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专题 选讲部分1【2018衡水联考】在平面直角坐标系中，已知曲线： （为参数），以原点为极点， 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程为（1）求曲线的普通方程和直线的直角坐标方程；（2）过点，且与直线平行的直线交曲线于， 两点，求点到， 两点的距离之积【答案】（1）， ；（2）1试题解析：（1）由题知，曲线化为普通方程为，由，得，所以直线的直角坐标方程为（2）由题知，直线的参数方程为（为参数），代入曲线： 中，化简，得，设， 两点所对应的参数分别为， ，则，所以2【2018河南中原名校联考】已知曲线的极坐标方程为，曲线的参数方程为，（ 为参数）.（1）将两曲线化成普通坐标方程；（2）求两曲线的公共弦长及公共弦所在的直线方程.【答案】(1)曲线： ，曲线： ；(2) ， .试题解析：解：（1）由题知，曲线： 的直角坐标方程为： ，圆心为，半径为1；曲线： （为参数）的直角坐标方程为，（2）由-得， ，此即为过两圆的交点的弦所在的直线方程.圆心到直线的距离，故两曲线的公共弦长为.【点睛】1、求两个圆的公共弦所在的直线方程时，两个圆的方程相减化简可得；2、求圆的弦长时，注意利用弦心距、弦长一半、半径的勾股数关系。3【2018华大新高考质检】在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），以为极点,轴正半轴为极轴，建立极坐标系，直线的极坐标方程为.（1）若，求直线交曲线所得的弦长；（2）若上的点到的距离的最小值为1，求.【答案】（1）；（2）.【解析】试题分析：（1）求出曲线C的普通方程知曲线为圆，进而利用直线与圆相交求弦长即可；（2）圆上的点到直线的最小即为圆心到直线的距离减去半径即可.试题解析：（1）曲线的普通方程为.当时，直线的普通方程为.设圆心到直线的距离为,则.从而直线交曲线所得的弦长为.（2）直线的普通方程为.则圆心到直线的距离.由题意知，.4【2018黑龙江齐齐哈尔一模】在直角坐标系中，直线的参数方程为 (为参数），以坐标原点为极点， 轴正半轴为极轴建立极坐标系，圆的极坐标方程为.（1）求直线的普通方程与圆的直角坐标方程；（2）设直线与圆相交于两点，求.【答案】（1）;（2）试题解析：解：（1）由可得.因为，所以，即.（2）由（1）知圆的圆心为，圆心到直线的距离，所以弦长为.5【2018四川绵阳一模】在直角坐标系中，曲线的参数方程是（为参数），以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴，建立极坐标系.（1）求曲线的极坐标方程；（2）设，若与曲线分别交于异于原点的两点，求的面积.【答案】（）；（）试题解析：（）将C的参数方程化为普通方程为(x-3)2+(y-4)2=25，即x2+y2-6x-8y=0 C的极坐标方程为 （）把代入，得， 把代入，得， SAOB 6【2018山西两校联考】在平面直角坐标系中，曲线 (为参数)，以坐标原点为极点， 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.（1）分别求曲线的普通方程和曲线的直角坐标方程；（2）若分别为曲线上的动点，求的最大值.【答案】（1） , ；（2）.试题解析：（1）由曲线参数方程可得因为,所以的普通方程为.因为曲线的极坐标方程为，即，故曲线的直角坐标方程为，即.（2）设则到曲线的圆心的距离 ，当时， 有最大值.的最大值为.7【2018福建泉州一中联考】在平面直角坐标系中，曲线的方程为.以坐标原点为极点， 轴的非负半轴为极轴，建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.（1）写出曲线的参数方程和曲线的直角坐标方程； （2）设点在曲线上，点在曲线上，求的最大值.【答案】（1）的参数方程为 (为参数)， 的直角坐标方程为；（2）()曲线是以 为圆心， 为半径的圆.设出点的的坐标，结合题意得到三角函数式： .结合二次型复合函数的性质可得.试题解析：（）曲线的参数方程为（为参数），的直角坐标方程为，即.（）由（）知，曲线是以 为圆心， 为半径的圆.设，则 .当时， 取得最大值.又因为，当且仅当三点共线，且在线段上时，等号成立.