导数与积分 (2)

导数与积分单元复习总体设想 导数概念是微积分的核心概念之一，并有极其丰富的实际背景和广泛的应用.通过本章的学习，学生体会导数的思想及其丰富的内涵，感受导数在解决实际问题中的作用.导数在新教材中体现了承上启下的作用:承上是利用导数可解决必修课中接触过的判断函数单调性与求函数最值的问题,提供了解决这种问题的一种新方法;启下是完善了高中阶段数学内容,使高三学生具备一般人才必备的基础知识,也为接下来进一步学习高等数学和其他自然科学做了必要的铺垫.一、考纲解读下面是湖北省2014年考试说明对本专题的要求：内容知识要求了解（A）理解（B）掌握（C）导数及其应用导数概念及其几何意义导数的概念导数的几何意义导数的运算常见基本初等函数的导数公式常用的导数运算法则求简单复合函数的导数（仅限理科）导数在研究函数中的应用利用导数研究函数的单调性函数的极值、最值利用导数解决某些实际问题定积分与微积分基本定理（仅限理科）定积分的概念微积分基本定理定积分的简单应用增加与2013年湖北高考考试说明对照比较，在“定积分与微积分基本定理（仅限理科）”中增添了“定积分的简单应用”，要求层次为了解（A），体现定积分的工具性作用.命题形式注重考查学生的数学基础知识、基本技能和数学思想方法.对导数的概念,定积分的概念,微积分基本定理和定积分的简单应用表示仅要求了解，应注意位移,速度,加速度之间的导数与积分的关系；对导数的几何意义, 常见基本初等函数的导数公式, 常用的导数运算法则, 求简单复合函数的导数和利用导数解决某些实际问题要求为理解，导数是工具，计算是基础，导数的运算基本上每年都考,一般不单独设题,大都是在考查导数应用的的同时考查;利用导数研究函数的单调性和函数的极值、最值要求为掌握, 其中涉及转化与化归,分类讨论和数形结合的思想,常见的形式有两种:一是直接将导数应用于函数性质,考查函数的单调性,极值,最值等,二是将导数与函数,数列,方程,不等式等联系起来进行综合考查.属于高考必考知识点,常以解答题的形式出现,作为压轴题,难度很大.导数是高中数学中重要的内容，是解决实际问题的强有力的数学工具，以近5年（2010年-2014年）湖北高考数学理科试题为例，导数与积分部分考查题型，所占分值及考查内容如下表：选择题填空题解答题考查内容2010年T17,12分T22,14分考查利用导数解决实际问题，导数的几何意义,导数的综合应用2011年T22,14分考查导数在最大值、最小值问题中的应用2012年T3,5分T9,5分T22,14分考查定积分在求面积中的应用，利用导数研究函数的极值, 导数知识的综合运用2013年T7,5分T10,5分T22,14分考查定积分在物理中的应用, 利用导数研究函数的极值；函数在某点取得极值的条件, 导数在最大值、最小值问题中的应用；利用导数研究函数的单调性2014年T6,5分T22,14分考查微积分基本定理的应用, 利用导数研究函数的单调性简要分析:从以上五个年份的高考试题的考查分布情况来看,导数在高考中的考查可以说是全方位的：从考查要求来讲，不仅有基础知识、基本技能的考查，更有数学思想、数学本质的考查.从考查内容来看，它不仅有导数与积分知识内部的显性考查，更有与其他主干知识（函数，数列，不等式等）相结合的隐性考查，综观导数与积分部分的考查内容,我们可以发现：利用导数研究函数的切线、单调性、极值最值问题,导数在实际问题中的应用以及定积分的简单应用，都是高考考查的热点内容.数学思想方法：对函数与方程、分类讨论、数形结合、等价转化等思想方法的考查在高考试题中也得到了很好的体现.二、复习计划根据新课程改革考纲的要求，我安排导数与积分这一章的复习分3部分完成，具体安排如下：第一部分：导数的概念及其运算. 要求学生熟练使用求导四则运算，能准确地求出课标所要求的基本函数和简单复合函数的导数；高考对这一部分内容的考查常以选择,填空的形式出现,有时也出现在解答题中. 导数的运算可以和几何图形的切线、面积联系在一起，对于较复杂问题有很好的效果.第二部分：导数的综合应用.