资源描述
专题三 解析几何江苏新高考高考对本章内容的考查多以“两小一大”的形式出现，小题多考查双曲线、抛物线、圆的方程与性质，而大题主要考查直线与圆(如2013年、2016年)、直线与椭圆(如2014年、2015年、2017年)的位置关系、弦长问题及范围问题等.第1课时解析几何中的基本问题(基础课)常考题型突破直线方程及两直线位置关系必备知识1两条直线平行与垂直的判定若两条不重合的直线l1，l2的斜率k1，k2存在，则l1l2k1k2，l1l2k1k21.若给出的直线方程中存在字母系数，则要考虑斜率是否存在2两个距离公式(1)点(x0，y0)到直线l：AxByC0的距离公式d.(2)两平行直线l1：AxByC10，l2：AxByC20间的距离d.题组练透1已知点P(3,2)与点Q(1,4)关于直线l对称，则直线l的方程为_解析：由题意知直线l与直线PQ垂直，所以kl1.又直线l经过PQ的中点(2,3)，所以直线l的方程为y3x2，即xy10.答案：xy102(2017南京、盐城二模)在平面直角坐标系xOy中，直线l1：kxy20与直线l2：xky20相交于点P，则当实数k变化时，点P到直线xy40的距离的最大值为_解析：由题意，kl1k，kl2，则kl1kl2k1(k0时，两条直线也相互垂直)，并且两条直线分别经过定点：M(0,2)，N(2,0)两条直线的交点在以MN为直径的圆上并且kMN1，可得MN与直线xy40垂直点M到直线xy40的距离d3为最大值答案：33(2017苏州考前模拟)在平面直角坐标系中，已知两点P(0,1)，Q(3,6)，在直线yx上取两点M，N，使得MNa(其中a0为定值)，则当PMNQ取得最小值时，点N的坐标为_解析：(1)设点A(1,0)，B(1a，a)，则ABMN，且ABMN，所以四边形ABNM为平行四边形，所以AMBN，又因为点P与A关于直线yx对称，所以PMAM，所以PMNQAMNQBNNQ，所以当B，N，Q三点共线时，PMNQ取最小值为BQ.此时BQ方程为(a6)x(a2)y3a60，与直线yx联立解得N.(2)若设A(1,0)，B(1a，a)，同理可得PMNQ最小值为，因为a0，所以，不合题意综上，PMNQ取得最小值时点N的坐标为.答案：方法归纳求直线方程的两种方法圆的方程必备知识1圆的标准方程当圆心为(a，b)，半径为r时，其标准方程为(xa)2(yb)2r2，特别地，当圆心在原点时，方程为x2y2r2.2圆的一般方程x2y2DxEyF0，其中D2E24F0，表示以为圆心，为半径的圆题组练透1(2017南通一模)已知圆C过点(2，)，且与直线xy30相切于点(0，)，则圆C的方程为_解析：设圆心为(a，b)，则解得a1，b0，r2.即所求圆的方程为(x1)2y24.答案：(x1)2y242(2016天津高考)已知圆C的圆心在x轴的正半轴上，点M(0，)在圆C上，且圆心到直线2xy0的距离为，则圆C的方程为_解析：因为圆C的圆心在x轴的正半轴上，设C(a,0)，且a0，所以圆心到直线2xy0的距离d，解得a2，所以圆C的半径r|CM|3，所以圆C的方程为(x2)2y29.答案：(x2)2y293与圆C：x2y22x4y0外切于原点，且半径为2的圆的标准方程为_解析：由题意，所求圆的圆心在直线y2x上，所以可设所求圆的圆心为(a，2a)(a0相交；0相切；0相离(2)几何法：把圆心到直线的距离d和半径r的大小加以比较：dr相离4判断两圆位置关系时常用几何法即通过判断两圆心距离O1O2与两圆半径R，r的关系来判断两圆位置关系(1)外离：O1O2Rr；(2)外切：O1O2Rr；(3)相交：RrO1O2Rr；(4)内切：O1O2Rr；(5)内含：0O1O2Rr.提醒利用两圆组成的方程组解的个数，不能判断内切与外切、外离与内含 题组练透1(2017苏锡常镇二模)已知直线l：mxy2m10，圆C：x2y22x4y0，当直线l被圆C所截得的弦长最短时，实数m_.解析：由题意得，C(1,2)，直线l：m(x2)y10恒过定点A(2,1)，当直线l被圆C所截得的弦长最短时，直线lCA，因为直线l的斜率为m，直线CA的斜率为1，所以m(1)1，即m1.答案：12(2016全国卷)设直线yx2a与圆C：x2y22ay20相交于A，B两点，若|AB|2，则圆C的面积为_解析：圆C：x2y22ay20化为标准方程为x2(ya)2a22，所以圆心C(0，a)，半径r，因为|AB|2，点C到直线yx2a，即xy2a0的距离d，由勾股定理得22a22，解得a22，所以r2，所以圆C的面积为224.