程为y=1；（2）函数f（x）=excosxx的导数为f（x）=ex（cosxsinx）1，令g（x）=ex（cosxsinx）1，则g（x）的导数为g（x）=ex（cosxsinxsinxcosx）=2exsinx，当x0， ，可得g（x）=2exsinx0，即有g（x）在0， 递减，可得g（x）g（0）=0，则f（x）在0， 递减，即有函数f（x）在区间0， 上的最大值为f（0）=e0cos00=1；最小值为f（ ）=e cos = 10.（2017天津,20）设aZ，已知定义在R上的函数f（x）=2x4+3x33x26x+a在区间（1，2）内有一个零点x0 ， g（x）为f（x）的导函数（）求g（x）的单调区间；（）设m1，x0）（x0 ， 2，函数h（x）=g（x）（mx0）f（m），求证：h（m）h（x0）0；（）求证：存在大于0的常数A，使得对于任意的正整数p，q，且 1，x0）（x0 ， 2，满足| x0| 10.（）解：由f（x）=2x4+3x33x26x+a，可得g（x）=f（x）=8x3+9x26x6，进而可得g（x）=24x2+18x6令g（x）=0，解得x=1，或x= 当x变化时，g（x），g（x）的变化情况如下表：x（，1）（1， ）（ ，+）g（x）+g（x）所以，g（x）的单调递增区间是（，1），（ ，+），单调递减区间是（1， ）（）证明：由h（x）=g（x）（mx0）f（m），得h（m）=g（m）（mx0）f（m），h（x0）=g（x0）（mx0）f（m）令函数H1（x）=g（x）（xx0）f（x），则H1（x）=g（x）（xx0）由（）知，当x1，2时，g（x）0，故当x1，x0）时，H1（x）0，H1（x）单调递减；当x（x0 ， 2时，H1（x）0，H1（x）单调递增因此，当x1，x0）（x0 ， 2时，H1（x）H1（x0）=f（x0）=0，可得H1（m）0即h（m）0，令函数H2（x）=g（x0）（xx0）f（x），则H2（x）=g（x0）g（x）由（）知，g（x）在1，2上单调递增，故当x1，x0）时，H2（x）0，H2（x）单调递增；当x（x0 ， 2时，H2（x）0，H2（x）单调递减因此，当x1，x0）（x0 ， 2时，H2（x）H2（x0）=0，可得得H2（m）0即h（x0）0，所以，h（m）h（x0）0（）对于任意的正整数p，q，且 ，令m= ，函数h（x）=g（x）（mx0）f（m）由（）知，当m1，x0）时，h（x）在区间（m，x0）内有零点；当m（x0 ， 2时，h（x）在区间（x0 ， m）内有零点所以h（x）在（1，2）内至少有一个零点，不妨设为x1 ， 则h（x1）=g（x1）（ x0）f（ ）=0由（）知g（x）在1，2上单调递增，故0g（1）g（x1）g（2），于是| x0|= = 因为当x1，2时，g（x）0，故f（x）在1，2上单调递增，所以f（x）在区间1，2上除x0外没有其他的零点，而 x0 ， 故f（ ）0又因为p，q，a均为整数，所以|2p4+3p3q3p2q26pq3+aq4|是正整数，从而|2p4+3p3q3p2q26pq3+aq4|1所以| x0| 所以，只要取A=g（2），就有| x0| 11.（2017江苏,20）已知函数f（x）=x3+ax2+bx+1（a0，bR）有极值，且导函数f（x）的极值点是f（x）的零点（极值点是指函数取极值时对应的自变量的值）（）求b关于a的函数关系式，并写出定义域；（）证明：b23a；（）若f（x），f（x）这两个函数的所有极值之和不小于 ，求a的取值范围 11. （）因为f（x）=x3+ax2+bx+1，所以g（x）=f（x）=3x2+2ax+b，g（x）=6x+2a，令g（x）=0，解得x= 由于当x 时g（x）0，g（x）=f（x）单调递增；当x 时g（x）0，g（x）=f（x）单调递减；所以f（x）的极小值点为x= ，由于导函数f（x）的极值点是原函数f（x）的零点，所以f（ ）=0，即 + +1=0，所以b= + （a0）因为f（x）=x3+ax2+bx+1（a0，bR）有极值，所以f（x）=3x2+2ax+b=0有两个不等的实根，所以4a212b0，即a2 + 0，解得a3，所以b= + （a3）（）由（I）可知h（a）=b23a= + = （4a327）（a327），由于a3，所以h（a）0，即b23a；（）解：由（I）可知f（x）的极小值为f（ ）=b ，设x1 ， x2是y=f（x）的两个极值点，则x1+x2= ，x1x2= ，所以f（x1）+f（x2）= + +a（ + ）+b（x1+x2）+2=（x1+x2）（x1+x2）23x1x2+a（x1+x2）22x1x2+b（x1+x2）+2= +2，又因为f（x），f（x）这两个函数的所有极值之和不小于 ，所以b + +2= ，因为a3，所以2a363a540，所以2a（a236）+9（a6）0，所以（a6）（2a2+12a+9）0，由于a3时2a2+12a+90，所以a60，解得a6，所以a的取值范围是（3，6 12.（2017新课标,21）已知函数f（x）=ae2x+（a2）exx（12分） (1)讨论f（x）的单调性； (2)若f（x）有两个零点，求a的取值范围 12.（1）由f（x）=ae2x+（a2）exx，求导f（x）=2ae2x+（a2）ex1，当a=0时，f（x）=2ex10，当xR，f（x）单调递减，当a0时，f（x）=（2ex+1）（aex1）=2a（ex+ ）（ex ），令f（x）=0，解得：x=ln ，当f（x）0，解得：xln ，当f（x）0，解得：xln ，x（，ln ）时，f（x）单调递减，x（ln ，+）单调递增；当a0时，f（x）=2a（ex+ ）（ex ）0，恒成立，当xR，f（x）单调递减，综上可知：当a0时，f（x）在R单调减函数，当a0时，f（x）在（，ln ）是减函数，在（ln ，+）是增函数；（2）由f（x）=ae2x+（a2）exx=0，有两个零点，由（1）可知：当a0时，f（x）=0，有两个零点，则f（x）min=a +（a2） ln ，=a（ ）+（a2） ln ，=1 ln ，由f（x）min0，则1 ln 0，整理得：a1+alna0，设g（a）=alna+a1，a0，g（a）=lna+1+1=lna+2，令g（a）=0，解得：a=e2 ， 当a（0，e2），g（a）0，g（a）单调递减，当a（e2 ， +），g（a）0，g（a）单调递增，g（a）min=g（e2）=e2lne2+e21= 1，由g（1）=11ln1=0，0a1，a的取值范围（0，1） 13.（2017新课标,21）已知函数f（x）=ax2axxlnx，且f（x）0（）求a；（）证明：f（x）存在唯一的极大值点x0 ， 且e2f（x0）22 13.（）因为f（x）=ax2axxlnx=x（axalnx）（x0），则f（x）0等价于h（x）=axalnx0，因为h（x）=a ，且当0x 时h（x）0、当x 时h（x）0，所以h（x）min=h（ ），又因为h（1）=aaln1=0，所以 =1，解得a=1；（）由（I）可知f（x）=x2xxlnx，f（x）=2x2lnx，令f（x）=0，可得2x2lnx=0，记t（x）=2x2lnx，则t（x）=2 ，令t（x）=0，解得：x= ，所以t（x）在区间（0， ）上单调递减，在（ ，+）上单调递增，所以t（x）min=t（ ）=ln210，从而t（x）=0有解，即f（x）=0存在两根x0 ， x2 ， 且不妨设f（x）在（0，x0）上为正、在（x0 ， x2）上为负、在（x2 ， +）上为正，所以f（x）必存在唯一极大值点x0 ， 且2x02lnx0=0，所以f（x0）= x0x0lnx0= x0+2x02 =x0 ，由x0 可知f（x0）（x0 ）max= + = ；由f（ ）0可知x0 ，所以f（x）在（0，x0）上单调递增，在（x0 ， ）上单调递减，所以f（x0）f（ ）= + = ；综上所述，f（x）存在唯一的极大值点x0 ， 且e2f（x0）22 14.