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考点18 双曲线1.(20xx全国卷理科9)已知,为双曲线C:的左、右焦点,点P在C上,=60,则到轴的距离为( )(A) (B) (C) (D) 【命题立意】本小题主要考查双曲线的几何性质、余弦定理,突出考查双曲线中的焦点三角形问题,通过本题可以有效地考查考生对知识的的综合运用能力,运算能力以及解决解析几何问题的解题技巧.【思路点拨】方法一:利用双曲线的第一定义列出方程求解;方法二:利用双曲线的第二定义,结合余弦定理求解;方法三:直接利用双曲线的焦点三角形的面积公式.【规范解答】选B.(方法一)不妨设点在双曲线的右支上,则.由余弦定理得(方法二)不妨设点P在双曲线的右支上,由双曲线的第二定义得, ,由余弦定理得cosP=,即cos60,解得,所以,故P到x轴的距离为.(方法三)由焦点三角形面积公式得:2.(20xx江西高考理科)点在双曲线的右支上,若点A到右焦点的距离等于,则_.【命题立意】本题主要考查双曲线的基本知识,考查双曲线的焦半径公式及对知识的灵活运用能力【思路点拨】先确定双曲线的基本量,再由双曲线的焦半径公式求解.【规范解答】因为,所以,.由焦半径公式得.代入得,解得.【答案】3.(20xx重庆高考文科21)已知以原点为中心,为右焦点的双曲线的离心率(1)求双曲线的标准方程及其渐近线方程.(2)如 图,已知过点的直线与过点(其中)的直线的交点E在双曲线上,直线与双曲线的两条渐近线分别交与,两点,求的值.【命题立意】本小题考查双曲线的定义、标准方程、性质等基础知识,考查直线方程的基础知识,考查平面向量的运算求解能力,体现了方程的思想和数形结合的思想方法.【思路点拨】(1)由e,求出,再由求出.(2)点E是关键点,根据点E的坐标求出直线MN的方程,解两条直线组成的方程组得点G,H的坐标,即向量,的坐标,再进行向量的数量积运算,化简、整理可得.【规范解答】(1)设C的标准方程为(,),则由题意知.又, 所以,所以C的标准方程为,C的渐近线方程为,即和.(2)(方法一)由题意点在直线:和:上,因此有,所以点M,N均在直线上,因此直线MN的方程为.设G,H分别是直线MN与渐近线,的交点,故.因为点E在双曲线上,有,所以.(方法二)设,由方程组解得因为,所以直线MN的斜率,故直线MN的方程为,注意到,因此直线MN的方程为.以下与方法一相同.【方法技巧】(1)字母运算是解答本题的主要特点.(2)已知与未知的相互转化,即关于点E的坐标的两个等式和,通过转化字母的已知与未知的关系,和看作已知,点和代入方程,得到直线MN的方程.(3)关键点E在解题中的关键作用.4.(20xx重庆高考理科20)已知以原点O为中心,为右焦点的双曲线C的离心率.(1)求双曲线C的标准方程及其渐近线方程.(2)如图,已知过点的直线与过点(其中)的直线的交点E在双曲线C上,直线MN与两条渐近线分别交与G,H两点,求的面积.【命题立意】本小题主要考查直线、双曲线的基础知识,考查方程的思想和数形结合的思想方法.【思路点拨】(1)由e,求出,再由求出.(2)点E是关键点,根据点E的坐标求出直线MN的方程,解两条直线组成的方程组得到点G,H的纵坐标,求出直线与轴的交点的横坐标,确定OQ的长,从而表示出的面积,化简即得.【规范解答】(1)设C的标准方程为(,),则由题意知.又, 所以,所以C的标准方程为,C的渐近线方程为,即和.(2)(方法一)如图,由题意点在直线:和:上,因此有,所以点M,N均在直线上,因此直线MN的方程为.设G,H分别是直线MN与渐近线,的交点,设MN与轴的交点为Q,则在直线中,令,因为,所以.又因为,所以+,即的面积是2.(方法二)设,由方程组解得因为,所以直线MN的斜率故直线MN的方程为,注意到,因此直线MN的方程为.以下与方法一相同. 【方法技巧】(1)字母运算是解答本题的主要特点.(2)已知与未知的相互转化,即关于点E的坐标的两个等式和,通过转化字母的已知与未知的关系,和看作已知,点和代入方程,得到直线MN的方程.(3)关键点E在解题中的关键作用. 5.(20xx全国高考卷理科21)已知斜率为1的直线与双曲线C:相交于B,D两点,且BD的中点为M(1,3)()求C的离心率.()设C的右顶点为A,右焦点为F,|DF|BF|=17.证明:过A,B,D三点的圆与x轴相切.【命题立意】本题考查了直线、双曲线、直线与双曲线的位置关系等知识,考查推理论证能力、运算求解能力,体现了数形结合思想及化归与转化思想.【思路点拨】由已知可得直线方程,代入双曲线方程,由根与系数的关系与已知M点得到a、b的关系,及得离心率。第二问用韦达定理及|DF|BF|=17,可求得双曲线的方程,考查并证明MA=MB=MD且MA轴.【规范解答】(1)由题意知,的方程为:y=x+2.代入C的方程化简,得 (b-a)x-4ax-4a- =0 设B(x,y)、D(x,y),则 x+x=,xx= 由M(1,3)为BD的中点知,故,即 故所以的离心率()由可知,C的方程为:,A(a,0),F(2a,0),0, 故不妨设BFFD=又FDBF=17,故解得故BD=连结MA,则由A(1,0),M(1,3)知MA=MB=MD,且MA轴,因此以M为圆心,MA为半径的圆经过A,B,D三点,且在点A处与x轴相切,所以过A, B,D三点的圆与x轴相切。ABMDFOxy【方法技巧】 1.解析几何问题要求根据曲线的几何特征熟练地转化为数量关系(如方程、函数),结合代数知识解答,要重视函数与方程思想、数形结合思想、等价转化数学思想的应用.2.对运算能力要求简洁、合理.能根据题意依据顺势思维进行求解,正如本题第二问根据MA=MB=MD进行证明过A,B,D三点的圆与x轴相切.
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