答案：43若圆(x2a)2(ya3)24上总存在两个点到原点的距离为1，则实数a的取值范围是_解析：由题意，两圆(x2a)2(ya3)24与x2y21相交于相异两点，所以13，即解得a0，解得a5.答案：55(2017江苏高考)在平面直角坐标系xOy中，A(12，0)，B(0,6)，点P在圆O：x2y250上若20，则点P的横坐标的取值范围是_解析：设P(x，y)，则(12x，y)(x，6y)x(x12)y(y6)20.又x2y250，所以2xy50，所以点P在直线2xy50的上方(包括直线上)又点P在圆x2y250上，由解得x5或x1，结合图象，可得5x1，故点P的横坐标的取值范围是5，1答案：5，1方法归纳1.解决直线与圆、圆与圆位置关系问题的方法(1)讨论直线与圆及圆与圆的位置关系时，要注意数形结合，充分利用圆的几何性质寻找解题途径，减少运算量.(2)圆上的点与圆外点的距离的最值问题，可以转化为圆心到点的距离问题；圆上的点与直线上点的距离的最值问题，可以转化为圆心到直线的距离问题；圆上的点与另一圆上点的距离的最值问题，可以转化为圆心到圆心的距离问题.2.求弦长问题的两种方法(1)利用半径r，弦心距d，弦长l的一半构成直角三角形，结合勾股定理(2)若斜率为k的直线l与圆C交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，则圆锥曲线的基本量运算必备知识1椭圆、双曲线中，a，b，c之间的关系(1)在椭圆中：a2b2c2，离心率为e；(2)在双曲线中：c2a2b2，离心率为e.2双曲线1(a0，b0)的渐近线方程为yx.注意离心率e与渐近线的斜率的关系题组练透1(2017南京三模)在平面直角坐标系xOy中，双曲线1的焦距为6，则所有满足条件的实数m构成的集合是_解析：由题意得，2m23m2，所以2m23m90，解得m或3，因为1是双曲线的方程，所以m0，所以m.所以实数m构成的集合是.答案：2.(2017苏北四市期中)如图，在平面直角坐标系xOy中，已知A，B1，B2分别为椭圆C：1(ab0)的右、下、上顶点，F是椭圆C的右焦点若B2FAB1，则椭圆C的离心率是_解析：由题意得，A(a,0)，B1(0，b)，B2(0，b)，F(c,0)，所以(c，b)，(a，b)，因为B2FAB1，所以0，即b2ac，所以c2aca20，e2e10，又椭圆的离心率e(0,1)，所以e.答案：3(2017江苏高考)在平面直角坐标系xOy中，双曲线y21的右准线与它的两条渐近线分别交于点P，Q，其焦点是F1，F2，则四边形F1PF2Q的面积是_解析：由题意得，双曲线的右准线x与两条渐近线yx的交点坐标为.不妨设双曲线的左、右焦点分别为F1，F2，则F1(2,0)，F2(2,0)，故四边形F1PF2Q的面积是F1F2PQ42.答案：24(2017南通三模)在平面直角坐标系xOy中，若双曲线y21(a0)经过抛物线y28x的焦点，则该双曲线的离心率为_解析：因为双曲线y21(a0)经过抛物线y28x的焦点坐标(2,0)，所以a2，在双曲线中，b1，c，所以双曲线的离心率是e.答案：5(2016山东高考)已知双曲线E：1(a0，b0)，若矩形ABCD的四个顶点在E上，AB，CD的中点为E的两个焦点，且2|AB|3|BC|，则E的离心率是_解析：如图，由题意知|AB|，|BC|2c.又2|AB|3|BC|，232c，即2b23ac，2(c2a2)3ac，两边同除以a2并整理得2e23e20，解得e2(负值舍去)答案：26(2017南京考前模拟)已知椭圆C：mx2y21(0m1)，直线l：yx1，若椭圆C上总存在不同的两点A与B关于直线l对称，则椭圆C的离心率e的取值范围为_解析：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，AB的中点P(x0，y0)，A，B在椭圆C上，两式相减，整理得，即kAB，故kABkOPm，又kAB1，kOPm，直线OP的方程为ymx，联立方程得P，由点P在椭圆内，m221，解得0m0，b0)的一条渐近线，则该双曲线的离心率为_解析：因为直线2xy0为双曲线1(a0，b0)的一条渐近线，所以2，所以e.答案：3(2017无锡期末)设P为有公共焦点F1，F2的椭圆C1与双曲线C2的一个交点，且PF1PF2，椭圆C1的离心率为e1，双曲线C2的离心率为e2，若3e1e2，则e1_.