（2017新课标,21）已知函数f（x）=x1alnx（）若 f（x）0，求a的值；（）设m为整数，且对于任意正整数n，（1+ ）（1+ ）（1+ ）m，求m的最小值 14.（）因为函数f（x）=x1alnx，x0，所以f（x）=1 = ，且f（1）=0所以当a0时f（x）0恒成立，此时y=f（x）在（0，+）上单调递增，所以在（0,1）上f(x)0时,(x2)exx20；(2)证明：当a0,1)时,函数g(x)(x0)有最小值.设g(x)的最小值为h(a),求函数h(a)的值域.15.(1)解f(x)的定义域为(,2)(2,).f(x)0,且仅当x0时,f(x)0,所以f(x)在(,2),(2,)单调递增.因此当x(0,)时,f(x)f(0)1.所以(x2)ex(x2),即(x2)exx20.(2)证明g(x)(f(x)a).由(1)知,f(x)a单调递增,对任意a0,1),f(0)aa10,f(2)aa0.因此,存在唯一xa( 0,2,使得f(xa)a0,即g(xa)0.当0xxa时,f(x)a0,g(x)xa时,f(x)a0,g(x)0,g(x)单调递增.因此g(x)在xxa处取得最小值,最小值为g(xa).于是h(a),由0,单调递增.所以,由xa(0,2,得h(a).因为单调递增,对任意,存在唯一的xa(0,2,af(xa)0,1),使得h(a).所以h(a)的值域是.综上,当a0,1)时,g(x)有最小值h(a),h(a)的值域是.16.(2016全国,21)设函数f(x)acos 2x(a1)(cos x1),其中a0,记|f(x)|的最大值为4.(1)求f(x)；(2)求A；(3)证明|f(x)|2A.16.(1)解f(x)2asin 2x(a1)sin x.(2)解当a1时,|f(x)|acos 2x(a1)(cos x1)|a2(a1)3a2.因此A3a2.当0a1时,将f(x)变形为f(x)2acos2x(a1)cos x1,令g(t)2at2(a1)t1,则A是|g(t)|在1,1上的最大值,g(-1)a,g(1)3a-2,且当t时,g(t)取得极小值,极小值为g-1-.令-11,解得a(舍去),a.()当0a时,g(t)在(-1,1)内无极值点,|g(-1)|a,|g(1)|23a,|g(-1)|g(1)|,所以A23a.()当a1时,由g(1)g(1)2(1a)0,知g(1)g(1)g.又|g(1)|0,所以A.综上,A(3)证明由(1)得|f(x)|2asin 2x(a1)sin x|2a|a1|.当0a时,|f(x)|1a24a2(23a)2A.当a1时,A1,所以|f(x)|1a2A.当a1时,|f(x)|3a16a42A.所以|f(x)|2A.17.(2016全国,21)已知函数f(x)(x2)exa(x1)2有两个零点.(1)求a的取值范围；(2)设x1,x2是f(x)的两个零点,证明：x1x20,则当x(,1)时,f(x)0,所以f(x)在(,1)上单调递减,在(1,)上单调递增.又f(1)e,f(2)a,取b满足b0且b(b2)a(b1)2a0,故f(x)存在两个零点.设a0,因此f(x)在(1,)上单调递增.又当x1时,f(x)0,所以f(x)不存在两个零点.若a1,故当x(1,ln(2a)时,f(x)0,因此f(x)在(1,ln(2a)上单调递减,在(ln(2a),)上单调递增.又当x1时,f(x)0,所以f(x)不存在两个零点.综上,a的取值范围为(0,).(2)不妨设x1x2.由(1)知,x1(,1),x2(1,),2x2(,1),f(x)在(,1)上单调递减,所以x1x2f(2x2),即f(2x2)1时,g(x)1时,g(x)0,从而g(x2)f(2x2)0,故x1x2e1x在区间(1,)内恒成立(e2.718为自然对数的底数).19.解(1)f(x)2ax(x0).当a0时,f(x)0时,由f(x)0,有x.