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第23练 概率与离散型随机变量的分布列、均值【理】一.题型考点对对练1（互斥事件的概率）甲、乙两名同学参加一项射击比赛游戏，其中任何一人每射击一次击中目标得2分，未击中目标得0分.若甲、乙两人射击的命中率分别为和，且甲、乙两人各射击一次得分之和为2的概率为.假设甲、乙两人射击互不影响，则值为 （ ）A. B. C. D. 【答案】C 2.（古典概型）从数字1，2，3 ，4，5中，随机抽取3个数字（允许重复）组成一个三位数，其各位数字之和等于12的概率为A. B. C. D. 【答案】A【解析】因为从数字1，2，3 ，4，5中，随机抽取3个数字（允许重复）组成一个三位数共有个，其中三个数字之和为的可能有，共种，故各位数字之和等于12的概率为，应选答案A. 3.（几何概型）执行如图所示的程序框图，如输入的值为1，输出的值为，则在区间上随机选取一个数， 的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】B【解析】由得,第一次循环后， 第二次循环后， 第三次循环后， .故选.4.（条件概率）小赵、小钱、小孙、小李到4个景点旅游，每人只去一个景点，设事件“4个人去的景点不相同”，事件“小赵独自去一个景点”，则（ ）A. B. C. D. 【答案】A 5.（二项分布的分布列与期望）某厂有台大型机器，在一个月中，一台机器至多出现次故障，且每台机器是否出现故障是相互独立的，出现故障时需名工人进行维修每台机器出现故障需要维修的概率为(1)问该厂至少有多少名工人才能保证每台机器在任何时刻同时出现故障时能及时进行维修的概率不少于？(2)已知一名工人每月只有维修台机器的能力，每月需支付给每位工人万元的工资每台机器不出现故障或出现故障能及时维修，就使该厂产生万元的利润，否则将不产生利润若该厂现有名工人求该厂每月获利的均值【解析】(1)一台机器运行是否出现故障可看作一次实验，在一次试验中，机器出现故障设为事件，则事件的概率为该厂有台机器就相当于次独立重复试验，可设出现故障的机器台数为，则，即的分布列为：X01234设该厂有名工人，则“每台机器在任何时刻同时出现故障时能及时进行维修”为，即，这个互斥事件的和事件，则01234，至少要名工人，才能保证每台机器在任何时刻同时出现故障时能及时进行维修的概率不少于(2)设该厂获利为万元，则的所有右能取值为：18,13,8， ，即的分布列为：则故该厂获利的均值为6.（超几何分布的分布列与期望）某同学在研究性学习中，收集到某制药厂今年前5个月甲胶囊生产产量（单位：万盒）的数据如下表所示：（月份）12345（万盒）44566（1）该同学为了求出关于的线性回归方程，根据表中数据已经正确计算出，试求出的值，并估计该厂6月份生产的甲胶囊产量数；（2）若某药店现有该制药厂今年二月份的甲胶囊4盒和三月份生产的甲胶囊5盒，小红同学从中随机购买了3盒甲胶囊，后经了解发现该制药厂今年二月份生产的所有甲胶囊均存在质量问题.记小红同学所购买的3盒甲胶囊中存在质量问题的盒数为，求的分布列和数学期望. （2）， ， ， ， ，其分布列为0123.7.（与分布列、均值相关的综合问题）某地政府拟在该地一水库上建造一座水电站，用泄流水量发电图4是根据该水库历年的日泄流量的水文资料画成的日泄流量X（单位：万立方米）的频率分布直方图（不完整），已知，历年中日泄流量在区间30，60）的年平均天数为156，一年按364天计 （）请把频率分布直方图补充完整；（）该水电站希望安装的发电机尽可能运行，但每30万立方米的日泄流量才够运行一台发电机，如时才够运行两台发电机，若运行一台发电机，每天可获利润为4000元，若不运行，则该台发电机每天亏损500元，以各段的频率作为相应段的概率，以水电站日利润的期望值为决策依据，问：为使水电站日利润的期望值最大，该水电站应安装多少台发电机？【解析】（）在区间30，60）的频率为，设在区间0，30）上， ，则，若安装1台发电机，则Y的值为-500，4000，其分布列为Y-5004000PE(Y)； 若安装2台发电机，则Y的值为-1000，3500，8000，其分布列为Y-100035008000PE(Y)； 若安装3台发电机，则Y的值为-1500，3000，7500，12000，其分布列为Y-15003000750012000PE(Y)；要使水电站日利润的期望值最大，该水电站应安装3台发电机二.易错问题纠错练8.（基本事件列举重复或遗漏至错）质地均匀的正四面体表明分别印有0,1,2,3四个数字，某同学随机的抛掷次正四面体2次，若正四面体与地面重合的表面数字分别记为，且两次结果相互独立，互不影响.记为事件，则事件发生的概率为( )A. B. C. D. 【答案】A【解析】根据要求两次点数情况进行一一列举，再考虑满足事件A的情况。