解析：设椭圆的长半轴长为a1，双曲线的实半轴长为a2，由定义知，不妨设P在第一象限，则所以PF1a1a2，PF2a1a2，因为PF1PF2，所以PFPFF1F，即(a1a2)2(a1a2)24c2，整理得2，又因为3e1e2，所以e1.答案：4(2017南京考前模拟)在平面直角坐标系xOy中，M为圆C：(xa)2(y1)2上任意一点，N为直线l：axy30上任意一点，若以M为圆心，MN为半径的圆与圆C至多有一个公共点，则正数a的最小值为_解析：因为圆M与圆C至多有一个公共点，所以MC，即，解得MN，又MN的最小值为，所以，解得a2，所以正数a的最小值为2.答案：25以双曲线1(a0，b0)的右焦点F为圆心，a为半径的圆恰好与双曲线的两条渐近线相切，则该双曲线的离心率为_解析：由题设知，双曲线的渐近线方程为yx，圆的方程为(xc)2y2a2，因为渐近线与圆相切，故由点到直线的距离公式得a，则ab，ca，故离心率e.答案：6(2017南京学情调研)在平面直角坐标系xOy中，若直线axy20与圆心为C的圆(x1)2(ya)216相交于A，B两点，且ABC为直角三角形，则实数a的值是_解析：由题意知ABC为等腰直角三角形，且ACBC4，AB4，圆心C到直线axy20的距离d2，2，解得a1.答案：17(2017泰州中学月考)直线ykx3与圆(x2)2(y3)24相交于M，N两点，若MN2，则k的取值范围是_解析：由圆的方程知圆心(2,3)，半径r2，圆心到直线ykx3的距离d，MN222，解得4k2k21，即k.答案：8已知点P是圆C：x2y24x6y30上的一点，直线l：3x4y50.若点P到直线l的距离为2，则符合题意的点P有_个解析：由题意知圆C的标准方程为(x2)2(y3)216，所以圆心(2,3)到直线l的距离d(4,6)，故满足题意的点P有2个答案：29若一个椭圆长轴的长度、短轴的长度和焦距依次成等差数列，则该椭圆的离心率为_解析：由题意知2a2c2(2b)，即ac2b，又c2a2b2，消去b整理得5c23a22ac，即5e22e30，所以e或e1(舍去)答案：10(2017全国卷)已知双曲线C：1(a0，b0)的右顶点为A，以A为圆心，b为半径作圆A，圆A与双曲线C的一条渐近线交于M，N两点若MAN60，则C的离心率为_解析：双曲线的右顶点为A(a,0)，一条渐近线的方程为yx，即bxay0，则圆心A到此渐近线的距离d.又因为MAN60，圆的半径为b，所以bsin 60，即，所以e.答案：11若抛物线y28ax(a0)的准线经过双曲线y21的一个焦点，则椭圆y21的离心率e_.解析：抛物线y28ax(a0)的准线方程为x2a，双曲线y21的焦点坐标为(，0)，则2a，得a2，所以椭圆的离心率e.答案：12设F1，F2分别是椭圆1的左、右焦点，P为椭圆上任一点，点M的坐标为(6,4)，则PMPF1的最大值为_解析：由椭圆定义知PMPF1PM25PF2，而PMPF2MF25，所以PMPF125515.答案：1513(2017苏州张家港暨阳中学月考)已知圆O：x2y21，圆M：(xa)2(ya4)21.若圆M上存在点P，过点P作圆O的两条切线，切点分别为A，B，使得APB60，则实数a的取值范围为_解析：如图，圆O的半径为1，圆M上存在点P，过点P作圆O的两条切线，切点为A，B，使得APB60，则APO30，在RtPAO中，PO2，又圆M的半径等于1，圆心坐标M(a，a4)，POminMO1，POmaxMO1，MO，由121，解得2a2.答案：14在平面直角坐标系xOy中，若直线l：4x3y20上至少存在一点，使得以该点为圆心、1为半径的圆与以(4,0)为圆心，R为半径的圆C有公共点，则R的最小值是_解析：由题意，直线4x3y20上至少存在一点A，以该点为圆心，1为半径的圆与圆C有公共点，即ACmin1R，因为ACmin即为点C到直线4x3y20的距离，为，所以R的最小值是.答案：1(2017南京考前模拟)在平面直角坐标系xOy中，M为直线x3上一动点，以M为圆心的圆记为圆M，若圆M截x轴所得的弦长恒为4.过点O作圆M的一条切线，切点为P，则点P到直线2xy100的距离的最大值为_解析：设M(3，t)，P(x0，y0)，因为OPPM，所以0，可得xy3x0ty00，又圆M截x轴所得的弦长为4，所以4t2(x03)2(y0t)2，整理得xy6x02ty050，由得xy5，即点P在圆x2y25上，于是P到直线2xy100距离的最大值为3.