了解函数的单调性与导数的关系；能利用导数研究函数的单调性; 了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件；会用导数求函数的极大值、极小值以及函数的最大值、最小值；体会导数方法在研究函数性质中的一般性和有效性.第三部分：定积分与微积分基本定理. 通过实例（如求曲边梯形的面积、变力做功等），从问题情境中了解定积分的实际背景；借助几何直观体会定积分的基本思想，初步了解定积分的概念,直观了解微积分基本定理的含义在复习这三部分的过程中，我会分三步走：1、重视课本，让学生落实教材每一节所讲的知识，重视教材中的例题和习题，深研教材，发掘教材中的内涵，引导学生回归课本，重视基础知识，并对不同层次的学生进行不同的要求；2、精选一些相关的高考题重点分析、讲评、练习，为后面教学提供可行性素材，这也是提高复习效率的一种有效途径，同时有利于激发学生学习的兴趣，增强数学应用知识； 3、由易到难设置变式训练使学生思维分层递进，通过认知冲突，分散、突破教学难点，发现和弥补教学不足，纠正学生错误认识，培养学生举一反三的能力，变“学会”为“会学”.导数的综合应用复习案例设计一教材分析教材的地位和作用导数的综合应用”是高中数学人教A版教材选修2-2第一章的内容，它是中学数学与大学数学一个的衔接点.导数的应用为我们解决所学过的有关函数问题提供了一般性方法，是解决实际问题强有力的工具 通过本节的学习可以使学生树立利用导数处理问题的意识二教学目标分析根据新课程标准的要求，（1）知识与技能目标：能利用导数解决与切线有关问题，会求函数的单调区间、极值、最值，不等式恒成立，方程根个数等问题.（2）过程与方法目标：培养学生的数形结合、转化、分类讨论的数学思想，提高发现问题、分析问题、解决问题的能力.（3） 情感、态度与价值观目标：培养学生善于观察、勇于探索的良好习惯和严谨的科学态度以及辩证唯物主义的方法论和认识论的渗透.三、教学重点与难点教学重点：在学生已经学习完导数这一章内容且基础知识已经复习完的情况下，我们将重点设为在明确函数的单调性和导数的关系基础上，会求函数的单调区间、极值、最值.教学难点：不等式恒成立和方程根的个数问题.四、教学方法： 通过相同或相似的背景，尽量少的题目，以问题串的形式来实现教学目标，变式教学这样可以让学生从题海中解脱出来，形成知识网络，增强知识的系统性与连贯性，从而使学生能够抓住问题的本质，加深对问题的理解，从“变”的现象中发现“不变”的本质，从“不变”的本质中探索“变”的规律；五、教学情境设计教学环节教学内容与教学设计设计说明知识回顾前面我们已经学习了导数这一章，知道导数是一个很好的工具，这节课我们一起来探讨一下导数有哪些应用.1xx yy y2-1 问1：设f(x)是函数f(x)的导函数，y= f(x)的图像如图所示，请你画出原函数y=f(x)的图像 （接下来找学生到黑板前画出图像,锻炼学生动手能力,）问2：你为什么要这样画，你是怎样分析的？问3：那么当x=0与x=2时是原函数的什么点呢？问4：那么哪个是极大值点哪个是极小值点呢？评注：这里让做此题的学生说出自己的分析思考过程，充分体现了学生学习的自主性.问题设计的主要目的：直接从问题入手，以问题带动学生对知识的回忆，学生在动手画原函数的过程中就在进行知识和信息的整理，让学生亲自画出图像，能充分调动其参与课堂的积极性,通过师生的一问一答,让学生复习回顾了函数的单调性,极值点,极值的定义. 这里动手列表格可以让学生对函数的单调性和极值有更基本和清楚的认识，同时用手写出表格中的各项可以展现整个思维过程，这和用幻灯片直接投影出内容相比效果会更好.例题讲解例1 若函数,点P(-1,3)是函数图像上的点，点P处的切线的斜率为4，求b,c的值.变式1.若f(x)是R上的单调函数，求b的值.变式2. 若f(x)在x=1处取得极值,(1)此时方程f(x)=0有三个根，求c的取值范围.(2) 若例1和变式选题目的：设置这个题目的目的是为了让学生认识到导数的几何意义与曲线的切线相关，可以解决与切线有关的几何问题, 变式1的设置是在例1同样的背景下，复习函数的单调性，这是导数最基本的应用之一.