此时,当x时,f(x)0,f(x)单调递增.(2)令g(x),s(x)ex1x.则s(x)ex11.而当x1时,s(x)0,所以s(x)在区间(1,)内单调递增.又由s(1)0,有s(x)0,从而当x1时,g(x)0.当a0,x1时,f(x)a(x21)ln xg(x)在区间(1,)内恒成立时,必有a0.当0a1.由(1)有f0,所以此时f(x)g(x)在区间(1,)内不恒成立.当a时,令h(x)f(x)g(x)(x1).当x1时,h(x)2axe1xx0.因此,h(x)在区间(1,)单调递增.又因为h(1)0,所以当x1时,h(x)f(x)g(x)0,即f(x)g(x)恒成立.综上,a.20.(2016山东,20)已知f(x)a(xln x),aR.(1)讨论f(x)的单调性；(2)当a1时,证明f(x)f(x)对于任意的x1,2成立.20.(1)解f(x)的定义域为(0,),f(x)a.当a0时,x(0,1)时,f(x)0,f(x)单调递增,x(1,)时,f(x)0时,f(x).0a1,当x(0,1)或x时,f(x)0,f(x)单调递增,当x时,f(x)2时,00,f(x)单调递增,当x时,f(x)0,f(x)单调递减.综上所述,当a0时,f(x)在(0,1)内单调递增,在(1,)内单调递减；当0a2时,f(x)在内单调递增,在内单调递减,在(1,)内单调递增.(2)证明由(1)知,a1时,f(x)f(x)xln xxln x1,x1,2.设g(x)xln x,h(x)1,x1,2,则f(x)f(x)g(x)h(x).由g(x)0,可得g(x)g(1)1,当且仅当x1时取得等号.又h(x).设(x)3x22x6,则(x)在x1,2单调递减.因为(1)1,(2)10,所以x0(1,2),使得x(1,x0)时,(x)0,x(x0,2)时,(x)g(1)h(2).即f(x)f(x)对于任意的x1,2成立.21.(2015新课标全国,21)设函数f(x)emxx2mx.(1)证明：f(x)在(,0)单调递减,在(0,)单调递增；(2)若对于任意x1,x21,1,都有|f(x1)f(x2)|e1,求m的取值范围.21.(1)证明f(x)m(emx1)2x.若m0,则当x(,0)时,emx10,f(x)0；当x(0,)时,emx10,f(x)0.若m0,则当x(,0)时,emx10,f(x)0；当x(0,)时,emx10,f(x)0.所以,f(x)在(,0)单调递减,在(0,)上单调递增.(2)解由(1)知,对任意的m,f(x)在1,0上单调递减,在0,1上单调递增,故f(x)在x0处取得最小值.所以对于任意x1,x21,1,|f(x1)f(x2)|e1的充要条件是即设函数g(t)ette1,则g(t)et1.当t0时,g(t)0；当t0时,g(t)0.故g(t)在(,0)上单调递减,在(0,)上单调递增.又g(1)0,g(1)e12e0,故当t1,1时,g(t)0.当m1,1时,g(m)0,g(m)0,即式成立；当m1时,由g(t)的单调性,g(m)0,即emme1；当m1时,g(m)0,即emme1.综上,m的取值范围是1,1.22.(2015北京,18)已知函数f(x)ln.(1)求曲线yf(x)在点(0,f(0)处的切线方程；(2)求证：当x(0,1)时,f(x)2；(3)设实数k使得f(x)k对x(0,1)恒成立,求k的最大值.22.(1)解因为f(x)ln(1x)ln(1x),所以f(x),f(0)2.又因为f(0)0,所以曲线yf(x)在点(0,f(0)处的切线方程为y2x.(2)证明令g(x)f(x)2,则g(x)f(x)2(1x2).因为g(x)0(0xg(0)0,x(0,1),即当x(0,1)时,f(x)2.(3)解由(2)知,当k2时,f(x)k对x(0,1)恒成立.当k2时,令h(x)f(x)k,则h(x)f(x)k(1x2).所以当0x时,h(x)0,因此h(x)在区间上单调递减.