答案：32在平面直角坐标系xOy中，已知过原点O的动直线l与圆C：x2y26x50相交于不同的两点A，B，若点A恰为线段OB的中点，则圆心C到直线l的距离为_解析：先将圆C化为标准方程得(x3)2y24，则圆心C(3,0)，半径r2，设过原点O的动直线l的方程为ykx，因为点A恰为线段OB的中点，设A(a，ka)，B(2a,2ka)，得(1k2)a26a50.取AB的中点D，则D，如图，连结CD，则CDAB，.联立，解得a，k，则D，CD，即圆心C到直线l的距离为.答案：3(2017山东高考)在平面直角坐标系xOy中，双曲线1(a0，b0)的右支与焦点为F的抛物线x22py(p0)交于A，B两点若|AF|BF|4|OF|，则该双曲线的渐近线方程为_解析：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由抛物线的定义可知|AF|y1，|BF|y2，|OF|，由|AF|BF|y1y2y1y2p4|OF|2p，得y1y2p.联立消去x，得a2y22pb2ya2b20，所以y1y2，所以p，即，故，所以双曲线的渐近线方程为yx.答案：yx4已知椭圆1(ab0)，点A，B1，B2，F依次为其左顶点、下顶点、上顶点和右焦点，若直线AB2与直线B1F的交点恰在椭圆的右准线上，则椭圆的离心率为_解析：如图，A(a,0)，B1(0，b)，B2(0，b)，F(c,0)，设点M.由kkAM，得，所以yMb.由kkFM，得，所以yM.从而b，整理得2e2e10.解得e.答案：第2课时直线与圆(能力课)常考题型突破隐形圆问题例1(2017苏北四市期中)如图，在平面直角坐标系xOy中，已知圆C：x2y24x0及点A(1,0)，B(1,2)(1)若直线l平行于AB，与圆C相交于M，N两点，MNAB，求直线l的方程；(2)在圆C上是否存在点P，使得PA2PB212？若存在，求点P的个数；若不存在，说明理由解(1)因为圆C的标准方程为(x2)2y24，所以圆心C(2,0)，半径为2.因为lAB，A(1,0)，B(1,2)，所以直线l的斜率为1，设直线l的方程为xym0，则圆心C到直线l的距离为d.因为MNAB2，而CM2d22，所以42，解得m0或m4，故直线l的方程为xy0或xy40.(2)假设圆C上存在点P，设P(x，y)，则(x2)2y24，PA2PB2(x1)2(y0)2(x1)2(y2)212，即x2y22y30，即x2(y1)24，因为|22| 22，所以圆(x2)2y24与圆x2(y1)24相交，所以点P的个数为2.方法归纳1有些时候，在条件中没有直接给出圆方面的信息，而是隐藏在题目中的，要通过分析和转化，发现圆(或圆的方程),从而最终可以利用圆的知识来求解，我们称这类问题为“隐形圆”问题2如何发现隐形圆(或圆的方程)是关键，常见的有以下策略：(1)利用圆的定义(到定点的距离等于定长的点的轨迹)确定隐形圆；(2)动点P 对两定点A，B张角是90(kPAkPB1)确定隐形圆；(3)两定点A，B，动点P满足确定隐形圆；(4)两定点A，B，动点P满足PA2PB2是定值确定隐形圆；(5)两定点A，B，动点P满足PAPB(0，1)确定隐形圆(阿波罗尼斯圆)；(6)由圆周角的性质确定隐形圆变式训练如图，在平面直角坐标系xOy中，点A(0,3)，直线l：y2x4.设圆C的半径为1，圆心在l上(1)若圆心C也在直线yx1上，过点A作圆C的切线，求切线的方程；(2)若圆C上存在点M，使MA2MO，求圆心C的横坐标a的取值范围解：(1)由题设，圆心C是直线y2x4和yx1的交点，解得点C(3,2)，于是切线的斜率必存在设过A(0,3)的圆C的切线方程为ykx3，由题意，得1，解得k0或k，故所求切线方程为y3或3x4y120.(2)因为圆心在直线y2x4上，所以圆C的方程为(xa)2y2(a2)21.设点M(x，y)，因为MA2MO，所以2，化简得x2y22y30，即x2(y1)24，所以点M在以D(0，1)为圆心，2为半径的圆上由题意，点M(x，y)在圆C上，所以圆C与圆D有公共点，则|21|CD21，即13.由5a212a80，得aR；由5a212a0，得0a.所以点C的横坐标a的取值范围为.圆中的定点、定值问题例2已知圆M的方程为x2(y2)21，直线l的方程为x2y0，点P在直线l上，过P点作圆M的切线PA，PB，切点为A，B.(1)若APB60，求点P的坐标；(2)若P点的坐标为(2,1)，过P作直线与圆M交于C，D两点，当CD时，求直线CD的方程；(3)求证：经过A，P，M三点的圆必过定点，并求出所有定点的坐标解(1)设P(2m，m)，因为APB60，AM1，所以MP2，所以(2m)2(m2)24，解得m0或m，故所求点P的坐标为P(0,0)或P.