所以.8【2018南宁摸底联考】已知曲线的参数方程为：（为参数），以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为：，直线的直角坐标方程为.（l）求曲线和直线的极坐标方程；（2）已知直线分别与曲线、曲线交异于极点的，若的极径分别为，求的值.【答案】(1)答案见解析；(2)3.试题解析：（1）曲线的参数方程为（为参数），普通方程圆：极坐标方程为，直线的直角坐标方程为，故直线的极坐标方程为.（2）曲线的极坐标方程为：，直线的极坐标方程为，将代入的极坐标方程得，将代入的极坐标方程得，. 9【2018广西柳州摸底联考】在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为 (其中为参数）.以坐标原点为极点， 轴正半轴为极轴建立极坐标系并取相同的单位长度，曲线的极坐标方程为.（1）把曲线的方程化为普通方程， 的方程化为直角坐标方程；（2）若曲线， 相交于两点， 的中点为，过点做曲线的垂线交曲线于两点，求.【答案】（1）， （2）16试题解析：（1）曲线的参数方程为（其中为参数），消去参数可得.曲线的极坐标方程为，展开为，化为.（2）设，且中点为，联立，解得，.线段的中垂线的参数方程为（为参数），代入，可得，.点睛：直线的参数方程的标准形式的应用过点M0(x0，y0)，倾斜角为的直线l的参数方程是.(t是参数，t可正、可负、可为0)若M1，M2是l上的两点，其对应参数分别为t1，t2，则(1)M1，M2两点的坐标分别是(x0t1cos ，y0t1sin )，(x0t2cos ，y0t2sin ).(2)|M1M2|t1t2|.(3)若线段M1M2的中点M所对应的参数为t，则t，中点M到定点M0的距离|MM0|t|.(4)若M0为线段M1M2的中点，则t1t20.10【2018广西南宁八中联考】在直角坐标系中，曲线的参数方程为（是参数），以原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.（）求曲线的直角坐标方程，并指出其表示何种曲线；（）若曲线与曲线交于两点，求的最大值和最小值.【答案】（）见解析（）.【解析】试题分析：（1）利用极坐标与直角坐标的互化方法，即可得出结论；（2）由题意知（）曲线是过点的直线，由知点在曲线内，所以当直线过圆心时，的最大为4；当为过点且与垂直时，最小.，最小值为 .11【2018贵州黔东南州联考】以平面直角坐标系的原点为极点， 轴正半轴为极轴且取相同的单位长度建立极坐标系已知点的参数方程为（为参数），点在曲线上（1）求在平面直角坐标系中点的轨迹方程和曲线的普通方程；（2）求的最大值【答案】（1），曲线的普通方程为；（2）.（2）如图：由题意可得，点的线段上，点在圆上，圆的圆心到直线的距离，直线与圆相切，且切点为，易知线段上存在一点，则点与圆心的连线，与圆的交点满足取最大值.即当点坐标为时， 取最大值.，的最大值为.12【2018黑龙江海林朝鲜中学一模】以直角坐标系的原点为极点O，轴正半轴为极轴，已知点P的直角坐标为(1,-5),点C的极坐标为,若直线l经过点P,且倾斜角为，圆C的半径为4.(1).求直线l的参数方程及圆C的极坐标方程;(2).试判断直线l与圆C有位置关系.【答案】（1），；（2）直线与圆相离.试题解析：（1）直线的参数方程，即（为参数）由题知点的直角坐标为，圆半径为，圆方程为将代入得圆极坐标方程5分（2）由题意得，直线的普通方程为，圆心到的距离为，直线与圆相离. 10分考点：直线的参数方程、极坐标方程、点到直线的距离公式、直线与圆的位置关系.13【2018河南漯河中学二模】已知直线的参数方程为(为参数)，以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系曲线的极坐标方程为，且曲线的左焦点在直线上(1) 若直线与曲线交于两点，求的值；(2) 求曲线的内接矩形的周长的最大值【答案】(1)2(2)16试题解析：(1) 曲线的直角坐标系方程为: 直线的参数方程为（为参数）将代入得：设两点所对应的参数为，则 (2) 设为内接矩形在第一象限的顶点，则矩形的周长当即时周长最大，最大值为1614【2018湖南五市十校联考】已知函数.（1）求不等式的解集；（2）若关于的不等式恒成立，求实数的取值范围.【答案】（1）或；（2）.试题解析：（1）原不等式等价于或或，解得或或.不等式的解集为或.（2）不等式恒成立等价于，即，则，解得，实数的取值范围是.15【2018黑龙江齐齐哈尔八中三模】已知函数.（1）求不等式的解集；（2）若不等式对于恒成立，求实数的取值范围.