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专题04 三角函数 易错点1 不能正确理解三角函数的定义角的终边落在直线y2x上，则sin的值为A BC D【错解】选C.在角的终边上取点P(1,2)，r|OP|，sin，故选C【错因分析】当角的终边在一条直线上时，应注意到角的终边为两条射线，所以应分两种情况处理，而错解中没有对两种情况进行讨论导致错误当角的终边在第三象限时，在角的终边上取点Q(1，2)，sin.故选D【参考答案】D1定义设是一个任意角，它的顶点与原点重合，始边与轴非负半轴重合，点是角的终边上任意一点，到原点的距离，那么角的正弦、余弦、正切分别是 注意：正切函数的定义域是，正弦函数和余弦函数的定义域都是.2三角函数值在各象限内的符号三角函数值在各象限内的符号口诀：一全正、二正弦、三正切、四余弦1已知角的终边过点P,则角的正弦值、余弦值分别为ABC或D或【答案】C【易错提醒】本题主要考查了三角函数的定义以及分类讨论思想方法，这也是高考考查的一个重点. 学生在做题时容易遗忘的情况易错点2 利用同角三角函数基本关系式时忽略参数取值已知cost，求sin、tan的值【错解】当0t1时，为第一或第四象限角.为第一象限角时，sin，tan；为第四象限角时，sin，tan.当1t0时，为第二或第三象限角.为第二象限角时，sin，tan；为第三象限角时，sin，tan.综上，.【错因分析】上述解法注意到了的余弦值含有参数t，根据余弦函数的取值范围对t进行分类讨论，但上述讨论不全面，漏掉了很多情况，如t1，t0，t1.当0t0）的单调区间时，要视“x”为一个整体，通过解不等式求解但如果0，那么一定先借助诱导公式将化为正数，防止把单调性弄错（2）已知三角函数的单调区间求参数：先求出函数的单调区间，然后利用集合间的关系求解（3）利用三角函数的单调性求值域（或最值）：形如y=Asin（x）b或可化为y=Asin（x）b的三角函数的值域（或最值）问题常利用三角函数的单调性解决.4三角函数的奇偶性、周期性、对称性的处理方法（1）求三角函数的最小正周期，一般先通过恒等变形化为y=Asin(x)，y=Acos(x)，y=Atan(x)的形式，再分别应用公式T=，T=，T=求解（2）对于函数y=Asin（x），其对称轴一定经过图象的最高点或最低点，对称中心的横坐标一定是函数的零点，因此在判断直线x=x0或点（x0，0）是否为函数的对称轴或对称中心时，可通过检验f（x0）的值进行判断（3）若f（x）=Asin（x）为偶函数，则=k（kZ），同时当x=0时，f（x）取得最大或最小值若f（x）=Asin（x）为奇函数，则=k（kZ），同时当x=0时，f（x）=0.5（1）函数的单调递减区间是_（2）已知函数yasinx2，xR的最大值为3，则实数a的值是_（3）若函数ytan(2x)的图象的一个对称中心为(，0)，且0时，当sinx1时，函数yasinx2(xR)取最大值a2，a23，a1；若a0，当sinx1时，函数yasinx2(xR)取得最大值a23，a1.综上可知，a的值为1. （3）易知函数ytanx的图象的对称中心为(，0)，其中kZ，所以2x，其中x，即，kZ.因为0，a0两种情况进行讨论（3）在解答本题时，误认为正切函数图象的对称中心的坐标是(k，0)(其中kZ)，但由正切函数的图象发现：点(k，0)(其中kZ)也是正切曲线的对称中心，因此正切函数图象的对称中心的坐标是(，0)(其中kZ) 易错点6 三角恒等变换中忽略角的范围致误已知、为三角形的两个内角，cos，sin（），则A B C D【错解】选C.0，cos，sin.又sin（），cos（）sinsin（+）sin（）coscos（）sin.又0，.【错因分析】（1）不能根据题设条件缩小、及的取值范围，在由同角基本关系式求sin（）时不能正确判断符号，产生两角（2）结论处应由cos的值确定的取值，由sin确定结论时易出现两解而造成失误所以coscos（）cos（）cossin（）sin.又0，所以.