当0x时,h(x)h(0)0,即f(x)2时,f(x)k并非对x(0,1)恒成立.综上可知,k的最大值为2.23.(2015四川,21)已知函数f(x)2(xa)ln xx22ax2a2a,其中a0.(1)设g(x)是f(x)的导函数,讨论g(x)的单调性；(2)证明：存在a(0,1),使得f(x)0在区间(1,)内恒成立,且f(x)0在区间(1,)内有唯一解.23.(1)解由已知,函数f(x)的定义域为(0,),g(x)f(x)2(xa)2ln x2,所以g(x)2,当0a时,g(x)在区间,上单调递增,在区间上单调递减；当a时,g(x)在区间(0,)上单调递增.(2)证明由f(x)2(xa)2ln x20,解得a,令(x)2ln xx22x2,则(1)10,(e)20,故存在x0(1,e),使得(x0)0,令a0,u(x)x1ln x(x1),由u(x)10知,函数u(x)在区间(1,)上单调递增,所以0a01,即a0(0,1),当aa0时,有f(x0)0,f(x0)(x0)0,由(1)知,f(x)在区间(1,)上单调递增,故当x(1,x0)时,f(x)0,从而f(x)f(x0)0；当x(x0,)时,f(x)0,从而f(x)f(x0)0,所以,当x(1,)时,f(x)0,综上所述,存在a(0,1),使得f(x)0在区间(1,)内恒成立,且f(x)0在区间(1,)内有唯一解.24.(2015天津,20)已知函数f(x)nxxn,xR,其中nN*,n2.(1)讨论f(x)的单调性；(2)设曲线yf(x)与x轴正半轴的交点为P,曲线在点P处的切线方程为yg(x),求证：对于任意的正实数x,都有f(x)g(x)；(3)若关于x的方程f(x)a(a为实数)有两个正实根x1,x2,求证：|x2x1|2.24.(1)解由f(x)nxxn,可得f(x)nnxn1n(1xn1).其中nN*,且n2,下面分两种情况讨论：当n为奇数时.令f(x)0,解得x1,或x1.当x变化时,f(x),f(x)的变化情况如下表：x(,1)(1,1)(1,)f(x)f(x)所以,f(x)在(,1),(1,)上单调递减,在(1,1)内单调递增.当n为偶数时.当f(x)0,即x1时,函数f(x)单调递增；当f(x)0,即x1时,函数f(x)单调递减；所以,f(x)在(,1)上单调递增,在(1,)上单调递减.(2)证明设点P的坐标为(x0,0),则x0n,f(x0)nn2.曲线yf(x)在点P处的切线方程为yf(x0)(xx0),即g(x)f(x0)(xx0).令F(x)f(x)g(x),即F(x)f(x)f(x0)(xx0),则F(x)f(x)f(x0).由于f(x)nxn1n在(0,)上单调递减,故F(x)在(0,)上单调递减,又因为F(x0)0,所以当x(0,x0)时,F(x)0,当x(x0,)时,F(x)0,所以F(x)在(0,x0)内单调递增,在(x0,)上单调递减,所以对于任意的正实数x,都有F(x)F(x0)0,即对于任意的正实数x,都有f(x)g(x).(3)证明不妨设x1x2.由(2)知g(x)(nn2)(xx0),设方程g(x)a的根为x2,可得x2x0.当n2时,g(x)在(,)上单调递减,又由(2)知g(x2)f(x2)ag(x2),可得x2x2.类似地,设曲线yf(x)在原点处的切线方程为yh(x),可得h(x)nx.当x(0,),f(x)h(x)xn0,即对于任意的x(0,),f(x)h(x).设方程h(x)a的根为x1,可得x1.因为h(x)nx在(,)上单调递增,且h(x1)af(x1)h(x1),因此x1x1.由此可得x2x1x2x1x0.因为n2,所以2n1(11)n11C1n1n,故2nx0.所以,|x2x1|2.25.(2015江苏,19)已知函数f(x)x3ax2b(a,bR).(1)试讨论f(x)的单调性；(2)若bca(实数c是与a无关的常数),当函
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