(2)易知直线CD的斜率存在，可设直线CD的方程为y1k(x2)，由题知圆心M到直线CD的距离为，所以，解得k1或k，故所求直线CD的方程为xy30或x7y90.(3)证明：设P(2m，m)，MP的中点Q，因为PA是圆M的切线，所以经过A，P，M三点的圆是以Q为圆心，以MQ为半径的圆，故其方程为(xm)22m22，化简得x2y22ym(2xy2)0，此式是关于m的恒等式，故解得或所以经过A，P，M三点的圆必过定点(0,2)或.方法归纳(1)与圆有关的定点问题最终可化为含有参数的动直线或动圆过定点.解这类问题关键是引入参数求出动直线或动圆的方程.(2)与圆有关的定值问题，可以通过直接计算或证明，还可以通过特殊化，先猜出定值再给出证明.变式训练1已知点P(2,2)，圆C：x2y28y0，过点P的动直线l与圆C交于A，B两点，线段AB的中点为M，O为坐标原点(1)求M的轨迹方程；(2)当OPOM时，求证：POM的面积为定值解：(1)圆C的方程可化为x2(y4)216，所以圆心为C(0,4)，半径为4.设M(x，y)，则(x，y4)，(2x,2y)由题设知0，故x(2x)(y4)(2y)0，即(x1)2(y3)22.由于点P在圆C的内部，所以M的轨迹方程是(x1)2(y3)22.(2)证明：由(1)可知M的轨迹是以点N(1,3)为圆心，为半径的圆由于OPOM，故O在线段PM的垂直平分线上，又P在圆N上，从而ONPM.因为ON的斜率为3，所以l的斜率为，故l的方程为yx.又OMOP2，O到l的距离d为，所以PM2，所以POM的面积为SPOMPMd.2已知圆C：x2y29，点A(5,0)，直线l：x2y0.(1)求与圆C相切，且与直线l垂直的直线方程；(2)在直线OA上(O为坐标原点)，存在定点B(不同于点A)满足：对于圆C上任一点P，都有为一常数，试求所有满足条件的点B的坐标解：(1)设所求直线方程为y2xb，即2xyb0.因为直线与圆C相切，所以3，解得b3.所以所求直线方程为2xy30.(2)法一：假设存在这样的点B(t,0)当点P为圆C与x轴的左交点(3,0)时，；当点P为圆C与x轴的右交点(3,0)时，.依题意，解得t5(舍去)或t.下面证明点B对于圆C上任一点P，都有为一常数设P(x，y)，则y29x2，所以.从而为常数法二：假设存在这样的点B(t,0)，使得为常数，则PB22PA2，所以(xt)2y22(x5)2y2，将y29x2代入，得x22xtt29x22(x210x259x2)，即2(52t)x342t290对x3,3恒成立，所以解得或(舍去)故存在点B对于圆C上任一点P，都有为常数.与直线或圆有关的最值或范围问题例3(2016江苏高考)如图，在平面直角坐标系xOy中，已知以M为圆心的圆M：x2y212x14y600及其上一点A(2,4)(1)设圆N与x轴相切，与圆M外切，且圆心N在直线x6上，求圆N的标准方程；(2)设平行于OA的直线l与圆M相交于B，C两点，且BCOA，求直线l的方程；(3)设点T(t,0)满足：存在圆M上的两点P和Q，使得，求实数t的取值范围解圆M的标准方程为(x6)2(y7)225，所以圆心M(6,7)，半径为5.(1)由圆心N在直线x6上，可设N(6，y0)因为圆N与x轴相切，与圆M外切，所以0y07，圆N的半径为y0，从而7y05y0，解得y01.因此，圆N的标准方程为(x6)2(y1)21.(2)因为直线lOA，所以直线l的斜率为2.设直线l的方程为y2xm，即2xym0，则圆心M到直线l的距离d.因为BCOA2，而MC2d22，所以255，解得m5或m15.故直线l的方程为2xy50或2xy150.(3)设P(x1，y1)，Q(x2，y2)因为A(2,4)，T(t,0)，所以因为点Q在圆M上，所以(x26)2(y27)225.将代入，得(x1t4)2(y13)225.于是点P(x1，y1)既在圆M上，又在圆x(t4)2(y3)225上，从而圆(x6)2(y7)225与圆x(t4)2(y3)225有公共点，所以55 55，解得22t22.