两次点数分别为，共有16种情形，其中满足题设条件的有，共6种情形，所以由古典概型的计算公式可得事件发生的概率为，应选答案A。【注意问题】根据要求两次点数情况进行一一列举，再考虑满足事件A的情况9.（辨别不清几何概型和古典概型至错）两位同学约定下午5：30-6：00在图书馆见面，且他们在：30-6：00之间到达的时刻是等可能的，先到的同学须等待，15分钟后还未见面便离开，则两位同学能够见面的概率是（ ）A. B. C. D. 【答案】D 设甲、乙各在第分钟和第分钟到达，则样本空间为画成图为一正方形；会面的充要条件为，即事件A可以会面所对应的区域是图中的阴影部分，故由几何概型公式知所求概率为面积之比，即，故选D. 【注意问题】因涉及两人见面时间，故考虑到是几何概型，建立坐标系列出满足条件的式子，计算出最终的概率10.（二项分布与超几何分布混淆至错）某高校数学系2016年高等代数试题有6个题库，其中3个是新题库（即没有用过的题库），3个是旧题库（即至少用过一次的题库），每次期末考试任意选择2个题库里的试题考试.（1）设2016年期末考试时选到的新题库个数为，求的分布列和数学期望；（2）已知2016年时用过的题库都当作旧题库，求2017年期末考试时恰好到1个新题库的概率【解析】（）的所有可能取值为0，1，2， 设“2016年期末考试时取到个新题库（即）”为事件又因为6个题库中，其中3个是新题库，3个是旧题库，所以；，所以的分布列为012P的数学期望为 （）设“从6个题库中任意取出2个题库，恰好取到一个新题库”为事件，则“2017年时恰好取到一个新题库”就是事件，而事件互斥，所以 所以2017年时恰好取到一个新题库的概率为【注意问题】先确定随机变量所有可能取值,再分别求对应概率,列表可得分布列,最后根据数学期望公式求期望三.新题好题好好练11.现有一个不透明的口袋中装有标号为1,2,2,3,3,3,的六个小球，他们除数字外完全相同，现从中随机取出一球记下号码后放回，均匀搅拌后再随机取出一球，则两次取出小球所标号码不同的概率为（ ）A. B. C. D. 【答案】D 12.若命题：从有2件正品和2件次品的产品中任选2件得到都是正品的概率为三分之一；命题：在边长为4的正方形内任取一点，则的概率为，则下列命题是真命题的是（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】因为从有2件正品和2件次品的产品中任选2件得到都是正品的概率为，即命题是错误，则是正确的；在边长为4的正方形内任取一点，若的概率为，即命题是正确的，故由符合命题的真假的判定规则可得答案 是正确的，应选答案B。13.集装箱有标号为1，2，3，4，5，6且大小相同的6个球，从箱中一次摸出两个球，记下号码并放回，如果两球号码之积是4的倍数，则获奖.若有4人参与摸奖，恰好有3人获奖的概率是（ ）A. B. C. D. 【答案】B 14.在区间上任取实数，在区间上任取实数，使函数有两个相异零点的概率是（ ）A. B. C. D. 【答案】A 【解析】由题设可得，在同一平面直角坐标系中画出不等式组表示的区域如图，则，故由几何概型的计算公式可得所求概率为，应选答案A。15.某学校高一、高二、高三三个年级共有300名教师，为调查他们的备课时间情况，通过分层抽样获得了20名教师一周的备课时间，数据如下表（单位：小时） （1）试估计该校高三年级的教师人数；（2）从高一年级和高二年级抽出的教师中，各随机选取一人，高一年级选出的人记为甲，高二年级班选出的人记为乙，假设所有教师的备课时间相对独立，求该周甲的备课时间不比乙的备课时间长的概率；（3）再从高一、高二、高三三个年级中各随机抽取一名教师，他们该周的备课时间分别是8,9,10（单位：小时），这三个数据与表格中的数据构成的新样本的平均数记为，表格中的数据平均数记为，试判断与的大小（结论不要求证明） 所以故；（3）， 三组总平均值，新加入的三个数的平均数为9，比小，故拉低了平均值，16.已知6只小白鼠有1只被病毒感染，需要通过对其化验病毒来确定是否感染.下面是两种化验方案：方案甲：逐个化验，直到能确定感染为止.方案乙：将6只分为两组，每组三个，并将它们混合在一起化验，若存在病毒，则表明感染在这三只当中，然后逐个化验，直到确定感染为止；若结果不含病毒，则在另外一组中逐个进行化验.（1）求依据方案乙所需化验恰好为2次的概率.（2）首次化验化验费为10元，第二次化验化验费为8元，第三次及其以后每次化验费都是6元，列出方案甲所需化验费用的分布列，并估计用方案甲平均需要体验费多少元？ （2）设方案甲化验的次数为，则可能的取值为1,2,3,4,5,对应的化验费用为元,则， 则其化验费用的分布列为所以（元）.所以甲方案平均需要化验费元12
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