【参考答案】A利用三角函数值求角时，要充分结合条件，确定角的取值范围，再选取合适的三角函数进行求值，最后确定角的具体取值1给角求值给角求值中一般所给出的角都是非特殊角，从表面上来看是很难的，但仔细观察会发现非特殊角与特殊角之间总有一定的关系解题时，要利用观察得到的关系，结合公式将非特殊角的三角函数转化为特殊角的三角函数，从而得解.2给值求值已知三角函数值，求其他三角函数式的值的一般思路：（1）先化简所求式子（2）观察已知条件与所求式子之间的联系(从三角函数名及角入手)（3）将已知条件代入所求式子，化简求值3给值求角通过求角的某种三角函数值来求角，在选取函数时，有以下原则：（1）已知正切函数值，则选正切函数（2）已知正、余弦函数值，则选正弦或余弦函数若角的范围是，则选正、余弦皆可；若角的范围是(0，)，则选余弦较好；若角的范围为，则选正弦较好.4常见的角的变换（1）已知角表示未知角例如：，.（2）互余与互补关系例如：，.（3）非特殊角转化为特殊角例如：15=4530，75=4530.6（1）已知ABC中，sin(AB)，cosB，则cosA的值为A B C D（2）已知sinsin，coscos，且、，则tan()的值为A B C D【答案】（1）C（2）C（2）由题知sinsin，coscos， 由于sinsin0，所以0.由22，得cos()，所以sin().所以tan().（1）首先确定角的范围，再求值，常出现的错误在于没有从cosB0发掘出B为钝角，从而可得AB为钝角，所以cos(AB).（2）本题条件sinsin中隐含了“0,0）的图象，有两种主要途径：“先平移后伸缩”与“先伸缩后平移”.如下图.五点作图法：找五个关键点，分别为使y取得最小值、最大值的点和曲线与x轴的交点.其步骤为： 先确定最小正周期T=,在一个周期内作出图象； 令,令X分别取0，,求出对应的x值，列表如下：由此可得五个关键点； 描点画图，再利用函数的周期性把所得简图向左右分别扩展，从而得到的简图.（2）函数（A0,0）的性质：奇偶性：时，函数为奇函数；时，函数为偶函数. 周期性：存在周期性，其最小正周期为T= .单调性：根据y=sint和t=的单调性来研究，由得单调增区间；由得单调减区间. 对称性：利用y=sin x的对称中心为求解，令，求得x. 利用y=sin x的对称轴为求解，令，得其对称轴.三、三角恒等变换1两角和与差的正弦、余弦、正切公式（1）：（2）：（3）：（4）：（5）：（6）：2二倍角公式（1）：（2）：（3）：公式的常用变形：（1）；（2）降幂公式：；（3）升幂公式：；（4）辅助角公式：，其中，3半角公式（1）（2）（3）此公式不用死记硬背，可由二倍角公式推导而来，如下图：四、正、余弦定理及解三角形1正弦定理（1）内容：在中，若角A，B，C对应的三边分别是a，b，c，则各边和它所对角的正弦的比相等，即.正弦定理对任意三角形都成立（2）常见变形： 正弦定理的推广：，其中为的外接圆的半径.1正弦定理解决的问题（1）已知两角和任意一边，求其他的边和角；（2）已知两边和其中一边的对角，求其他的边和角2在中，已知，和时，三角形解的情况2余弦定理（1）内容：三角形中任何一边的平方等于其他两边的平方的和减去这两边与它们的夹角的余弦的积的两倍，即（2）从余弦定理，可以得到它的推论：.1余弦定理解决的问题（1）已知三边，求三个角；（2）已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两角2利用余弦定理解三角形的步骤3三角形的面积公式设的三边为a，b，c，对应的三个角分别为A，B，C，其面积为S.