因此，实数t的取值范围是22，22 方法归纳1与圆有关的最值问题的几何转化法(1)形如形式的最值问题，可转化为动直线斜率的最值问题(2)形如taxby形式的最值问题，可转化为动直线截距的最值问题(3)形如(xa)2(yb)2形式的最值问题，可转化为动点到定点的距离的平方的最值问题2与圆有关的参数范围问题常见思路(1)直接利用条件，画出几何图形，结合图形用几何法求参数的范围(2)根据位置关系列不等式组，用代数法求参数范围(3)构造关于参数的函数关系，借助函数思想求参数的范围变式训练(2017镇江调研)已知圆O：x2y24交y轴正半轴于点A，点B，C是圆O上异于点A的两个动点(1)若B与A关于原点O对称，直线AC和直线BC分别交直线y4于点M，N，求线段MN长度的最小值；(2)若直线AC和直线AB的斜率之积为1，求证：直线BC与x轴垂直解：(1)由题意，直线AC和直线BC的斜率一定存在且不为0，且A(0,2)，B(0，2)，ACBC.设直线AC的斜率为k，则直线BC的斜率为，所以直线AC的方程为ykx2，直线BC的方程为yx2，故它们与直线y4的交点分别为M，N(6k,4)所以MN4，当且仅当k时取等号，所以线段MN长度的最小值为4.(2)证明：易知直线AC和直线AB的斜率一定存在且不为0，设直线AC的方程为ykx2，则直线AB的方程为yx2.由解得C，同理可得B.因为B，C两点的横坐标相等，所以BCx轴课时达标训练1已知以点C(tR，t0)为圆心的圆与x轴交于点O，A，与y轴交于点O，B，其中O为坐标原点(1)求证：OAB的面积为定值；(2)设直线y2x4与圆C交于点M，N，若OMON，求圆C的方程解：(1)证明：因为圆C过原点O，所以OC2t2.设圆C的方程是(xt)22t2，令x0，得y10，y2；令y0，得x10，x22t，所以SOABOAOB|2t|4，即OAB的面积为定值(2)因为OMON，CMCN，所以OC垂直平分线段MN.因为kMN2，所以kOC.所以t，解得t2或t2.当t2时，圆心C的坐标为(2,1)，OC，此时C到直线y2x4的距离d.圆C与直线y2x4不相交，所以t2不符合题意，舍去所以圆C的方程为(x2)2(y1)25.2.如图，已知圆x2y21与x轴交于A，B两点，P是该圆上任意一点，AP，PB的延长线分别交直线l：x2于M，N两点(1)求MN的最小值；(2)求证：以MN为直径的圆恒过定点，并求出该定点的坐标解：(1)设M(2，t1)，N(2，t2)，则由A(1,0)，B(1,0)，且AMBN，得0，即(3，t1)(1，t2)0，所以3t1t20，即t1t23.所以MNt1t2t1(t2)22 .当且仅当t1，t2时等号成立故MN的最小值为2.(2)证明：由(1)得t1t23.以MN为直径的圆的方程为(x2)2(yt1)(yt2)0，即(x2)2y2(t1t2)yt1t20，也即(x2)2y2(t1t2)y30.由得或故以MN为直径的圆恒过定点(2，0)和(2，0)3已知直线l：4x3y100，半径为2的圆C与l相切，圆心C在x轴上且在直线l的右上方(1)求圆C的方程；(2)过点M(1,0)的直线与圆C交于A，B两点(A在x轴上方)，问在x轴正半轴上是否存在定点N，使得x轴平分ANB？若存在，请求出点N的坐标；若不存在，请说明理由解：(1)设圆心C(a,0)，则2a0或a5(舍去)所以圆C的方程为x2y24.(2)当直线ABx轴时，x轴平分ANB.当直线AB的斜率存在时，设直线AB的方程为yk(x1)，N(t,0)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，由得，(k21)x22k2xk240，所以x1x2，x1x2.若x轴平分ANB，则kANkBN002x1x2(t1)(x1x2)2t02t0t4，所以当点N为(4,0)时，能使得ANMBNM总成立4在平面直角坐标系xOy中，已知圆C1：(x3)2(y1)24和圆C2：(x4)2(y5)24.(1)若直线l过点A(4,0)，且被圆C1截得的弦长为2，求直线l的方程；(2)设P为平面上的点，满足：存在过点P的无穷多对互相垂直的直线l1和l2，它们分别与圆C1和C2相交，且直线l1被圆C1截得的弦长与直线l2被圆C2截得的弦长相等，求所有满足条件的点P的坐标解：(1)由于直线x4与圆C1不相交，直线l的斜率存在，设直线l的方程为yk(x4)，圆C1的圆心到直线l的距离为d.l被圆C1截得的弦长为2，d 1.又由点到直线的距离公式得d，k(24k7)0，解得k0或k，直线l的方程为y0或7x24y280.(2)设点P(a，b)满足条件，由题意分析可得直线l1，l2的斜率均存在且不为0，不妨设直线l1的方程为ybk(xa)，则直线l2的方程为yb(xa)圆C1和圆C2的半径相等，且直线l1被圆C1截得的弦长与直线l2被圆C2截得的弦长相等，圆C1的圆心到直线l1的距离和圆C2的圆心到直线l2的距离相等，即，整理得|13kakb|5k4abk|.13kakb(5k4abk)，即(ab2)kba3或(ab8)kab5. k的取值有无穷多个，或解得或故这样的点只可能是点P1或点P2，.5.