【答案】（1）；（2）试题解析：（1）依题意， 故不等式的解集为（2）由（1）可得，当时， 取最小值， 对于恒成立，即，解之得，实数的取值范围是点睛：绝对值函数基本处理技巧就是去绝对值，得到分段函数，本题中再进行分段解不等式，得到答案；任意型恒成立问题得到，由分段函数分析得到，所以，解得答案。16【2018河南中原名校质检】已知关于的不等式.（1）当时，解不等式；（2）如果不等式的解集为空集，求实数的取值范围.【答案】(1) ；(2) .情况的并集，可得原不等式的解集。（2）解法一：构造函数与，原不等式的解集为空集， 的最小值比大于或等于，作出与的图象. 只须的图象在的图象的上方，或与重合， 。解法二：构造函数，讨论绝对值号内式子得正负去掉绝对值可得， ，求每一段函数的值域，可得函数的最小值=1， 小于等于函数的最小值1.解法三，由不等式可得，当且仅当时，上式取等号，.试题解析：解：（1）原不等式变为.当时，原不等式化为，解得， 当时，原不等式化为， .当时，原不等式化为，解得， .综上，原不等式解集为.（2）解法一：作出与的图象.若使解集为空集，只须的图象在的图象的上方，或与重合，所以的范围为.解法二： ，当时， ，当时， ，当时， ，综上，原问题等价于， .解法三：，当且仅当时，上式取等号，.17【2018辽宁鞍山一中二模】已知函数.（1）当时，求不等式的解集；（2）若不等式的解集不是空集，求实数的取值范围.【答案】（1）或；（2）【解析】试题分析：（1）通过讨论的范围，得到关于的不等式组，即可求解不等式的解集；（2）求出的最小值，得到关于的不等式，即可求解实数的取值范围.试题解析：（1）原不等式等价于，或或故不等式的解集是或；（2），.18【2018陕西西安长安区联考】 已知函数.（1）若不等式的解集为，求实数的值； （2）在（1）的条件下，若，使得，求实数的取值范围.【答案】（1）3（2） （2）在（1）的条件下，若f（x）+f（x+5）4m成立，即|x3|+|x+2|4m成立，故（|x3|+|x+2|）min4m，而|x3|+|x+2|（x3）+（x2）|=5，4m5，解得：m，即m的范围为（，+）19【2018华大新高考联盟质检】已知函数.（1）若，解不等式；（2）若，求实数的取值范围.【答案】（1） ；（2）.当时，不等式可化为，即，此时不等式的解集为.当时，不等式可化为，即，此时不等式的解集为.当时，不等式可化为，即，此时不等式的解集为.综上知不等式的解集为 .（2）方法一：， 或，即或.的取值范围是.方法二 若，不满足题设条件.若，此时的最小值为.若，此时的最小值为.所以的充要条件是，从而的取值范围是.20【2018黑龙江齐齐哈尔一模】已知函数.（1）求不等式的解集；（2）若对任意，不等式恒成立，求实数的取值范围.【答案】（1）;（2）试题解析：解：（1）不等式可化为，即 ，所以不等式的解集为.（2）等价于恒成立.因为，所以实数的取值范围为.21【2018四川绵阳质检】已知函数.（1）解不等式；（2）记的最小值是，正实数满足，求的最小值.【答案】（）；（）【解析】试题分析：（1）分区间讨论去掉绝对值号，即可求解；（2）先求出最小值，再根据，构造利用均值不等式求解.试题解析：（）当x时，f(x)=-2-4x，由f(x)6解得x-2，综合得x-2，当时，f(x)=4，显然f(x)6不成立，当x时，f(x)=4x+2，由f(x)6解得x1，综合得x1所以f(x)6的解集是 （）=|2x-1|+|2x+3|，即的最小值m=4 ，由可得， 解得， 的最小值为22【2018南宁摸底联考】已知函数，.（l）求的解集；（2）若对任意的，都有.求的取值范围.【答案】(1)；(2)或.试题解析：（1）函数，故，等价于.等价于，或，或.解求得，解求得，解求得.综上可得，不等式的解集为.（2）若对任意的，都有，可得.函数 ，. ，故.，或，求得或.故要求的的范围为或.【点睛】对于绝对值不等式的求解，我们常用分段讨论的方法，也就是按绝对值的零点把数轴上的实数分成多段进行分段讨论，要注意分段时不重不漏，分段结果是按先交后并做运算。对于一次绝对值函数，我们常采用绝对值不等式求函数的最大（小）值。23【2018广西柳州摸底联考】已知函数.（1）解关于的不等式；（2）若，求实数的取值范围.【答案】（1）（2）试题解析：（1）可化为，.不等式的解集为.（2）在上单调递増，又， ，只需要，化简为，解得.21
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