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第22练 计数原理、排列组合与二项式定理【理】一.题型考点对对练1.（排列问题与分类加法计数原理）甲、乙、丙三人站到共有7级的台阶上，若每级台阶最多站2人，同一级台阶上的人不区分站的位置，则不同的站法种数是（ ）A. 258 B. 296 C. 306 D. 336【答案】D 2.（排列问题与分步乘法计数原理）将数字“123367”重新排列后得到不同的偶数个数为（ ）A. 72 B. 120 C. 192 D. 240【答案】D【解析】分三个步骤：一、先排末尾数，有2、6两数中选一个，有2种方法；二、再排剩余的四个数，有种排法；最后再将3插入四个数的空间，有种方法，所以由分步计数原理可得所有不同的偶数个数为，应选答案D.3.（组合问题）大数据时代出现了滴滴打车服务，二胎政策的放开使得家庭中有两个小孩的现象普遍存在，某城市关系要好的A，B，C，D四个家庭各有两个小孩共8人，准备使用滴滴打车软件，分乘甲、乙两辆汽车出去游玩，每车限坐4名（乘同一辆车的4名小孩不考虑位置），其中A户家庭的孪生姐妹需乘同一辆车，则乘坐甲车的4名小孩恰有2名来自于同一个家庭的乘坐方式共有（ ）A. 18种 B. 24种 C. 36种 D. 48种【答案】B【解析】当A户家庭的孪生姐妹乘坐甲车或乙车时，则另两个小孩，是另外两个家庭的一个小孩，有 种方法，故选B.4.（排列与组合的综合问题）把四件玩具分给三个小朋友，每位小朋友至少分到一件玩具，且两件玩具不能分给同一个人，则不同的分法有（ ）A36种 B30种 C24种 D18种【答案】B 5.（排列组合的综合问题）在某市记者招待会上，需要接受本市甲、乙两家电视台记者的提问，两家电视台均有记者5人，主持人需要从这10名记者中选出4名记者提问，且这4人中，既有甲电视台记者，又有乙电视台记者，且甲电视台的记者不可以连续提问，则不同的提问方式的种数为（ ）A1200 B2400 C3000 D3600【答案】B【解析】若人中，有甲电视台人，乙电视台记者人，则不同的提问方式总数是，若人中，有甲电视台人，乙电视台记者人，则不同的提问方式总数是，若人中，有甲电视台人，乙电视台记者人，则不符合主持人的规定，故所有不同提问方式的总数为. 6（二项式定理的赋值应用）已知，则（ ）A. 2017 B. 4034 C. D. 0【答案】C【解析】因为，两边同时求导可得令，则，故选C.7.（二项式定理的应用）中国南北朝时期的著作孙子算经中，对同余除法有较深的研究设为整数，若和被除得的余数相同，则称和对模同余，记为.若， ，则的值可以是（ ）A. 2011 B. 2012 C. 2013 D. 2014【答案】A 8.（利用二项式定理求指定项）的展开式中，的系数为_【答案】 8【解析】由题意得，展开式的通项公式为，则的展开式中，的项为：，故答案为：8.9.（二项式系数与项的系数）若，则_【答案】【解析】因二项式定理的通项公式为，则，故，应填答案.10.（二项式定理的实际应用）核算某项税率，需用公式.现已知K的展开式中各项的二项式系数之和是64，用四舍五入的方法计算当时K的值.若精确到，其千分位上的数字应是_【答案】3【解析】由题设可得得，所以，则当时，故应填3.二.易错问题纠错练11.（分步、分类不清至错）如图，圆被其内接三角形分为4块，现有5种颜色准备用来涂这4块，要求每块涂一种颜色，且相邻两块的颜色不同，则不同的涂色方法有（ ） A. 360种 B. 320种 C. 108种 D. 96种【答案】B 【注意问题】按照所投颜色种类进行分类12.（限制条件处理不好至错）将5名学生分到A，B，C三个宿舍，每个宿舍至少1人至多2人，其中学生甲不到A宿舍的不同分法有（ ）A. 18种 B. 36种 C. 48种 D. 60种【答案】D【解析】根据限制要求，按甲一个人住在一个宿舍和当甲与另一个一进行分类.利用分类计数原理，第一类，甲一个人住在一个宿舍时有 种,第二类,当甲与另一个一起时有 ，所以共有种.选D.【注意问题】根据限制要求，按甲一个人住在一个宿舍和当甲与另一个一进行分类.13.