如图，已知位于y轴左侧的圆C与y轴相切于点(0,1)，且被x轴分成的两段弧长之比为21，过点H(0，t)的直线l与圆C相交于M，N两点，且以MN为直径的圆恰好经过坐标原点O.(1)求圆C的方程；(2)当t1时，求直线l的方程；(3)求直线OM的斜率k的取值范围解：(1)因为位于y轴左侧的圆C与y轴相切于点(0,1)，所以圆心C在直线y1上又圆C与x轴的交点分别为A，B，由圆C被x轴分成的两段弧长之比为21，得ACB.所以CACB2，圆心C的坐标为(2,1)所以圆C的方程为(x2)2(y1)24.(2)当t1时，由题意知直线l的斜率存在，设直线l的方程为ymx1.由消去y，得(m21)x24x0，解得或不妨令M，N(0,1)因为以MN为直径的圆恰好经过O(0,0)，所以(0,1)0，解得m2，故所求直线l的方程为y(2)x1或y(2)x1.(3)设直线OM的方程为ykx，由题意，知2，解得k.同理得，解得k或k0.由(2)知，k0也满足题意所以k的取值范围是.6.如图，在平面直角坐标系xOy中，已知点A(3,4)，B(9,0)，C，D分别为线段OA，OB上的动点，且满足ACBD.(1)若AC4，求直线CD的方程；(2)证明：OCD的外接圆恒过定点(异于原点O)解：(1)因为A(3,4)，所以OA5.又因为AC4，所以OC1，所以C.由BD4，得D(5,0)，所以直线CD的斜率k.所以直线CD的方程为y(x5)，即x7y50.(2)证明：设C(3m,4m)(00)，则有解得D(5m4)，E10m3，F0，所以OCD的外接圆的方程为x2y2(5m4)x(10m3)y0，整理得x2y24x3y5m(x2y)0.令解得或(舍去)所以OCD的外接圆恒过定点(2，1)第3课时椭圆(能力课)常考题型突破直线与椭圆的位置关系例1(2015江苏高考)如图，在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆1(ab0)的离心率为，且右焦点F到左准线l的距离为3.(1)求椭圆的标准方程；(2)过F的直线与椭圆交于A，B两点，线段AB的垂直平分线分别交直线l和AB于点P，C，若PC2AB，求直线AB的方程解(1)由题意，得且c3，解得a，c1，则b1，所以椭圆的标准方程为y21.(2)当ABx轴时，AB，又CP3，不合题意当AB与x轴不垂直时，设直线AB的方程为yk(x1)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，将AB的方程代入椭圆方程，得(12k2)x24k2x2(k21)0，则x1,2，C的坐标为，且AB.若k0，则线段AB的垂直平分线为y轴，与左准线平行，不合题意从而k0，故直线PC的方程为y，则P点的坐标为，从而PC.因为PC2AB，所以，解得k1.此时直线AB的方程为yx1或yx1.方法归纳直线与椭圆的位置关系的解题思路首先把直线方程与椭圆方程联立，消元、化简，然后应用根与系数的关系建立方程，解决相关问题涉及弦中点的问题用“点差法”解决往往会更简单变式训练(2017广州模拟)定圆M：(x)2y216，动圆N过点F(，0)且与圆M相切，记圆心N的轨迹为E.(1)求轨迹E的方程；(2)设点A，B，C在E上运动，A与B关于原点对称，且ACCB，当ABC的面积最小时，求直线AB的方程解：(1)因为点F(，0)在圆M：(x)2y216内，所以圆N内切于圆M.因为NMNF4FM，所以点N的轨迹E是以M(，0)，F(，0)为焦点的椭圆，且2a4，c，所以b1.所以轨迹E的方程为y21.(2)当AB为长轴(或短轴)时，依题意知，点C就是椭圆的上、下顶点(或左、右顶点)，此时SABCOCAB2.当直线AB的斜率存在且不为0时，设其斜率为k，直线AB的方程为ykx，联立方程可取x，y，所以OA2xy.由ACCB知，ABC为等腰三角形，O为AB的中点，OCAB，所以直线OC的方程为yx，由得x，y，所以OC2.SABC2SOAC|OA|OC|.由于，所以SABC，当且仅当14k2k24，即k1时等号成立，此时ABC面积的最小值是.因为2，所以ABC面积的最小值为，此时直线AB的方程为yx或yx.定点、定值问题例2(2017南京考前模拟)如图，在平面直角坐标系xOy中，过椭圆C：1(ab0)内一点A(0,1)的动直线l与椭圆相交于M，N两点，当l平行于x轴和垂直于x轴时，l被椭圆C所截得的线段长均为2.