（1） (h为BC边上的高)；（2）；（3）(为三角形的内切圆半径)12017新课标卷理已知曲线C1：y=cos x，C2：y=sin (2x+)，则下面结论正确的是A把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移个单位长度，得到曲线C2B把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到曲线C2C把C1上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移个单位长度，得到曲线C2D把C1上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到曲线C2【答案】D【名师点睛】对于三角函数图象变换问题，首先要将不同名函数转换成同名函数，利用诱导公式，需要重点记住；另外，在进行图象变换时，提倡先平移后伸缩，而先伸缩后平移在考试中也经常出现，无论哪种变换，记住每一个变换总是对变量而言.22017天津卷理设函数，其中若且的最小正周期大于，则ABCD【答案】A【解析】由题意得，其中，所以，又，所以，所以，由得，故选A【名师点睛】关于的问题有以下两种题型：提供函数图象求解析式或参数的取值范围，一般先根据图象的最高点或最低点确定，再根据最小正周期求，最后利用最高点或最低点的坐标满足解析式，求出满足条件的的值；题目用文字叙述函数图象的特点，如对称轴方程、曲线经过的点的坐标、最值等，根据题意自己画出大致图象，然后寻求待定的参变量，题型很活，一般是求或的值、函数最值、取值范围等32017山东卷理在中，角A，B，C的对边分别为，若为锐角三角形，且满足，则下列等式成立的是A B C D【答案】A【名师点睛】本题较为容易，关键是要利用两角和与差的三角函数公式进行恒等变形. 首先用两角和的正弦公式转化为含有A，B，C的式子，再用正弦定理将角转化为边，得到.解答三角形中的问题时，三角形内角和定理是经常用到的一个隐含条件，不容忽视.4若角的终边在直线上，且，则和的值分别为A BC D【答案】D 【解析】角的终边在直线上，且，所以终边在第二象限，在终边上取一点，则，故选D5设为锐角，若cos（），则sin的值为A B C D【答案】B 【解析】因为为锐角，且，所以，所以，故选B.6已知函数，则是A最小正周期为的奇函数 B最小正周期为的偶函数C最小正周期为的奇函数 D最小正周期为的偶函数【答案】D 7函数（其中，）的一部分图象如图所示，将函数上的每一个点的纵坐标不变，横坐标伸长为原来的2倍，得到的图象表示的函数可以为A BC D【答案】A【解析】由题意得，选A.【名师点睛】已知函数的图象求解析式：(1).(2)由函数的周期求(3)利用“五点法”中相对应的特殊点求.8在中，角的对边分别为，若，则A B C D【答案】D本题选择D选项. 92017北京卷理在平面直角坐标系xOy中，角与角均以Ox为始边，它们的终边关于y轴对称.若，则=_.【答案】【解析】因为和关于轴对称，所以，那么，（或），所以.【名师点睛】本题考查了角的对称关系，以及诱导公式，常用的一些对称关系包含：若与的终边关于轴对称，则 ，若与的终边关于轴对称，则，若与的终边关于原点对称，则.10在中，内角A,B,C所对边的边长分别是a,b,c.已知若的面积等于，则的值为 【答案】4【解析】由余弦定理，得 又的面积等于，所以，得，联立得方程组解得所以.112017浙江卷 已知函数（1）求的值（2）求的最小正周期及单调递增区间【答案】（1）2；（2）最小正周期为，单调递增区间为由正弦函数的性质得，解得，所以，的单调递增区间是【名师点睛】本题主要考查了三角函数的化简，以及函数的性质，是高考中的常考知识点，属于基础题，强调基础的重要性；三角函数解答题中，涉及到周期，单调性，单调区间以及最值等考点时，都属于考查三角函数的性质，首先应把它化为三角函数的基本形式即，然后利用三角函数的性质求解12在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知（1）求的值；（2）若cosB=，,求的面积.【答案】（1）=2；（2）.【解析】（1）由正弦定理，得所以 =,即,即有,即,所以=2.所以sinB=，故的面积为=.13已知函数.（1）求函数的最小正周期及单调递增区间；（2）在中，三内角的对边分别为，已知函数的图象经过点， 成等差数列，且，求的值.【答案】（1）见解析；（2）.【解析】（1），因此，最小正周期为.由（）可解得：（），所以的单调递增区间为：（）. ，._35
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