（二项式系数与项的系数混淆至错）在的展开式中，所有项的二项式系数之和为4096，则其常数项为（ ）A. -220 B. 220 C. 110 D. -110【答案】A【解析】先利用二项式系数求n，在通过展开式通式求常数项.由题设可得，则，令，故所求常数项为，应选答案A.【注意问题】先利用二项式系数求n，在通过展开式通式求常数项 14.（二项式性质利用不当至错）的各项系数之和大于8，小于32，则展开式中系数最大的项是（ ）A. B. C. D.或【答案】A 【注意问题】先利用各项系数和确定n的值，再利用性质求最大项三.新题好题好好练15. 【2018江西南昌摸底】某校毕业典礼由6个节目组成，考虑整体效果，对节目演出顺序有如下要求：节目甲必须排在前三位，且节目丙、丁必须排在一起，则该校毕业典礼节目演出顺序的编排方案共有A. 种 B. 种 C. 种 D. 种【答案】A【解析】根据题意，由于节目甲必须排在前三位，分3种情况讨论：、甲排在第一位，节目丙、丁必须排在一起，则乙丙相邻的位置有4个，考虑两者的顺序，有2种情况，将剩下的3个节目全排列，安排在其他三个位置，有种安排方法，则此时有种编排方法；、甲排在第二位，节目丙、丁必须排在一起，则乙丙相邻的位置有3个，考虑两者的顺序，有2种情况，将剩下的3个节目全排列，安排在其他三个位置，有种安排方法，则此时有种编排方法；、甲排在第三位，节目丙、丁必须排在一起，则乙丙相邻的位置有3个，考虑两者的顺序，有2种情况，将剩下的3个节目全排列，安排在其他三个位置，有种安排方法，则此时有种编排方法；则符合题意要求的编排方法有种；故选A16把3盆不同的兰花和4盆不同的玫瑰花摆放在下图图案中的1，2，3，4，5，6，7所示的位置上，其中三盆兰花不能放在一条直线上，则不同的摆放方法为（ ） A2680种 B4320种 C4920种 D5140种【答案】B 17.数字“”中，各位数字相加和为，称该数为“长久四位数”，则用数字组成的无重复数字且大于的“长久四位数”有（ ）个A B C D【答案】C【解析】卡片上的四位数字之和等于，四个数字为组成的无重复数字且大于的“长久四位数”共有：，组成的无重复数字且大于的“长久四位数”共有个；组成的无重复数字且大于的“长久四位数”共有个，故共（个）.18.中国诗词大会（第二季)亮点颇多，十场比赛每场都有一首特别设计的开场诗词，在声光舞美的配合下，百人团齐声朗诵，别有韵味.若将进酒山居秋暝望岳送杜少府之任蜀州和另确定的两首诗词排在后六场，且将进酒排在望岳的前面，山居秋暝与送杜少府之任蜀州不相邻且均不排在最后，则后六场的排法有（ ）A. 种 B. 种 C. 种 D. 种【答案】A【解析】将进酒、望岳和另确定的两首诗词排列全排列共有种排法，满足将进酒排在望岳的前面的排法共有，再将山居秋暝与送杜少府之任蜀州插排在个空里（最后一个空不排），有种排法，将进酒排在望岳的前面、山居秋暝与送杜少府之任蜀州不相邻且均不排在最后，则后六场的排法有种，故选A.19.若，则在的展开式中，的幂函数不是整数的项共有（ ）A. 13项 B. 14项 C. 15项 D. 16项【答案】C 20.设，则的展开式中常数项是（ ）A. 332 B. -332 C. 320 D. -320【答案】B【解析】由题意，得，所以的通项为，则的展开式中常数项为；故选B. 21.的展开式中，的系数为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】展开式中含项为展开式中项的系数为项的系数为展开式中的系数为，故选B.22.在的展开式中，含项的系数为_【答案】【解析】由题意得，只有第一项含有，因为的通项，所以，所以的系数为.23.若A、B、C、D四人站成一排照相，A、B相邻的排法总数为，则二项式的展开式中含项的系数为_.【答案】 24. 【2018江西宜春六校联考】若，且，则的值为_【答案】1【解析】函数是奇函数，则，即： ，从而有： ，令可得： ,令可得： ,原式： . 9
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