(1)求椭圆C的方程；(2)是否存在与点A不同的定点B，使得对任意过点A的动直线l都满足？若存在，求出定点B的坐标；若不存在，请说明理由解 (1)当l垂直于x轴时，2b2，从而b.当l平行于x轴时，点(，1)在椭圆C上，所以1，解得a2.所以椭圆C的方程为1.(2)设存在与点A不同的定点B满足.当l平行于x轴时，AMAN，所以BMBN，从而点B在y轴上，设B(0，t)；当l垂直于x轴时，不妨设M(0，)，N(0，)由可得，解得t1(舍去)或t2，即B(0,2)下面证明对任意斜率存在且不为0的动直线l都满足.设直线l的方程为ykx1，M(x1，y1)，N(x2，y2)联立消去y，得(12k2)x24kx20，所以x1x2，x1x2.因为，要证，只要证，只要证x(1k2)x2kx21)x(1k2)x2kx11)，即证2kxx22kxx1xx0，即证(x1x2)2kx1x2(x1x2)0.因为2kx1x2(x1x2)2k0，所以.所以存在与点A不同的定点B(0,2)，使得对任意过点A的动直线l都满足.方法归纳 圆锥曲线中定点与定值问题的求解思路(1)定点问题的两种求解方法引进参数法，引进动点的坐标或动直线中系数为参数表示变化量，再研究变化的量与参数何时没有关系，找到定点由特殊到一般法，根据动点或动直线的特殊情况探索出定点，再证明该定点与变量无关(2)定值问题的基本求解方法先用变量表示所需证明的不变量，然后通过推导和已知条件，消去变量，得到定值，即解决定值问题首先是求解非定值问题，即变量问题，最后才是定值问题变式训练1.(2017南通、泰州一调)如图，在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆1(ab0)的离心率为，焦点到相应准线的距离为1.(1)求椭圆的标准方程；(2)若P为椭圆上的一点，过点O作OP的垂线交直线y于点Q，求的值解：(1)由题意得解得所以椭圆的方程为y21.(2)由题意知OP的斜率存在当OP的斜率为0时，OP，OQ，所以1.当OP的斜率不为0时，设直线OP的方程为ykx.由得(2k21)x22，解得x2，所以y2，所以OP2.因为OPOQ，所以直线OQ的方程为yx.由得xk，所以OQ22k22.所以1.综上，可知1.2已知椭圆y21的左顶点为A，过A作两条互相垂直的弦AM，AN交椭圆于M，N两点(1)当直线AM的斜率为1时，求点M的坐标；(2)当直线AM的斜率变化时，直线MN是否过x轴上的一定点？若过定点，请给出证明，并求出该定点；若不过定点，请说明理由解：(1)直线AM的斜率为1时，直线AM的方程为yx2，代入椭圆方程并化简得5x216x120.解得x12，x2，所以M.(2)设直线AM的斜率为k，直线AM的方程为yk(x2)，联立方程化简得(14k2)x216k2x16k240.则xAxM，xMxA2.同理，可得xN.由(1)知若存在定点，则此点必为P.证明如下：因为kMP，同理可计算得kPN.所以直线MN过x轴上的一定点P.范围、最值问题例3(2017镇江期末)已知椭圆C：1(ab0)的离心率为，且点在椭圆C上(1)求椭圆C的标准方程；(2)若直线l交椭圆C于P，Q两点，线段PQ的中点为H，O为坐标原点，且OH1，求POQ面积的最大值解(1)由已知得解得故椭圆C的方程是y21.(2)设直线l与x轴的交点为D(n,0)，直线l：xmyn，与椭圆的交点为P(x1，y1)，Q(x2，y2)，联立方程得(4m2)y22mnyn240，则y1y2，y1y2，所以，所以，即H，由OH1，得n2，则SPOQOD|y1y2|n|y1y2|，令Tn2(y1y2)2n2(y1y2)24y1y21216，设t4m2(t4)，则，当且仅当t，即t12时，SPOA取最大值，此时SPOQ 1，所以POQ面积的最大值为1.方法归纳解决范围或最值问题的三种常用方法变式训练1(2017苏锡常镇调研)在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C：1(ab0)过点P，离心率为.(1)求椭圆C的方程；(2)若直线l过椭圆C的右焦点交椭圆于A，B两点，记ABP三条边所在直线的斜率的乘积为t，求t的最大值解：(1)由1，得a24，b23.所以椭圆C的方程为1.(2)设直线l的方程为xmy1，直线l与椭圆C的交点为A(x1，y1)，B(x2，y2)由消去x得，(3m24)y26m
展开阅读全文