在原题的背景下，层层递进，变式2中3次方程的根的个数的讨论也和导数的应用密切相关，只要根据图形，求出极大值和极小值之后，再判断出极大值和极小值与0的关系.几何画板的演示，使对方程根的个数的情况有了全面认识.在上一问求出函数的极大值和极小值后，恒成立问题就又深入了一步，需要求函数的最值，从而函数最值的求法得以复习巩固. 聚焦高考、把握难点例2（1）【2014陕西高考理】如图，某飞行器在4千米高空水平飞行，从距着陆点的水平距离10千米处下降，已知下降飞行轨迹为某三次函数图像的一部分，则函数的解析式为（ ） A. B.C. D.（2）【2014全国2高考理】设函数.若存在的极值点满足，则m的取值范围是（ ） A. B. C. D.通过真题试做，让学生对这节课的知识内容有个系统的认识，例2（1）主要是识图，观察出5是这个函数的一个极值点. 例2（2）是导数与三角函数相结合的一道综合题,关键是求出函数的极值点,而求极值点需要解一个三角方程.选题目的:加强学生对极值的认识.利用导数求函数的极小值和极大值的方法是导数在研究函数性质方面的继续深入，是导数应用的关键知识点.通过对函数极值的判定,可使学生加深对函数单调性与导数关系的理解.处理过程：以学生分析为主，老师组织学生发言，协调场面，必要的时候及时的纠正、引导.聚焦高考、把握难点例3【2013陕西理】已知函数. (1) 若直线ykx1与f (x)的反函数的图像相切, 求实数k的值; (2) 设x0, 讨论曲线yf (x) 与曲线 公共点的个数. (3) 设, 比较与的大小, 并说明理由. 例3、选题目的：该题第一问考察函数的切线问题，紧接着第二问又考查了函数图象的交点个数，运用数形结合思想解决问题,要求学生能够比较清晰的分类,做到不重不漏.第三问比较大小, 考查函数的凹凸性，富有明显的几何意义，为学生探索结论提供了明确的方向，转化为证明不等式恒成立问题。利用单调性证明不等式，关键是如何构造函数.如何利用函数的单调性研究函数的最值，进而转换成所需证的不等式.这是一道综合性很强的高考题.这道题的引入可以提高学生对导数应用的重视，也激发探究的热情. 课堂小结1、这节课复习的内容是：导数的综合应用.2、这节课复习了函数与方程思想,转化与化归的思想,分类讨论的思想，培养了学生严密的逻辑思维能力.处理过程：让学生稍加的整理思维，请学生代表起来对本节复习课的课堂内容进行小结（其他同学可以补充，或谈自己的心得），教师给予学生充分的肯定和鼓励.课后练习核按钮思考题：2013山东卷 设函数f(x)c(e2.718 28是自然对数的底数，cR)(1)求f(x)的单调区间、最大值；(2)讨论关于x的方程|ln x|f(x)根的个数让学生课后练习，巩固所学知识，从而熟练掌握本节重点，形成相应的数学能力.思考题可以激发部分学生学习的兴趣，起到“跳一跳就可以摘到桃”的功效.六、教学反思在高中阶段要求学生主要掌握利用导数知识研究曲线的切线,函数的单调性(判断函数的单调性,已知函数的单调性求参数的取值范围等),极值与最值,证明不等式,判断方程根的个数以及解决一些实际应用问题等,本节是复习课,我力争通过这一节课使学生对导数的掌握在深度和广度上有大的飞跃.课上较注重学生逆向思维,发散思维的培养. 这堂课能够抓住导数的应用为主线，通过设计一系列问题的分析，达到复习导数的综合应用的目的.这节复习课，我希望把课堂的主体留给学生，通过学生自己去发现问题、分析问题、解决问题.对于基础问题的延伸多采用学生自己编题自己解决，使学生打好基础，发展能力，激发学生学习数学的兴趣.对于有难度的问题，先让学生自主做，再分组讨论，通过探究进而解决问题. 作为本节复习课的案例设计，主要依据新课标高考在导数与积分部分命题的特点，将重心放在导数的应用上. 在例题的选择上倾向于导数在函数中的应用,对导数在实际问题中的应用没有涉及,在下次课上应补充完整. 因此在研究命题的基础上，如何组织使教学内容更丰富、更有效，这也为我以后的教学设计提供了方向.